[PDF] courbe paramétrée tracer
[PDF] courbe paramétrée symétrie
[PDF] courbes paramétrées exercices corrigés prépa
[PDF] courbe paramétrée exo7
[PDF] comment dessiner une branche parabolique
[PDF] résumé branches infinies
[PDF] branches infinies developpement limité
[PDF] branche parabolique de direction asymptotique
[PDF] methode branches infinies
[PDF] etudes des fonctions branches infinies
[PDF] mode d'emploi lave linge brandt
[PDF] comment utiliser machine a laver brandt
[PDF] bras de levier définition
[PDF] levier inter appui
[PDF] cours moment d'une force par rapport ? un axe
COURBES PARAM
ETREES
Resume de cours de calcul dierentiel 2 L3 de B. Calmes, Universite d'Artois (version du 6 mars 2016) Dans ce qui suit, un espace vectoriel de dimension nie est toujours muni de la topologie induite par n'importe quelle norme d'espace vectoriel dessus. Lorsqu'on a besoin d'une norme specique surRn, il s'agit toujours de la norme euclidienne, sauf mention contraire. UnCk-dieomorphisme est une bijectionCkdont l'inverse estCk; lorsquek= 0, il s'agit simplement d'un homeomorphisme, i.e. une bijection continue d'inverse continue.
1.Parametrage
1.1.Denition.On appellecourbe parametreedansRnest une application conti-
nuef:I!RnouIest un intervalle deR. Lesupportde la courbe est l'image de fdansRn. Lai-eme coordonnee (1in) est l'application continuefi=pif: U!Roupi:Rn!Rest la projection sur lai-eme coordonnee. Enn, sin= 2, on parle de courbeplane.
1.2.Remarque.L'intervalleIpeut-^etre ouvert, comme ]a;b[ ouR, ferme, comme
[a;b] ouR, ou ni l'un ni l'autre, comme [a;b[. Remarquons simplement que les proprietes locales (tangence, dierentiation) se denissent plut^ot sur un ouvert, et les proprietes dependant de mesures (longueur) se denissent plus simplement sur un ferme compact. Nous passerons donc d'une situation a l'autre selon l'aspect etudie. Enn, il peut arriver que l'on veuille denir une courbe sur autre chose qu'un unique intervalle, par exemple surR, qui est une union de deux intervalles ouvert. L'extension des concepts abordes a cette generalite ne pose pas de probleme, et nous nous limitons au cas d'un seul intervalle par souci de simplicite, plut^ot que par necessite.
1.3.Remarque.Il est commun de denirfen utilisant une variablet2I, consideree
comme representant le temps. On parle alors du pointf(t)en un tempstdonne. Deux courbes parametrees peuvent avoir le m^eme support, sans qu'il soit parcouru de la m^eme maniere comme par exemple les courbesf(t) = (t;t) etf(t) = (t3;t3), dont le support est la droite diagonale deR2. Lorsque qu'une courbe parametree est donnee par une applicationfqui estCk pour un certaink0, on parle de courbe parametreeCk(d'apres notre denition, toute courbe parametree estC0). Bien entendu, c'est le cas si et seulement si chacune des coordonneesfiestk-fois derivable et de deriveek-ieme continue. Par convention, si l'intervalle est ferme, nous dirons que la courbe estCksi elle estCksur l'interieur deIet si elle admet des deriveesk-iemes aux bornes, a droite ou a gauche selon le cas. 1
2 COURBES PARAM
ETREES
Bien entendu, la dierentielle d'une courbe en un pointt(lorsqu'elle existe) est l'applicationR!Rndenie par la matrice colonne f
0(t) =0
B BB@f 01(t) f 02(t) f
0n(t)1
C CCA:
1.4.Denition.Une courbe parametreef:I!Rnest ditesimplesifest
injective.
