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Test du khi-deux d"indépendance

Tests de Mac-Nemar et d"homogénéité marginale Tests exacts de Fisher, de Barnard et de Fisher-Freeman-HaltonAssociation de variables qualitatives

Myriam Maumy-Bertrand

1 1

IRMA, Université de Strasbourg

Strasbourg, France

ESIEA 4ème Année 13-04-2011

Myriam Maumy-BertrandAssociation de variables qualitatives

Test du khi-deux d"indépendance

Tests de Mac-Nemar et d"homogénéité marginale Tests exacts de Fisher, de Barnard et de Fisher-Freeman-HaltonSommaire

1Test du khi-deux d"indépendance

Introduction

Contexte du test

Procédure de test

Conditions d"application du test

Statistique du test

Règle de décision et conclusion du test

Correction de Yates

Étude des résidus

2Tests de Mac-Nemar et d"homogénéité marginale

Contexte du test

Procédure de test

Hypothèses testées

Conditions d"application du test

Statistique du test

Règle de décision et conclusion du test

Myriam Maumy-BertrandAssociation de variables qualitatives

Test du khi-deux d"indépendance

Tests de Mac-Nemar et d"homogénéité marginale Tests exacts de Fisher, de Barnard et de Fisher-Freeman-HaltonSommaire

3Tests exacts de Fisher, de Barnard et de

Fisher-Freeman-HaltonTest exact de Fisher

Hypothèses testées

Conditions d"application du test

Statistique du test

Règle de décision et conclusion du test

Test exact de Barnard

Test exact de Fisher-Freeman-Halton

Contexte du test

Procédure de test

Myriam Maumy-BertrandAssociation de variables qualitatives

Test du khi-deux d"indépendance

Tests de Mac-Nemar et d"homogénéité marginale Tests exacts de Fisher, de Barnard et de Fisher-Freeman-HaltonIntroduction

Correction de Yates

Étude des résidusSommaire

1Test du khi-deux d"indépendance

Introduction

Contexte du test

Procédure de test

Conditions d"application du test

Statistique du test

Règle de décision et conclusion du test

Correction de Yates

Étude des résidus

Myriam Maumy-BertrandAssociation de variables qualitatives

Test du khi-deux d"indépendance

Tests de Mac-Nemar et d"homogénéité marginale Tests exacts de Fisher, de Barnard et de Fisher-Freeman-HaltonIntroduction

Correction de Yates

Étude des résidusExemple

Nombre de souris développant une tumeur au poumon après exposition à la fumée de cigarettesGroupeTumeur présenteTumeur absenteTotal

Contrôle191332

Traitement21223

d"après Essenbergs, Science, 1952. Question :Existe-t-il une association entre le développement de la maladie et l"apparition du cancer? Myriam Maumy-BertrandAssociation de variables qualitatives

Test du khi-deux d"indépendance

Tests de Mac-Nemar et d"homogénéité marginale Tests exacts de Fisher, de Barnard et de Fisher-Freeman-HaltonIntroduction

Correction de Yates

Étude des résidusRemarque

Lorsque nous disposons de deux variables qualitativesXetY, les moyennes et les variances n"existent plus. Par conséquent, les coefficients comme le coefficient de corrélation linéaire ou les rapports définis dans les autres chapitres n"ont plus lieu d"exister. Il ne reste donc qu"un seul élément exploitable :la loi conjointe du couple(X;Y).Myriam Maumy-BertrandAssociation de variables qualitatives

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Tests de Mac-Nemar et d"homogénéité marginale Tests exacts de Fisher, de Barnard et de Fisher-Freeman-HaltonIntroduction

Correction de Yates

Étude des résidusTrois questions naturelles

À partir de cette information, trois questions semblent naturelles et pertinentes : Q1.

Les v ariablesXetYsont-elles indépendantes?

Q2.

Les distr ibutionsconditionnelles de YsachantX

(respectivementXsachantY) sont-elles homogènes? Q3. La distr ibutiondu couple ( X;Y) est-elle " proche » d"une distribution théorique? Myriam Maumy-BertrandAssociation de variables qualitatives

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Tests de Mac-Nemar et d"homogénéité marginale Tests exacts de Fisher, de Barnard et de Fisher-Freeman-HaltonIntroduction

Correction de Yates

Étude des résidusIndépendance entre deux variables Une méthode pour répondre à la première question : " Les variablesXetYsont-elles indépendantes? » consiste : à construire le tableau de contingence associé aux variablesXetYsous l"hypothèse d"indépendance, lequel est obtenu en effectuant le produit des fréquences marginales. Myriam Maumy-BertrandAssociation de variables qualitatives

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Tests de Mac-Nemar et d"homogénéité marginale Tests exacts de Fisher, de Barnard et de Fisher-Freeman-HaltonIntroduction

