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MAT-5107-2 Fonctions et équations exponentielles et logarithmiques Résolution d'équations exponentielles ou logarithmiques Corrigé des exercices

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+ un et la limite de cette somme L'objectif de cet exercice est de déterminer le nombre de solution de l'équation ex ex + 1 = 

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3) Déterminer une équation de la tangente à la courbe de au point d'abscisse 1 Exercice 7 On considère la fonction définie sur par dont le tableau de variations  

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Fonction exponentielle : Exercices

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Calculer avec la fonction exponentielle

Simplier les expressions suivantes ouxest un reel quelconque : a) e1+xe x+2b)e3x+exe

2x+exc)ee

x 4

Equation avec la fonction exponentielle

Resoudre dansRles equations suivantes :

a)e2x=exb)e2x+3= 1 c)e5x2=e d)ex= 0 e) 2ex=4e x+ 1f) 2ex=1e x+ 1Inequation avec la fonction exponentielle

Resoudre dansRles inequations suivantes :

a)e2xex+1<0 b) 1ex20 c)ex1e x0 d)1e xe >0Resoudre dansRl'inequation : 1ex21<0.Inequation avec des exponentielles Resoudre dansRles equations et inequations suivantes, en posantX=ex: a) 2e2xex= 1 b)e2x+ 2ex30Signe avec la fonction exponentielle

Determiner le signe des expressions suivantes :

a) 1exb)e2x1 c)e2xex+1d)e(x2)exe) 11e xInegalites avec la fonction exponentielle

Soitfla fonction denie surRparf(x) = 1ex.

1) Demontrer que pour tout reelx <0,f(x)<0.

2) Demontrer que pour tout reelx0, 0f(x)<1.Demontrer que pour toutx2] 1;0[,e5x3<0L'objectif de cet exercice est de determiner : lim

x!+1exetlimx!1ex

On considere la fonctionfdenie surRparf(x) =exx.

1) Determiner les variations def.

2) En deduire que pour toutxreel,exx

3) En deduire limx!+1ex

4) En deduire lim

x!1ex. On pourra poserX=xL'objectif de cet exercice est de determiner : lim x!+1e xx etlimx!1xex

On considere la fonctionfdenie surRparf(x) =exx22

1) Determinerf0(x) etf00(x).

2) Determiner le signe def00(x) puis def0(x) et en deduire les variations def.

3) En deduire que pour toutx >0,f(x)0.

4) En deduire lim

x!+1e xx 1

5) En deduire lim

x!1xex. On pourra poserX=x.Limite avec la fonction exponentielle Etudier les limites suivantes : a) limx!+1xex+ 1 b) limx!1xex+ 1 c) limx!+1e xxe 2x+ 1 Etudier les limites suivantes : a) limx!+1(2x+ 1)exb) limx!12x+ 1e xc) limx!1xe2xex Etudier les limites suivantes : a) limx!+1e0:5xb) limx!+1e 0:1xx c) limx!+1xe1xd) limx!1xe1xDeterminer la limite suivante : lim x!1xe4xLimite d'une composee avec la fonction exponentielle Etudier les limites suivantes : a) limx!+1e1xb) limx!0x<0e 1x c) limx!0x>0e 1x d) limx!1e1x

Etudier les limites suivantes : a) limx!+1xex2

b) limx!1xex2 Etudier les limites suivantes : a) limx!1ex2x+1b) limx!1ex3x Etudier les limites suivantes : a) limx!+1xe12xb) limx!1xe12xc) limx!0x>0xe

12xd) limx!0x<0xe

12xDerivee et variation avec la fonction exponentielle

On considere la fonctionfdenie surRparf(x) =e13x.

1) Determinerf0(x) pour toutxdeRpuis en deduire le tableau de variations defsurR.

2) Determiner le tableau de variations defsurRsans utiliser la derivation.On considere la fonctionfdenie surRparf(x) =x2ex.

Determinerf0(x) pour toutxdeRpuis en deduire le tableau de variations defsurR.Dans chaque cas, determiner le tableau de variations defsur le domaine I indique :

a)f(x) =e1x etI=Rnf0gb)f(x) =xe1x etI=Rnf0gOn considere la fonctionfdenie sur [0;2] parf(x) =ecosx.