1.5.Denition.Sif:I!Rnetg:J!Rnsont deux courbes parametrees, on
dit qu'elles sontequivalentes(resp.Ck-equivalentes) s'il existe un homeomorphisme (resp. unCk-dieomorphisme):I!Jtel queg=f. Un telest alors appele unchangement de parametre. Il est evident que deux courbes parametrees equivalentes ont m^eme support, que l'une est simple si l'autre l'est, et si elles sontCk-equivalentes, l'une estCksi l'autre l'est, etc.
2.Longueur et abscisse curviligne
La norme consideree surRnest toujours la norme euclidienne. Soitf:I!Rnune courbe parametree et soit = (t1<< tk+1) une subdivision deI(doncti2Ipour touti). On considere la longueur totale des segments
L(f;) =kX
i=0kf(ti+1)f(ti)k
2.1.Denition.On dit que la courbefestrectiablesi
L(f) = sup
(L(f;))<+1 ou parcourt toutes les subdivisions deI. Dans ce cas, ce nombre est appele la longueurde la courbe.
2.2.Remarque.SiI= [a;b], on peut ne considerer que des subdivisions pour les-
quellest0=aettk+1=b.
2.3.Proposition.Si deux courbes sont equivalentes, alors l'une est rectiable si
et seulement si l'autre l'est, et elles ont alors m^eme longueur.
2.4.Theoreme.SiIest ferme et si la courbe parametree estC1, alors elle est
rectiable et sa longueur vaut
L(f) =Z
b a kf0(t)kdt:
2.5.Denition.Sif:I!Rnverie que pour tousa;bdansI, on a L(fj[a;b]) =
jbaj, alors on dit que la courbe estparametree par longueur d'arc.
2.6.Proposition.Sif:I!RnestC1, alors elle est parametree par longueur
d'arc si et seulement sikf0(t)k= 1pour toutt2I.
COURBES PARAM
ETREES 3
2.7.Denition.Etant donne une courbeC1et un pointt02I, on denits:I!R
l'abscisse curviligne d'originet0par s(t) =Z t t
0kf0(x)kdx:
On voit immediatement quesest derivable surIet que (2.1)s0(t) =kf0(t)k: De plus, sifest deux fois dierentiable entetkf0(t)k 6= 0, alors (2.2)s00(t) =f0(t)f00(t)kf0(t)k (produit scalaire au numerateur).
2.8.Proposition.Soitfune courbe reguliere. Alors il existe une courbeC1-
equivalente afqui est parametree par longueur d'arc.
3.Tangente
Pour s'interesser au comportement local d'une courbe parametree au voisinage d'un point, plusieurs concepts sont utiles. Le plus simple est celui detangente, qui consiste a approximer le support de la courbe par une droite. Comme c'est uniquement le comportement local qui nous interesse, on supposera la courbe denie sur un intervalleouvertdeIdeR.
3.1.Denition.Soitt2I. S'il existe une fonction:U!Rdenie sur un
voisinage ouvertUdettelle que lim x!t(x)(f(x)f(t)) =v6= 0 (i.e. existe et est un vecteurnon nulv2Rn), on dit que la courbe parametree admet pour tangente entla droite passant parf(t) et de direction portee parv.
Cette denition est justiee par le lemme suivant :
3.2.Lemme.Soient deux fonctionsetproduisant des vecteurs limitesuetv
dans la denition precedente. Alorsuetvsont colineaires.
3.3.Denition.La courbe parametreefest ditereguliere ent2Isi elle estC1
sur un voisinage detet sif0(t)6= 0. Elle est ditereguliereelle est reguliere en tout t2I.
3.4.Proposition.Soitf:I!Eune courbe parametree dierentiable entet telle
quef0(t)est non nulle. AlorsDf(t)est injective, de rang1. De plus, la courbe admet une tangente entau sens de la denition3.1 et c ettetangente est la dr oite passant parf(t)et de direction portee parf0(t).
3.5.Corollaire.Pour une courbe reguliere en un point, la tangente concide avec
l'espace tangent au sens de la denition 4.5 du r esume1.
