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Intervalle de fluctuation - Intervalle de confiance On utilise un intervalle de fluctuation lorsque la proportion p dans la population est connue ou si l'on fait une 

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Cette estimation se fait à l'aide d'un intervalle de confiance dont l'amplitude diminue lorsque le nombre n de tirages augmente II Échantillonnage Propriété et 

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Chapitre 19 : Intervalle de confiance : pour estimer une proportion I°) Propriété Un intervalle de confiance au niveau 95 est d'amplitude 2 √ Plus la 

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l'aide d'un intervalle de confiance Conditions sur les Cet intervalle s'appelle l' intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 (ou 95 ) On désigne dans la suite niveau de confiance 0,95 avec une amplitude d'au plus 5 centièmes

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I Intervalles de fluctuation associés à une loi binomiale Un échantillon de 10000 personnes donnera une fourchette d'amplitude 2 au niveau de confiance 

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Si α diminue, uα augmente et l'amplitude de l'intervalle augmente Exercice 3 On considère la population d'une grande ville On veut estimer la proportion de 

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sachant que l'amplitude de l'intervalle vaut (f + 1 √n) − (f − 1 √n) = 2 √n Exemple 3 On reprend l'exercice 2 précédent Combien faut-il intérroger de 

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Capture-marquage-recapture, échantillonnage, intervalle de confiance cette représentation pour différentes valeurs de n, on observe que l'amplitude de

pdf Chapitre 19 : Intervalle de confiance : pour estimer une

En effet : l’amplitude de l’intervalle de confiance vaut : 1 + ? ( ? 1 2 ? ) = ? ? Exemple : Avec l’urne ci-dessus déterminer le nombre de boules qu’il faudrait tirer pour que l’intervalle de confiance ait une amplitude inférieure à 005 Puis une amplitude inférieure à 001

Quelques rappels sur les intervalles de confiance

Les bornes de l’intervalle de confiance IC dépendent de l’échantillon elles sont donc aléatoires Par abus de langage on note souvent P ( ? ? IC ) = 1 ? ? Remarquons que si ? augmente (ou que si n augmente) l’amplitude de l’intervalle de confiance diminue

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min(X1; : : : ; Xn) et 2 [ min(X1; : : : ; Xn); max(X1; : : : ; Xn)] = 1 ; on dit alors que [ min(X1; : : : ; Xn); max(X1; : : : ; Xn)] est un intervalle de confiance pour avec coefficient de sécurité 1 : On le note IC1 ( ) Dans la pratique on peut prendre par exemple = 5 ce qui nous donne un IC à 95

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Intervalle de fluctuation

Intervalle de confiance

()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance1 / 1

Intervalle de fluctuation - Intervalle de

confianceOn utilise unintervalle de fluctuationlorsque la proportion pdans la population est connue ou si l"on fait une hypothèse sur sa valeur (prise de décision à partir d"un échantillon). La fréquencefobservée dans un échantillon " doit » appartenir

à l"intervalle de fluctuation considéré.On utilise unintervalle de confiancelorsque l"on veut

estimer une proportion inconnuepdans une population à partir de la fréquencefobservée dans un échantillon (estimation, par exemple dans le cadre d"un sondage).À retenir

Intervalle de fluctuation d"unefréquence

Intervalle de confiance d"uneproportion()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance2 / 1

Intervalle de fluctuation - Intervalle de

confianceOn utilise unintervalle de fluctuationlorsque la proportion pdans la population est connue ou si l"on fait une hypothèse sur sa valeur (prise de décision à partir d"un échantillon). La fréquencefobservée dans un échantillon " doit » appartenir

à l"intervalle de fluctuation considéré.On utilise unintervalle de confiancelorsque l"on veut

estimer une proportion inconnuepdans une population à partir de la fréquencefobservée dans un échantillon (estimation, par exemple dans le cadre d"un sondage).À retenir

Intervalle de fluctuation d"unefréquence

Intervalle de confiance d"uneproportion()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance2 / 1

Intervalle de fluctuation - Intervalle de

confianceOn utilise unintervalle de fluctuationlorsque la proportion pdans la population est connue ou si l"on fait une hypothèse sur sa valeur (prise de décision à partir d"un échantillon). La fréquencefobservée dans un échantillon " doit » appartenir

à l"intervalle de fluctuation considéré.On utilise unintervalle de confiancelorsque l"on veut

estimer une proportion inconnuepdans une population à partir de la fréquencefobservée dans un échantillon (estimation, par exemple dans le cadre d"un sondage).À retenir

Intervalle de fluctuation d"unefréquence

Intervalle de confiance d"uneproportion()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance2 / 1

