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Chapitre 3. Estimation

Pierre Duchesne

February 2, 2017

Pierre DuchesneChapitre 3. Estimation

Chapitre 3. Estimation

SoitXun caractère étudié dans une populationP. On suppose que l"on connaît la loi deXmais à un (ou plusieurs) paramètres près. Exemple:SoitXle nombre de pièces défectueuses produite par une machine dans un lot denpièces. Dans un lot den pièces sélectionnées au hasard et avec remise, nous avons ici que

XBin(n;):

Ici, c"estqui est le paramètre inconnu.Pierre DuchesneChapitre 3. Estimation Plus formellement, la loi deXappartient à une famille de loi: fFg2; oùest appeléespace paramétrique. Dans l"exemple précédent,XBin(n;)et = [0;1].

La famille de lois correspondante est alors:

fBin(n;)g2[0;1]:Pierre DuchesneChapitre 3. Estimation Exemple:La taille d"un individu peut être modélisée par une loi normale. SoitX:la taille d"un individu adulte demeurant à Montréal. On aura donc queX N(;2). La famille de lois est alors: fN(;2)g(;2)2RR+

Dans ce cas-ci, =RR+.

Dans cet exemple, le paramètre est le vecteur= (;2)>, qui est de dimension deux, ou encore bivarié.

Pierre DuchesneChapitre 3. Estimation

En clair, la loi deXsera entièrement connue si on connaît la valeur du paramètre inconnu(ousi le paramètre est de dimension supérieure à un). La théorie de l"estimation a pour principal objectif d"approcher numériquement la valeur du paramètre inconnu.

On distingue deux formes d"estimation:

(i)Estimation ponctuelle: attribuer une valeur unique à (ou encore à). (ii)Estimation par intervalle de confiance: attribuer un ensemble de valeurs à. Règle générale, l"estimation se fait au moyen de l"information puisée dans un échantillon.

Pierre DuchesneChapitre 3. Estimation

Chapitre 3.1 Estimation ponctuelle

SoitXun caractère étudié et soitE:X1;:::;Xnun échantillon associé àX.

Définition: Un estimateur est une statistique

T=t(X1;:::;Xn)

telle que son support (c"est-à-dire l"ensemble des valeurs qu"elle est susceptible de prendre) soit situé dansl"espace paramétrique.

Pierre DuchesneChapitre 3. Estimation

Exemple: ConsidéronsXN(;1). L"espace paramétrique du paramètre est ici =R. SoitE:X1;:::;Xnun échantillon associé àX. Les fonctions suivantes sont des exemples de statistiques: a)T1=X1; b)T2= (X1+X2)=2; c)T3= (minfX1;:::;Xng+maxfX1;:::;Xng)=2; d)T4=médianefX1;:::;Xng; e)T5=1n2P n i=2Xi+X20101X2010n; f)T6=1n P n i=1Xi. Il y a plusieurs estimateurs possibles dans un problème donné. C"est au moyen de critères que l"on va départager les estimateurs.

Pierre DuchesneChapitre 3. Estimation

Critère 1: Absence de biais

Dans ce qui suit,

^sera une notation pour un estimateur du paramètre. Définition:Un estimateur^deest dit sans biais si:

E(^) =;82:

Ainsi, cette condition d"absence de biais assure que, à la longue, les situations où l"estimateur surestime et sous-estime vont s"équilibrer, de sorte que la valeur estimée sera correcte en moyenne. Une interprétation physique à l"absence de biais est que l"espérance mathématique est une mesure de position, de sorte que le centre de gravité de^est le paramètre que l"on veut estimer.

Pierre DuchesneChapitre 3. Estimation

Définition:Le biais d"un estimateur^deest la quantité: b (^) =E(^): On note que le signe a un sens ici. Un estimateur possèdera un biais positif si en moyenne il sur-estime la vraie valeur.

Il aura un biais négatif sinon.

Un estimateur^est sans biais poursi et seulement si b (^) =0,82.Pierre DuchesneChapitre 3. Estimation Théorème:SoitE:X1;:::;Xnun échantillon associé àX, tel queE(X) =et var(X) =2. AlorsXest un estimateur sans biais pour. En effet:

E(X) =1n

E nX i=1X i! 1n fnX i=1E(Xi)g=:

Siest connu,S2=1n

P n i=1(Xi)2est sans biais pour2.

En effet:

E(^2) =1n

E( nX i=1(Xi)2) 1n fnX i=1

2g=2:Pierre DuchesneChapitre 3. Estimation

Finalement, siest inconnu,S2=1n1P

n i=1(XiX)2est sans biais pour2. Pour montrer le résultat facilement, on note que l"on peut réécrireS2=1n1P n i=1(YiY)2, avecYi=Xi. Donc, sans perte de généralité, on peut supposer queE(Xi) =0.

On supposeE(Xi) =0. OrS2=1n1(Pn

i=1X2inX2). Ainsi E(Pn i=1X2i) =n2. De mêmeE(X2) =var(X) =2=n. Donc:

E(S2) =1n1(n22) =2:

Remarque:On note que le résultat de ce théorème est valide quelque soit la loi (en particulier nous n"avons pas présumé la normalité).

Pierre DuchesneChapitre 3. Estimation

Critère 2: Erreur quadratique moyenne minimale

Définition: L"erreur quadratique moyenne d"un estimateur^est: EQM (^) =En (^)2o On note que la littérature anglophone note MSE dont le sens estmean squared error. Un résultat important exprime l"EQM en fonction de la variance et du biais carré: EQM (^) =var(^) +b2(^):Pierre DuchesneChapitre 3. Estimation

Proposition:EQM(^) =En

(^)2o =var(^) +b2(^): Pour montrer le résultat, on utilise l"artifice suivant: ^)2=n^E(^) +E(^)o 2; n^E(^)o

2+2n^E(^)on

E(^)o +n E(^)o 2; n^E(^)o

2+2n^E(^)o

b (^) +b2(^); On prend alors l"espérance mathématique de chaque côté.

On note queEn

(^E(^))2o =var(^); en effet, par définition, var(X) =Ef(XE(X))2g.

De mêmeEn^E(^)o

=E(^)E(^) =0.Pierre DuchesneChapitre 3. Estimation Plus l"EQM d"un estimateur est petit, plus l"estimateur est considéré précis. On note que si^est un estimateur sans biais de, alors: EQM (^) =var(^): Ceci fait ressortir tout l"intérêt que l"on peut porter à la variance d"un estimateur, comme critère de précision d"une classe composée de certains estimateurs.

Pierre DuchesneChapitre 3. Estimation

L"application simultanée des critères 1 et 2 peut être conflictuelle.

Exemple:Supposons queXN(;2), oùest inconnue et

considérons deux estimateurs de2: S

2=1n1n

X i=1(XiX)2;quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5