3.6.Denition.Lorsque la courbefest dierentiable en un tempst, de dierentielle
f
0(t), on appelle souvent cette dierentielleapplication tangente.
Plus generalement :
4 COURBES PARAM
ETREES
3.7.Proposition.Soitf:I!Eune courbe parametreeCkau voisinage det,
telle quef(i)(t) = 0pouri= 0;:::;k. Supposons de plus quef(k+1)(t)existe et est non nulle. AlorsDk+1f(t)est injective, de rang1, etfadmet une tangente entau sens de la denition 3.1 , qui est la droite passant parf(t)et de directionf(k+1)(t)).
3.8.Remarque.Si la dierentielle n'existe pas, alors, tout peut arriver. Regarder
la courbe (t;pjtj). Montrer qu'elle n'est pas dierentiable en 0 (pas de derivee partielle). Pourtant il y a une tangente au sens du dessus.
Par application du theoreme
4.2 du r esume1 on a :
3.9.Proposition.Sous les hypotheses de la proposition3.4 , en supposant de plus
quefestCkk1ent, il existe un voisinage ouvertUdet, un voisinage ouvert Vdef(t), un voisinage ouvertWdef0g 2Rn1ainsi qu'unCk-dieomorphisme :UW!Vtel que =f, ouest l'inclusionU!UW, envoyantusur (u;0). Dit de maniere imagee, une courbe ressemble a sa tangente.
3.10.Corollaire.Si la courbefest reguliere en un pointt2I, alors il existe un
voisinage ouvertUdettel que la restriction de la courbe aUest simple.
4.Normale, courbure et repere de Frenet
4.1.Denition.Lorsqu'une courbef:I!Rnadmet une tangente ent2I, le
sous-espace ane orthogonal (au sens du produit scalaire euclidien) a cette tan- gente, et passant parf(t) est appelesous-espace normala la courbe ent. S'il est de dimension 1 (courbe a valeurs dansR2), alors on parle dedroite normale. Supposons maintenant la courbref:I!Rnparametree par longueur d'arc; on appellera le parametresplut^ot quetpour s'en souvenir.
4.2.Proposition.Si la courbe est deux fois dierentiable ens2I, alors
(1) le ve cteurf00(s)est orthogonal au vecteur tangentf0(s), il se trouve donc dans le sous-espace normal. (2) Si f00(s)est non nul, et que la courbe est a valeurs dansR2, alors(f0(s);f00(s)) forme une base deR2, ouf0(s)engendre la tangente, etf00(s)engendre la normale.
4.3.Denition(courbure d'une courbe plane).Dans le cas oufest une courbe
plane deux fois dierentiable ens, parametree par longueur d'arc, on denit sa courbure algebriqueenspar (s) = det(f0(s);f00(s)):
Lacourbure(tout court) est(s) =j(s)j.
Bien entendu, la courbure algebrique peut ^etre negative, mais pas la courbure Soit(s) =f0(s), et soit(s) le vecteur unitaire deR2faisant un angle de +=2 avec(s). En d'autres termes, (s) =f01(s) f 02(s) ; (s) =f02(s) f 01(s) et ces vecteurs sont unitaires.
COURBES PARAM
ETREES 5
4.4.Proposition.On a les relations
0(s) = (s)(s); 0(s) =(s)(s)etkf00(s)k=j(s)j=(s)
En presence d'une courbe reguliere qui n'est pas parametree par longueur d'arc, mais qui estC2au point considere, on s'y ramene par changement de variableC2en posants(t) avecs0(t) =kf0(t)kpour denir la courbure, qui est alors donnee par : (t) =f0(t)kf0(t)k; 0(t) = (t)kf0(t)k(t): B Un changement de variable decroissant changera le signe de la courbure algebrique. On peut vouloir exprimer directement les vecteurs vitesse et acceleration dans le repere de Frenet, et la courbure en fonction de ceux-ci :
4.5.Proposition.Soitf:I!R2une courbeC2reguliere. Alors
f
0(t) =kf0(t)k(t); f00(t) =f0(t)f00(t)kf0(t)k
(t) + (t)kf0(t)k2(t) et (t) =det(f0(t);f00(t))kf0(t)k3:
4.6.Denition.Toujours lorsquef:U!R2est reguliere etC2ent, avecf00(t)6=
0, on denit le cercleoscullateurafentcomme le cercle de rayon 1=(t) et de
centre enf(t) + (1=(t))(t).