Intervalle de fluctuation - Intervalle de

confianceOn utilise unintervalle de fluctuationlorsque la proportion pdans la population est connue ou si l"on fait une hypothèse sur sa valeur (prise de décision à partir d"un échantillon). La fréquencefobservée dans un échantillon " doit » appartenir

à l"intervalle de fluctuation considéré.On utilise unintervalle de confiancelorsque l"on veut

estimer une proportion inconnuepdans une population à partir de la fréquencefobservée dans un échantillon (estimation, par exemple dans le cadre d"un sondage).À retenir

Intervalle de fluctuation d"unefréquence

Intervalle de confiance d"uneproportion()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance2 / 1

Intervalle de fluctuation - Intervalle de

confiance La notion d"intervalle de fluctuation est un "fil rouge" des programmes de lycée. Intervalle de fluctuation, intervalle de confiance dans les programmes (résumé) :Interv. de fluctuationInterv. de confiance

Secondeh

p1pn ;p+1pn iSensibilisation

PremièreAvec la loi binomialexxx

Terminale

pupp(1p)pn ;p+upp(1p)pn h f1pn ;f+1pn i ()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance3 / 1

Intervalle de fluctuation

Dans le sens commun (sondages par exemple), un

échantillonest un sous-ensemble obtenu par prélèvement aléatoire dans une population.

Dans le programme (seconde) :

unéchantillon de taillenest constitué des résultats den

répétitions indépendantes de la même expérience.La fréquencefdes individus possédant le caractère dans

l"échantillon varie d"un échantillon à l"autre : c"est la fluctuation d"échantillonnage. Les fluctuations diminuent lorsque la taille des échantillons augmente. ()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance4 / 1

Intervalle de fluctuation

Dans le sens commun (sondages par exemple), un

échantillonest un sous-ensemble obtenu par prélèvement aléatoire dans une population.

Dans le programme (seconde) :

unéchantillon de taillenest constitué des résultats den

répétitions indépendantes de la même expérience.La fréquencefdes individus possédant le caractère dans

l"échantillon varie d"un échantillon à l"autre : c"est la fluctuation d"échantillonnage. Les fluctuations diminuent lorsque la taille des échantillons augmente. ()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance4 / 1

Intervalle de fluctuation

Définition(programme de seconde)

Intervalle de fluctuation au seuil de 95 %: centré autour dep(proportion du caractère dans la population), contient, avec une probabilité (au moins) égale à 0,95, la

fréquence observée dans un échantillon de taillen.Il existe, pour un même seuil,plusieurs intervalles de

fluctuation. On peut vérifier que, pour une même valeur dep, ces

intervalles sont de plus en plus proches lorsquenaugmente.()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance5 / 1

Intervalle de fluctuation

Définition(programme de seconde)

Intervalle de fluctuation au seuil de 95 %: centré autour dep(proportion du caractère dans la population), contient, avec une probabilité (au moins) égale à 0,95, la

fréquence observée dans un échantillon de taillen.Il existe, pour un même seuil,plusieurs intervalles de

fluctuation. On peut vérifier que, pour une même valeur dep, ces

intervalles sont de plus en plus proches lorsquenaugmente.()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance5 / 1

Intervalle de fluctuation

En fonction de l"appartenance ou non defà l"intervalle de fluctuation à 0,95 que l"on a déterminé, on prendune

décisionconcernant la conformité de l"échantillon :sifn"appartient pas à l"intervalle,on rejette, au

risque d"erreur de 5 %, l"hypothèse que l"échantillon est compatible avec le modèle;dans le cas contraire,on ne peut pas rejeter l"hypothèse.(d.r. 2nde pages 14 à 18)()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance6 / 1

Intervalle de fluctuation

En fonction de l"appartenance ou non defà l"intervalle de fluctuation à 0,95 que l"on a déterminé, on prendune

décisionconcernant la conformité de l"échantillon :sifn"appartient pas à l"intervalle,on rejette, au

risque d"erreur de 5 %, l"hypothèse que l"échantillon est compatible avec le modèle;dans le cas contraire,on ne peut pas rejeter l"hypothèse.(d.r. 2nde pages 14 à 18)()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance6 / 1

Intervalle de fluctuation

En fonction de l"appartenance ou non defà l"intervalle de fluctuation à 0,95 que l"on a déterminé, on prendune

décisionconcernant la conformité de l"échantillon :sifn"appartient pas à l"intervalle,on rejette, au

risque d"erreur de 5 %, l"hypothèse que l"échantillon est compatible avec le modèle;dans le cas contraire,on ne peut pas rejeter l"hypothèse.(d.r. 2nde pages 14 à 18)()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance6 / 1

