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S'il est nul, on dit que T est un estimateur sans biais L'estimateur Tn est asymptotiquement sans biais si lim E[Tn] = θ0 On note souvent le biais bθ(T) 

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B- Précision d'un estimateur C- Exhaustivité D- information E-estimateur sans biais de variance minimale, estimateur efficace F- Quelques méthode s d' 

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En effet, un estimateur sans biais mais à variance élevée peut fournir des estimations très éloignées de la vraie valeur du paramètre Page 6 FIIFO 3

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On introduit les propriètes suivantes d'un estimateur : DÉFINITION 3 — T est un estimateur sans biais de g(θ) si pour tout θ ∈ Θ, Eθ[T] 

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Estimateur sans biais Précision et efficacité d'un estimateur Estimateur convergent Le problème : Comment pouvons-nous estimer θ à partir de n observations

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Autres probl`emes d'estimation par intervalle de confiance MTH2302D: θ est sans biais ou non-biaisé si Biais(ˆθ)=0 des estimateurs sans biais de µ et σ2

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paramétrique, un CDF, un PDF, un PMF Définition - La biais (bias) d'une estimateur : Un estimateur sans biais est souhaitable, mais pas indispensable,

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2 fév 2017 · On note que si ˆθ est un estimateur sans biais de θ, alors: EQMθ(ˆθ) = varθ(ˆθ) Ceci fait ressortir tout l'intérêt que l'on peut porter à la variance

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3 4 L'estimation sans biais et de variance minimale 28 autre estimateur sans biais de variance inférieure, pour peu qu'il existe une statistique exhaustive Même chose en pdf avec pdf ("nomfichier pdf ") Pour tracer un 

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On dispose d'un n-échantillon (X1,··· ,Xn) d'une loi de Poisson de paramètre λ > 0 1) Montrer que la moyenne empirique ¯ Xn est un estimateur sans biais de λ

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IFT6085-H2014: Modèles Graphiques Probabilistes04 - Propriétés des estimateurs IFT6085-H2014: Modèles Graphiques Probabilistes Prof:

Aaron Courville

Email:aaron.courville@umontreal.caOffice:3253 Pav. Andre Aisenstadt

Propriétés des estimateurs

1 IFT6085-H2014: Modèles Graphiques Probabilistes04 - Propriétés des estimateurs

Estimateurs ponctuels

Retour à estimateurs ponctuels (estimation du maximum de vraisemblance), nous allons laisser tomber la perspective bayésienne (pour le moment). En général, l'estimation ponctuelle se réfère à trouver une seule "meilleure estimation» d'une certaine quantité d'intérêt. La quantité d'intérêt pourrait être un paramètre dans un modèle paramétrique, un CDF, un PDF, un PMF... Nous occupe de l'estimation des paramètres d'un modèle paramétrique. 2 IFT6085-H2014: Modèles Graphiques Probabilistes04 - Propriétés des estimateurs

Estimateurs ponctuels des paramètres

Convention: Nous notons une estimation ponctuelle du vrai paramètre par .

Point de vue statistique orthodoxe:

Le paramètre est une quantité inconnue fixe. L'estimateur dépend des données donc c'est une variable aléatoire (les données sont aléatoires)

Point de vue bayésienne:

Les variables aléatoires représentent des quantités inconnues. Les données est observée et donc pas aléatoire Le vrai paramètre est inconnu et donc aléatoire. Pour l'instant, nous prenons la perspective statistique orthodoxe. 3 IFT6085-H2014: Modèles Graphiques Probabilistes04 - Propriétés des estimateurs Biais •Soit X 1 ,...,X n n points de données i.i.d. de un distribution F. •L'estimateur de est un fonction de X 1 ,...,X n Définition - La biais (bias) d'une estimateur : on dit que soit non biaisé (unbiased) si: Un estimateur sans biais est souhaitable, mais pas indispensable, beaucoup de nos estimateurs sont biaisé. 4 n =g(X 1 ,...,X n )biais( n )=E n θE n IFT6085-H2014: Modèles Graphiques Probabilistes04 - Propriétés des estimateurs

Exemple de biais: loi de Bernoulli

Soit

Estimateur (ML):

biaisé? 5

Bernoulli distribution:

-X est un v.a. binaire:

The model parameter:

-The Bernoulli p.m.f(x):

X≂Bernoulli(p)f(x;p)=p

x (1-p) 1-x x?{0,1}θ=p?Θ=[0,1]X 1 ,...,X n ≂Bernoulli(p) ˆp n 1 n n i=1 X i

E(ˆp

n 1 n n i=1 E(X i 1 n n i=1 p =p biais(ˆp n )=E(ˆp n )-p IFT6085-H2014: Modèles Graphiques Probabilistes04 - Propriétés des estimateurs L'estimateurs de la variance de la loi gaussienne: variance de l'échantillon

Chose qu'on besoin:

Biais - variance de loi gaussienne: 1. variance de l'échantillon 6 S 2 1 n-1 n i=1 (X i X) 2 X= 1 n n i=1 X i E(S 2 )=E 1 n-1 n i=1 (X i X) 2 =E 1 n-1 n i=1 (X 2 i -2 XX i X 2 =E 1 n-1 n i=1 X 2 i -2 X n i=1 X i n i=1 X 2 =E 1 n-1 n i=1 X 2 i -n X 2 1 n-1 nE(X 2 1 )-nE( X 2 1 n-1 n(σ 2 2 )-n 2 n 2 2 non biaisé Var(

X)=V ar

1 n n i=1 X i 1 n 2 Var n i=1quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1