4.7.Proposition.Quand il est deni, le cercle oscullateur est l'unique cercle qui
a un contact d'ordre au moins2(voir4.6 ) avec la courbe. Dans le cas d'une courbe parametree reguliere dansR3, on peut toujours considerer le vecteur(s) =f0(s), mais on ne peut pas denir le vecteur(s) par l'angle algebriquequ'il fait avec, ca n'a pas de sens. Par contre, sif00(s) existe et est non nul, on dispose toujours d'un vecteur orthogonal a(s), par le point (1) de la proposition 4.2 . On pose donc dans ce cas
4.8.Denition(repere de Frenet dans l'espace).Pour une courbef:I!R3
parametree par longueur d'arc, deux fois dierentiable enset telle quef00(s)6= 0, le repere de Frenet ensest le repere orthonorme direct (s) =f0(s); (s) =f00(s)kf00(s)ket(s) =(s)^(s): La droite passant parf(s) et de direction(s) (resp.(s)) est appeleenormale principale(resp.binormale).
Notons qu'on a donc
(4.1)k(s)k=k(s)k=k(s)k= 1 et(s)(s) =(s)(s) =(s)(s) = 0:
4.9.Denition(courbure et torsion).On denit lacourbure(s) =0(s)(s) et
sifest 3-fois dierentiable ens, latorsion(s) =0(s)(s).
4.10.Proposition.Sifest3-fois dierentiable ens,
(4.2)0(s) =(s)(s); 0(s) =(s)(s)(s)(s)et0(s) =(s)(s):
6 COURBES PARAM
ETREES
Sous forme matricielle, les equations (
4.2 ) de la proposition donnent dds 0 @(s) (s) (s)1 A =0 @0(s) 0 (s) 0(s)
0(s) 01
A0 @(s) (s) (s)1 A
4.11.Remarque.Par denition de(s), on a(s)>0, alors que(s) est quelconque.
Il est facile de voir que sifestCk,k3, alors,etsontCk2etestCk3. De m^eme que dans le plan, lorsque le parametrage est quelconque et que la courbe estC2, on se ramene par changement de variables(t) avecs0(t) =kf0(t)ka un parametrage par longueur d'arc pour denir le repere de Frenet, la courbure et la torsion, qui sont donc denis par : (t) =f0(t)kf0(t)k; 0(t) =(t)kf0(t)k(t);
0(t) =(t)kf0(t)k(t)(t)kf0(t)k(t);et0(t) =(t)kf0(t)k(t):
ou(t)>0. Autrement dit : ddt 0 @(t) (t) (t)1 A =kf0(t)k0 @0(t) 0 (t) 0(t)
0(t) 01
A0 @(t) (t) (t)1 A Lorsqu'on exprime directement la courbure et la torsion en fonction des derivees def, on trouve :
4.12.Proposition.Soitf:I!R2une courbeC3reguliere ent, et telle que
f
00(t)6= 0. Alors
f
0(t) =kf0(t)k(t); f00(t) =f0(t)f00(t)kf0(t)k
(t) +(t)kf0(t)k2(t) (t) =kf0(t)^f00(t)kkf0(t)k3et(t) =det(f0(t);f00(t);f000(t))kf0(t)^f00(t)k2quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25
[PDF] Chapitre 6 Courbes paramétrées