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Dans cet exercice, les parties I et II sont indépendantes Un silo à grains a la forme d'un cône surmonté d'un cylindre de même axe A, I, O et S sont des points  

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3ème 2011 - Pondichéry

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ENONCE

Activités numériques

Exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est

exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse correcte rapporte 1 point. L'absence de

réponse ou une réponse fausse ne retire aucun point. Indiquer sur la copie, le numéro de la question et la réponse.

Réponse A Réponse B Réponse C

Question 1 Les diviseurs communs

à 30 et 42 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 et 7. 1 ; 2 ; 3 et 6 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 7

Question 2 Un sac contient 10

boules blanches et 5 boules noires. On tire une boule au hasard. La probabilité de tirer une boule noire est égale à : 1 3 1 2 1 5

Question 3 La représentation

graphique des solutions de l'inéquation

7 5 4 1xx

est :

Question 4

234
5 10 10 10 est égal à 710
1510
310

Exercice 2

On donne l'expression :

(2 1)( 5)A x x

1. Développer et réduire A.

2. Calculer A pour

3x

3. Résoudre l'équation :

0A

Exercice 3

Sur le graphique ci-dessous, on a reporté les résultats obtenus en mathématiques par Mathieu tout au long

de l'année scolaire. 0 2 0 2 -2 0

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1. A quel devoir Mathieu a-t-il obtenu sa meilleure note ?

2. Calculer la moyenne des notes de Mathieu sur l'ensemble de l'année.

3. Déterminer l'étendue de la série de notes de Mathieu.

4. a. Combien Mathieu a-t-il eu de notes strictement inférieures à 10 sur 20 ?

b. Exprimer ce résultat en pourcentage du nombre total de devoirs.

Activités géométriques

Exercice 1

On considère la figure ci-contre qui n'est pas en vraie grandeur. On ne demande pas de refaire la figure.

ABD est un triangle isocèle en A tel que

75ABD

C est le cercle circonscrit au triangle

ABD ;

O est le centre du cercle C ;

[BM] est un diamètre de C ;

1. Quelle est la nature du triangle BMD ? Justifier la réponse.

2. a. Calculer la mesure de l'angle

BAD b. Citer un angle inscrit qui intercepte le même arc que l'angle BMD c. Justifier que l'angle BMD mesure 30°.

3. On donne :

5,6BD cm

et

11,2BM cm

. Calculer DM. On arrondira le résultat au dixième près. C

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Exercice2

Dans cet exercice, les parties I et II sont indépendantes. Un silo à grains a la forme d'un cône surmonté d'un cylindre de même axe. A, I, O et S sont des points de cet axe.

On donne :

1,60SA m

2,40AI m

1,20AB m

Partie I : on considère la figure 1 ci-contre.

1. On rappelle que le volume d'un cône est donné par la formule :

21

3rhu u u

et que

311dm litre

a. Montrer que le volume du cône, arrondie au millième près, est de 2,413 3m b. Sachant que le volume du cylindre, arrondie au millième près, est de 10,857 3m , donner la contenance totale du silo en litres.

2. Actuellement, le silo à grains est rempli jusqu'à une hauteur

1,20SO m

. Le volume de grains prend

ainsi la forme d'un petit cône de sommet S et de hauteur [SO]. On admet que ce petit cône est une

réduction du grand cône de sommet S et de hauteur [SA]. a. Calculer le coefficient de réduction. b. En déduire le volume de grains contenu dans le silo. On exprimera le résultat en 3m et on en donnera la valeur arrondie au millième près. Partie II : on considère la figure 2 ci-contre. Pour réaliser des travaux, deux échelles représentées par les segments [BM] et [CN] ont

été posées contre le silo.

On donne :

0,80HM m

et 2HN m . Les deux échelles sont-elles parallèles ? Justifier la réponse.

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Problème

Monsieur Duchêne veut barder (recouvrir) de bois le pignon nord de son atelier.

Ce pignon ne comporte pas d'ouverture.

On donne

6AD m

2,20AB m

et

1,80SM m

M est le milieu de [BC]

Les parties I, II et III sont indépendantes.

Partie I

1. Montrer que l'aire du pignon ABSCD de l'atelier est de

218,6m

2. Les planches de bois qui serviront à barder le pignon sont conditionnées par lots. Un lot permet de

couvrir une surface de 21,2m
a. Combien de lots monsieur Duchêne doit-il acheter au minimum ?

b. Pour être sûr de ne pas manquer de bois, monsieur Duchêne décide d'acheter 18 lots. Un lot est

Combien monsieur Duchêne devrait-il payer ?

c. Monsieur Duchêne a bénéficié d'une remise de 12 % sur la somme à payer. Finalement, combien Monsieur Duchêne a-t-il payé ?

Partie II

Dans un premier temps, Monsieur Duchêne va devoir fixer des tasseaux de bois sur le mur. Ensuite, il placera les planches du bardage sur les tasseaux, comme indiqué sur la figure ci-contre. Les tasseaux seront placés parallèlement au côté [AB]. Cette partie a pour but de déterminer la longueur de chaque tasseau en fonction de la distance qui les sépare du côté [AB].

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1. Sachant que M est le milieu de [BC], calculer

BM.

2. Dans cette question, on suppose que le tasseau

[EF] est placé à 0,50 m du côté [AB].

On a donc :

0,50AE BH m

a. En se plaçant dans le triangle SBM et en utilisant le théorème de Thalès, calculer FH. b. En déduire la longueur EF du tasseau.