1) Determiner pour toutxde [0;2],f0(x).

2) En deduire le tableau de variations defsur [0;2].Associer courbe et fonction exponentielle

On a trace les courbes de quatre fonctionsf;g;h;idenies surR. On sait quef(x) =ex,g(x) =ex,h(x) =e0:5x,i(x) =e2x Associer a chaque fonction la courbe qui lui correspond en justiant.2 On a trace les courbes de cinq fonctionsf;g;h;i;jdenies surR.

Les droites d'equationy=1 ety= 1

sont asymptotes en +1respectivement aC2etC3.

On sait que :

f(x) =ex1, g(x) =2ex+ 2, h(x) =ex1, i(x) =ex+ex2 1 j(x) =ex1e

x+ 1Associer a chaque fonction la courbe qui lui correspond en justiant.On a trace la courbeCfd'une fonctionfdenie surR.

La courbe defpasse par les pointsA(2;0),B(0;2).

On sait quef(x) = (ax+b)exouaetbsont des reels.

1) A l'aide du graphique, determineraetben justiant.

2) En deduire le tableau de variations def.Une fonctionudenie surRa pour tableau de variations :x

u134+1+1+11111 00

1) Determiner le tableau de variations de la fonctioneu.

2) Determiner les limites deeuen1et +1.On a trace la courbeCfd'une fonctionfdenie surR.

C fpasse par les points A(0;1) et B(-1;0). Test la tangente aCfen A et passe par le point C(1;3).

On sait egalement que pour toutxreel :

f(x) = (ax2+bx+c)exoua,b,csont des nombres.

1) Determiner, pour toutxreel,f0(x).

2) Determiner la valeur dea,betcen justiant.On considere les fonctionsfetgdenies surRparf(x) =exetg(x) =ex.

Dans un repere orthonorme, on a trace les courbesCfetCgde ces deux fonctions.

1) Demontrer que simest le coecient directeur d'une droiteDdu plan alors le vecteur

de coordonnees (1;m) est un vecteur directeur de cette droite.

2) Determiner, pour toutxreel,f0(x) etg0(x).

3) On noteTaet ales tangentes respectives aCfetCg

au point d'abscissea. a) Demontrer que les tangentes aCfetCg au point d'abscisse 0 sont perpendiculaires. b) Demontrer que les tangentes aCfetCgau point d'abscissea sont perpendiculaires quelque soitareel.3

Suite avec la fonction exponentielle

On considere la suite (un) denie surNparun=en.

1) Demontrer que (un) est une suite geometrique et preciser sa raison.

2) On pose pour tout entier natureln,Sn=u0+u1+:::+un.

a) ExprimerSnen fonction den. b) Determiner la limite deSn.

3) On pose pour tout entier natureln,Pn=u0u1:::un

a) Demontrer que pour tout entier natureln,Pn=1e n(n+1)2 b) Determiner la limite dePn.On considere la suite (un) denie pour tout entier naturelnparun= 4en2

1) Demontrer que la suite (un) est strictement croissante.

2) On pose pour tout entier natureln,vn=en2

etSn=v0+v1+:::+vn. a) Demontrer que la suite (vn) est geometrique et preciser sa raison. b) ExprimerSnen fonction den.

c) En deduire la sommeu0+u1+:::+unet la limite de cette somme.L'objectif de cet exercice est de determiner le nombre de solution de l'equation

exe x+ 1=x.

On considere la fonctionfdenie surRparf(x) =exe

x+ 1x.

1) Determiner lim

x!+1f(x) et limx!1f(x).

2) Justier quefest derivable surRet determinerf0(x).

3) Determiner le signe def0(x) et en deduire les variations def.

4) Conclure et donner un encadrement des eventuelles solutions a 10

1pres.On a trace deux courbesC1etC2.

L'une est la courbe d'une fonctionfderivable surR. L'autre est la courbe def0.1) Associer a chaque courbe la fonction qui lui correspond en justiant.