Correction de Yates

Étude des résidusIndépendance entre deux variables (suite) Puis comparer la distribution empirique, c"est-à-dire celle contenue dans le tableau de contingence, avec la distribution théorique, c"est-à-dire celle obtenue par calcul. L"interprétation résultant de la comparaison de ces deux distributions est alors la suivante :1Si les deux distributions sont identiques, les variablesXet Ysont indépendantes.2Si les deux distributions sont différentes, les variablesXet Yne sont pas indépendantes (elles peuvent être liées, corrélées ou non-corrélées). Myriam Maumy-BertrandAssociation de variables qualitatives

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Tests de Mac-Nemar et d"homogénéité marginale Tests exacts de Fisher, de Barnard et de Fisher-Freeman-HaltonIntroduction

Correction de Yates

Étude des résidusRemarque

Pour autant, il est très rare en pratique, même dans le cas de variables réellement indépendantes, d"observer une égalité des distributions théoriques et empiriques et cela pour deux raisons :1du fait que nous observons un échantillon et non pas la population entière2à cause des erreurs de mesure. Myriam Maumy-BertrandAssociation de variables qualitatives

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Tests de Mac-Nemar et d"homogénéité marginale Tests exacts de Fisher, de Barnard et de Fisher-Freeman-HaltonIntroduction

Correction de Yates

Étude des résidusTest du Khi-deux

IndépendanceContexte du test

Le test du2d"indépendance sert à étudier la liaison entre deux variables qualitativesXetY. Nous considérons donc le tableau ci-après où correspond au nombre d"individus observés ayant la modalitéipourXet la modalitéjpourY.Myriam Maumy-BertrandAssociation de variables qualitatives

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Tests de Mac-Nemar et d"homogénéité marginale Tests exacts de Fisher, de Barnard et de Fisher-Freeman-HaltonIntroduction

Correction de Yates

Étude des résidusTableau de données

H

HHHHHXYModalité 1ModalitéJTotaux

Modalité 1m

1;1m 1;Jm 1;

Modalitéim

i;1m i;Jm i;

ModalitéIm

I;1m I;Jm

I;Totauxm

;1m ;Jm ;=nMyriam Maumy-BertrandAssociation de variables qualitatives

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Correction de Yates

Étude des résidusContexte du test (suite)

La notationmi;correspond àPJ

j=1mi;jet la notationm;j correspond àPI i=1mi;j. Le principe du test consiste à comparer les effectifs tels que nous les avons, à la répartition que nous aurions si les variables étaient indépendantes. Dans ce cas, en considérant que les marges sont fixées, nous pouvons calculer cette répartition théorique dans chacun des échantillons. Nous avons alors : c i;j=mi;m;jm ;Myriam Maumy-BertrandAssociation de variables qualitatives

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Tests de Mac-Nemar et d"homogénéité marginale Tests exacts de Fisher, de Barnard et de Fisher-Freeman-HaltonIntroduction

Correction de Yates

Étude des résidusHypothèses du test

H

0: Les variablesXetYsont indépendantes

contre H

1: Les variablesXetYne sont pas indépendantes.Myriam Maumy-BertrandAssociation de variables qualitatives

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Correction de Yates

Étude des résidusConditions d"application du test Considérons un échantillon formé de réalisations indépendantes du couple de variables aléatoires(X;Y)et de taillen=m;. Leseffectifs théoriquesci;jet l"effectif total de l"échantillon m ;doivent vérifier les inégalités : c i;j>5 etm;>50:Myriam Maumy-BertrandAssociation de variables qualitatives

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Tests de Mac-Nemar et d"homogénéité marginale Tests exacts de Fisher, de Barnard et de Fisher-Freeman-HaltonIntroduction

Correction de Yates

Étude des résidusStatistique du test

Si l"hypothèse nulleH0est vraie et lorsque les conditions d"application du test sont remplies,

2(obs) =IX

i=1J X j=1(mi;jci;j)2c i;jest une réalisation d"une variable aléatoire qui suit approximativement la loi du Khi-deux à(I1)(J1)degrés de liberté.Myriam Maumy-BertrandAssociation de variables qualitatives

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Tests de Mac-Nemar et d"homogénéité marginale Tests exacts de Fisher, de Barnard et de Fisher-Freeman-HaltonIntroduction

Correction de Yates

Étude des résidusRègle de décision et conclusion du test Pour un seuil fixé, les tables de la loi du Khi-deux à (I1)(J1)degrés de liberté nous fournissent une valeur critiquectelle quePH02((I1)(J1))6c=1:

Alors nous décidons :

si2(obs)>cH1est vraie; si2(obs)devrions calculer le risque de seconde espècedu test.Myriam Maumy-BertrandAssociation de variables qualitatives

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Tests de Mac-Nemar et d"homogénéité marginale Tests exacts de Fisher, de Barnard et de Fisher-Freeman-HaltonIntroduction

Correction de Yates

Étude des résidusRemarques

Ce test pose plusieurs difficultés :

1Ce test, tel qu"il est exposé, ne peut pas être appliqué à

des échantillons appariés.2S"il y a plus de deux modalités, nous pouvons essayer d"en regrouper si cela est possible, c"est-à-dire si cela a un sens.3Comment faire les regroupements en classe lorsque cela s"avère nécessaire, par exemple si les variables étudiées sont continues? Myriam Maumy-BertrandAssociation de variables qualitatives

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Tests de Mac-Nemar et d"homogénéité marginale Tests exacts de Fisher, de Barnard et de Fisher-Freeman-HaltonIntroduction

Correction de Yates

Étude des résidusRemarques (suite)

4Les conditions d"application sont très contraignantes.