Intervalle de fluctuation vu en seconde

D"après le théorème de Moivre-Laplace (approximation par la loi normale), environ 95 % des échantillons de taillen fournissent une fréquencefappartenant à l"intervalle p1;96rp(1p)n ;p+1;96rp(1p)n :En seconde, on majore 1;96pp(1p)par 1; l"intervalle p1pn ;p+1pn contient l"intervalle précédent. (d.r. collège page 24)()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance7 / 1

Intervalle de fluctuation vu en seconde

D"après le théorème de Moivre-Laplace (approximation par la loi normale), environ 95 % des échantillons de taillen fournissent une fréquencefappartenant à l"intervalle p1;96rp(1p)n ;p+1;96rp(1p)n :En seconde, on majore 1;96pp(1p)par 1; l"intervalle p1pn ;p+1pn contient l"intervalle précédent. (d.r. collège page 24)()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance7 / 1

Intervalle de fluctuation - Loi binomiale

(première) Avec la notion de variable aléatoire et la loi binomiale, il n"est plus nécessaire d"approximer par la loi normale. L"intervalle de fluctuation à 95 % d"une fréquence correspondant à la réalisation, sur un échantillon aléatoire, d"une variable aléatoireXde loiB(n;p)est l"intervalle an ;bn défini par :aest le plus petit entier tel queP(X6a)>0;025;

best le plus petit entier tel queP(X6b)>0;975.()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance8 / 1

Intervalle de fluctuation - Loi binomiale

(première) Avec la notion de variable aléatoire et la loi binomiale, il n"est plus nécessaire d"approximer par la loi normale. L"intervalle de fluctuation à 95 % d"une fréquence correspondant à la réalisation, sur un échantillon aléatoire, d"une variable aléatoireXde loiB(n;p)est l"intervalle an ;bn défini par :aest le plus petit entier tel queP(X6a)>0;025;

best le plus petit entier tel queP(X6b)>0;975.()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance8 / 1

Intervalle de fluctuation - Terminale

F n= variable aléatoire qui, à tout échantillon de taillen, associe la fréquence d"apparition du caractère dans cet

échantillon.

pupp(1p)pn ;p+upp(1p)pn =intervalle de fluctuation asymptotiqueau seuil 1deFn. Il contientFnavec une probabilité d"autant plus proche de

1quenest grand.

En terminale ES/L, STI2D, STL, STMG :

=0;05; 1=0;95;u=1;96. (seuil 95 %).()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance9 / 1

Intervalle de confiance

Estimation d"une proportion inconnuepgrâce à un

échantillon aléatoire

Soitfla fréquence observée dans un échantillon de taillen.On peut faire uneestimation ponctuelleen posantp=f.

Cette estimation varie d"un échantillon à l"autre du fait de la fluctuation d"échantillonnage.Mieux : On cherche unintervalle de confiance de la proportionp(c"est-à-dire un intervalle contenant " très vraisemblablement »p) à partir de la fréquencef.

(d.r. 3ème p.25, 2nde p.18, terminale p.30 ...)()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance10 / 1

Intervalle de confiance

Estimation d"une proportion inconnuepgrâce à un

échantillon aléatoire

Soitfla fréquence observée dans un échantillon de taillen.On peut faire uneestimation ponctuelleen posantp=f.

Cette estimation varie d"un échantillon à l"autre du fait de la fluctuation d"échantillonnage.Mieux : On cherche unintervalle de confiance de la proportionp(c"est-à-dire un intervalle contenant " très vraisemblablement »p) à partir de la fréquencef.

(d.r. 3ème p.25, 2nde p.18, terminale p.30 ...)()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance10 / 1

Intervalle de confiance

Estimation d"une proportion inconnuepgrâce à un

échantillon aléatoire

Soitfla fréquence observée dans un échantillon de taillen.On peut faire uneestimation ponctuelleen posantp=f.

Cette estimation varie d"un échantillon à l"autre du fait de la fluctuation d"échantillonnage.Mieux : On cherche unintervalle de confiance de la proportionp(c"est-à-dire un intervalle contenant " très vraisemblablement »p) à partir de la fréquencef.

(d.r. 3ème p.25, 2nde p.18, terminale p.30 ...)()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance10 / 1

Intervalle de confiance

Sin>30 et sinf>5 etn(1f)>5, unintervalle de

confiancedepau niveau de confiance 0,95 est f1pn ;f+1pn Parmi tous les échantillons de taillenpossibles, 95 % des intervalles associés f1pn ;f+1pn contiennentp. Une fois l"échantillon tiré, l"intervalle de confiance associé est entièrement fixé, il n"y a plus d"aléatoire à ce stade. Il est donc incorrect de dire quepa une probabilité 0,95 d"appartenir à cet intervalle (pest inconnu mais pas aléatoire). (document ressource 2nde, pages 18 et 19)()Intervalle de fluctuation Intervalle de confiance11 / 1quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48