2) On sait que la fonctionfest denie parf(x) = (x2+ax+b)ex+coua,b,csont des nombres.

a) Justier queaetbsont solutions du systeme :4 + 2a+b= 0

9 + 3a+b= 0

b) Resoudre ce systeme et indiquer les valeurs deaetb. c) Determinerf0(x). d) A l'aide du point C, determiner la valeur decet donner l'expression def(x). e) Expliquer comment verier ces resultats a l'aide de la calculatrice.

f) A l'aide du graphique, determiner une equation de la tangente a la courbe defau point d'abscisse 1.4

L'objectif de cet exercice est de trouver une valeur approchee dee.

On considere la fonctionfdenie surRparf(x) =exx1.

1) Etudier les variations defet en deduire que pour toutxreel, 1 +xex.

2) En deduire que pourx <1,ex11x

3) Deduire du 1) que pour tout entiern1,

1 +1n n e

4) Deduire du 2) que pour tout entiern1,e

1 +1n n+1

5) En deduire un encadrement deea 102pres.

6) Soit la suite (un) denie pour tout entiern1 parun=

1 +1n n

Demontrer que pour tout entiern1,e3n

une. En deduire la limite de (un).On considere la fonctionfdenie surRparf(x) =xexetCfsa courbe representative

Partie I

1) Determiner les variations def.

2) Determiner limx!+1f(x) et limx!1f(x).

3) Determiner une equation de la tangenteTa la courbe defau point d'abscisse 0.

4)Etudier la position deTpar rapport aCf.

Partie II

On considere la suite (un) denie pour tout entier naturelnparun+1=uneunetu0= 1.

1) On a traceCf. Determiner graphiquementu1,u2,u3, en faisant apparaitre les traits de construction.2) Conjecturer un majorant et un minorant de la suite (un).

3) Conjecturer le sens de variation de la suite (un).

4) Justier que six2[0;1] alorsf(x)2[0;1].

5) Demontrer la conjecture du 2).

6) Demontrer la conjecture du 3).

7) En deduire que (un) converge. Justier.

8) On note`la limite de (un). On admet que`verie l'equation,`=`e`. Determiner la valeur de`.5

On a trace la courbe de la fonction exponentielle dans un repere orthonorme (O;I;J). On considere un point M d'abscissexsur cette courbe. On cherche la position du point M pour que la distance OM soit minimale.

1) Determiner graphiquement la valeur dexpour laquelle la distance OM est minimale.

2) Determiner la distance OM en fonction dex.

3) On poseg(x) =x2+e2x

a) Determinerg0(x) etg00(x). b) Determiner le signeg00(x) et

En deduire les variations deg0.

c) Demontrer queg0ne s'annule qu'une seule fois surR en un reel note. d) En deduire le signe deg0(x) puis les variations deg. e) Determiner un encadrement dea 101pres. f) Quel est le lien entre OM etg(x)? g) Conclure. Est-ce coherent avec la conjecture du 1) h) Justier que+e2= 0

4) Propriete de la tangente :

a) Placer le point M de la courbe d'abscisse. b) Tracer la tangente T en ce point, approximativement et sans justication. c) Tracer le segment [OM]. Quelle conjecture peut-on faire concernant les droites T et (OM)? d) Determiner un vecteur directeur de T et un de (OM). e) Demontrer la conjecture du c).La hauteur, en metre, d'un plant de mas a l'instanttest modelisee par la fonctionhdenie sur [0;+1[ parh(t) =a1 +be0:04t outest exprime en jour.aetbsont des constantes reelles.

On sait qu'a l'instantt= 0, le plant mesure 0;1 m

et que sa hauteur tend vers 2 m.

1) Determineraetb.

2) On a represente la courbe de la fonctionh.

La vitesse de croissance du plant de mas

correspond a la derivee de la fonctionh. A l'aide du graphique, determiner une valeur approchee de l'instanttou la vitesse de croissance est maximale. A quelle hauteur du plant cela correspond-il?Probleme ouvert - Convexite SoitCla courbe de la fonction exponentielle et A et B deux points distincts deC. Montrer que le segment [AB] est au dessus de la courbeC.6quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1