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Preuves de programmes
?Faire la preuve d"un programme consiste à démontrer deux points : • saterminaison:lefaitquece programmes"arrêteaprèsunnombrefinid"étapes.Avec ce que l"on a vu jusqu"à présent, le seul point qui peut empêcher la terminaisond"un programme est la présence de boucleswhilemal construites; • sacorrection: lefait quelesrésultatsproduitspar leprogrammesontbienceux atten- dus. Pour simplifier, on s"intéresse dans la suite à faire la preuve defonctionsPYTHON. ?Résultat clé pour laterminaisond"une bouclewhile: il n"existe pas de suite infinie, à valeurs entières et positives qui soit strictement décroissante. Conséquence : si on arriveà mettre en évidence une quantité?, à valeurs entières et positives, telles que?décroit
strictement à chaque tour de la boucle, alors la boucle terminenécessairement. ?Résultat clé pour lacorrectiond"une bouclewhile: si on ar- rive à mettre en évidente une propriétéPtelle que •Pest vraie au point?; •si Pest vraie au point?,alors Pest vraie au point?, alorsPsera vraie au point?. Une telle propriétéPest appe- lée uninvariant de boucle. Noter l"analogie avec le principe de récurrence en mathématiques. tant que(condition)Instructions. . .
fin tant que Exemple Python.Somme des termes d"une listeL(si la listeest vide,alorslasommeestnulle).Onnoten=len(L).Le principe du programme :
• On a une variablesqui vaut initialement 0; • On parcourt tous les termes de la liste et chaque terme est ajouté às. Ainsi, unefois que toutelalistea été parcourue,scontient la somme de tous les termes de la liste.?defsomme(L):s= 0 i=0 # Point 1 whileiP:s=L[0]+···+L[i-1]
est un invariant de boucle. Tout d"abord,Pest vraie au point 1 (indiqué par un commen- taire). SupposonsPvraie au point 2, c"est à dires=L[0]+···+L[i-1]. Notonss?la nouvelle valeur desau point 3 eti?la nouvelle valeur deiau point 3, on ai?=i+1 et : s Par conséquentPest vraie au point 3. La propriétéPest bien un invariant de boucle, elle est donc vraie au point 4 (justeà la sortiede la boucle). Au point 4, on ai=n=len(L), donc s=L[0]+···+L[n-1]. Par conséquent la fonction est correcte. Exemple Python.Déterminer le maximum des élé- ments d"une liste de longueurn?1. Le principe du pro- gramme : • On a une variablemqui vaut initialementL[0]; • On parcourt tout les termesL[1],...,L[n-1] et à chaque foisque l"onrencontreuntermestrictement supérieur àm, on donne àmla valeur de ce terme. Ainsi, une fois que toute la liste a été parcourue,m contient le plus grand terme de la liste.? entière, positiveet strictementdécroissante à chaque tour de la boucle, donc la fonction termine. defmaximum(L):m=L[ 0] i= 1 # Point 1 whileiP:m=max(L[0],...,L[i-1])
est un invariant de boucle. En effet, cette propriété est vraie au point 1 (indiqué par un commentaire).SupposonsPvraie au point2,c"est àdirem=max(L[0],···,L[i-1]). Notons m ?la nouvelle valeur demau point 3 eti?la nouvelle valeur deiau point 3 (i?=i+1), on distinguedeux cas. SiL[i]>m, alorsm?=L[i] et : max:m,L[i]>m)=L[i]=m?SiL[i]?m, alorsm?=met :
max:m,L[i]?m)=m=m? Dans tous les cas,Pest vraie au point 3. La propriétéPest bien un invariant de boucle, elle est donc vraie au point 4. Au point 4, on ai=n=len(L), doncm=max(L[0],···,L[n-1]).Par conséquent la fonction est correcte.
Deux exemples fondamentaux à connaitreTrois manières de calculer la somme des termes d"une liste?Premièreversion: dans le style PYTHON, onprend chaque élémentappartenantà la liste.
defsomme(L):