Un effectif totalnsupérieur à 50et des fréquences d"apparition toutes supérieures à 5. Dans le livre de J. Bouyer, ainsi que dans celui de G. Pupion et P.-C. Pupion, il est indiqué que le test est encore utilisable si les effectifs théoriques sont tous supéreurs à 3. J. Bouyer, évoque même la possibilité de se contenter du fait qu"il y ait moins de 20%des cellules pour lesquelles les effectifs théoriques soient inférieurs à 5. Myriam Maumy-BertrandAssociation de variables qualitatives

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Étude des résidusRemarques (suite)

(Suite)Néanmoins tous les auteurs s"entendent pour dire que si dans une telle situation vous obteniez des valeurs proches de la significativité, il est impératif de compléter l"étude par l"utilisation de certains des autres tests présentés ici. Myriam Maumy-BertrandAssociation de variables qualitatives

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Correction de Yates

Étude des résidusRemarques (suite)

5Lorsque les conditions ne sont pas remplies, il existe des

corrections, par exemple celle de Yates ou les tests exacts

de Fisher et de Fisher-Freeman-Halton présentés ci-après.6La nécessité de fondre plusieurs modalités en une seule

pour que les conditions d"applications, mentionnées au paragraphe ci-dessus, soient remplies modifie les variables sur lesquelles porte le test. Myriam Maumy-BertrandAssociation de variables qualitatives

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Correction de Yates

Étude des résidusRemarques (suite)

7Ce test ne tient pas compte de l"éventuelle présence d"un

ordre sur les lignes ou les colonnes du tableau de contingence. Si l"on peut ordonner les modalités de l"un des deux facteurs, on préférera utiliser un test de Kruskal-Wallis et si l"on peut ordonner les modalités des deux facteurs on utilisera un test de Jonckheere-Terpstra. Myriam Maumy-BertrandAssociation de variables qualitatives

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Correction de Yates

Étude des résidusRemarques (suite)

(Suite)On pourra alors, si l"on rejette l"hypothèse nulle H

0: " Le facteurXn"a pas d"effet sur la réponseY»,

étudier les raisons à l"origine de la non-indépendance à l"aide d"un test post-hoc. Le cas d"un tableau à deux lignes etkcolonnes ou àh lignes et deux colonnes peut également être étudié à l"aide d"un test de Mann-Whitney.8Pour des modélisations plus complexes et, par exemple, l"étude de corrélations partielles, nous pourrions utiliser un modèle log-linéaire.Myriam Maumy-BertrandAssociation de variables qualitatives

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Tests de Mac-Nemar et d"homogénéité marginale Tests exacts de Fisher, de Barnard et de Fisher-Freeman-HaltonIntroduction

Correction de Yates

Étude des résidusCorrection de Yates

Lorsque l"on étudie l"indépendance de deux variables et que certaines des fréquences attendues sous l"hypothèse nulleH0: "XetYsont indépendantes » sont inférieures à 5, on peut corriger la statistique du test pour prendre en compte cette situation. Attention il faut néanmoins que toutes les fréquences attendues soient supérieures à 3. La correction de Yates est une correction de continuité qui consiste à utiliser la statistique de test modifiée de la manière suivante. Myriam Maumy-BertrandAssociation de variables qualitatives

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Tests de Mac-Nemar et d"homogénéité marginale Tests exacts de Fisher, de Barnard et de Fisher-Freeman-HaltonIntroduction

Correction de Yates

Étude des résidusStatistique modifiée de Yates 2n=hX i=1k X j=1

Ni;jNi;N;jn

12 2N i;N;jn oùNi;jest le nombre aléatoire de couple(Xi;Yj)qui dans un échantillon indépendant identiquement distribué de taillen appartient à la classeCi;j,Ni;=Pk j=1Ni;jetN;j=Ph i=1Ni;j.Myriam Maumy-BertrandAssociation de variables qualitatives

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Tests de Mac-Nemar et d"homogénéité marginale Tests exacts de Fisher, de Barnard et de Fisher-Freeman-HaltonIntroduction

Correction de Yates

Étude des résidusRemarques

Attention, on n"utilisera la correction que si l"une des fréquences attendues est strictement inférieure à 5. Si au contraire elles sont toutes supérieures ou égales à 5, on montre que la correction de Yates ne modifie que peu la valeur de la réalisation de la statistique du test. Comme le signale J. Bouyer, ce point de vue, c"est-à-dire le fait de réserver cette correction à de petits échantillons, n"est pas partagé par tous les auteurs. Myriam Maumy-BertrandAssociation de variables qualitatives

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Étude des résidusRemarques (suite)

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