3. Dans cette question, on généralise le problème et

on suppose que le tasseau [EF] est placé à une distance x du côté [AB].

On a donc :

AE BH x

(avec x variant entre 0 et 3 m). a. Montrer que

0,6FH x

b. En déduire l'expression de EF en fonction de x.

4. Dans cette question, on utilisera le graphique de l'annexe qui donne la longueur d'un tasseau en

fonction de la distance x qui le sépare du côté [AB]. On laissera apparents les tracés ayant permis les lectures graphiques.

a. Quelle est la longueur d'un tasseau sachant qu'il a été placé à 1,50 m du côté [AB] ?

b. On dispose d'un tasseau de 2,80 m de long que l'on ne veut pas couper. A quelle distance du côté

[AB] doit-il être placé ?

Partie III

Monsieur Duchêne a besoin de connaître la

mesure de l'angle SBM pour effectuer certaines découpes. On rappelle que :

1,80SM m

et 6BC m

Déterminer la mesure de l'angle

SBM . On arrondira le résultat au degré près.

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DOCUMENT REPONSE A RENDRE AVEC VOTRE COPIE

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CORRIGE

Activités numériques

Exercice 1

1) Diviseurs de 30 : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

Diviseurs de 42 : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.

On en déduit que les diviseurs communs de 30 et 42 sont 1, 2, 3, 6 (réponse B). 2)

5 5 1()10 5 15 3p noire

(réponse A). 3)

7 5 4 1

7 5 4 4 1 4

3 5 1

3 5 5 1 5

36
6 2 3 xx x x x x x x x x x

Réponse A

4)

2346 4 2

2 ( 5) 3

5 5 5

10 1010 10 1010 1010 10 10

u (réponse A).

Exercice 2

1) 2 2 (2 1)( 5)

2 10 5

2 9 5 A x x

A x x x

A x x 2x 1 x 22x
x 5 10x 5

2) Lorsque

3x

2 ( 3) 1 3 5

( 6 1)( 3 5)

5 ( 8)

40
A A A A u 3) 0 (2 1)( 5) 0 A xx

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2 1 0

2 1 1 0 1

21
1 2 x x x x ou 50

5 5 0 5

5 x x x

L'équation a deux solutions :

1 2 et 5.

Exercice 3

1) Mathieu a obtenu sa meilleure note au 9ème devoir.

2) (13 12 9 11 6 11 11 17 19 14 3 12):12 11,5

La moyenne est de 11,5.

3)

19 3 16étendue

L'étendue est égale à 16.

4) a) Il y a 3 notes strictement inférieures à 10 sur 20.

b)

3100 2512

. 25% des notes sont strictement inférieures à 10 sur 20.

Activités géométriques

Exercice 1

1) D appartient au cercle de diamètre [BM] donc BMD est un triangle rectangle en D.

2) a) BAD est un triangle isocèle en A donc

75BDA ABD

On en déduit :

180 2 75 30BAD

b) BAD est un angle inscrit interceptant le même arc que BMD c) B et D appartiennent au cercle de centre O. A et M appartiennent au grand arc de cercle BD . D'après le théorème de l'angle inscrit : 2

BODBMD BAD

donc BMD mesure 30°.

3) BMD est un triangle rectangle en D. D'après le théorème de Pythagore :

2 2 2 2 2 2 2 2 2

11,2 5,6

125,44 31,36

125,44 31,36

94,08
94,08
9,7

BM BD DM

DM DM DM DM DM DM cm

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Exercice 2

Partie 1

1) a)

2311,20 1,60 2,4123côneVm u u u |

b)

2,413 10,857 13,27

Le volume du silo est de 13,27

3m , soit 13270 3dm (et donc 13270 L) 2) a)

1,20 12 3

1,60 16 4

SO SA . Le coefficient de réduction est de 3 4 (ou 0,75). b)

32.412 0,75 1,018

Le volume de grains contenu dans le silo est de 1,018 3m environ.

Partie 2

1,60 1,600,41,60 2,40 4

HB HC

0,80,42

HM HN Donc HB HM HC HN

. H, B, C sont alignés et H, M, N sont alignés dans le même ordre. D'après la réciproque

du théorème de Thalès, on en déduit que les deux échelles (BM) et (CN) sont parallèles.

PROBLEME

Partie 1

1)

2( ) 2,20 6 13,2Aire ABCD AB AD m

26 1,80( ) 5,422

BC SMAire BSC m

2( ) 13,2 5,4 18,6Aire ABSCD m

2) a)

18,6:1,2 15,5

. Il faut acheter au minimum 16 lots. b)

18 49 882

c)

12882 105,84100

882 105,84 776,16

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Partie 2

1) 6322

BCBM m

2) a) B, F, S sont alignés. B, H, M sont alignés. (FH) et (SM) sont parallèles (car perpendiculaires à

(BC)). D'après le théorème de Thalès :

BF BH FH

BS BM SM

0,5 3 1,8 BF FH BS

0,5 1,80,33FH m

b)

2,2 0,3 2,5EF EH FH m

3) a) En reprenant l'égalité de la question 2a :

BH FH BM SM 3 1,8 x FH

1,80,63

xFH x b)

2,2 0,6EF EH FH x

4) a) La longueur du tasseau est de 3,1 m (voir graphique).

b) Il doit être placé à 1 m du côté [AB] (voir graphique).

Partie 3

Dans la triangle rectangle BSM :

1,8tan( ) 0,63

SMSBMBM

donc

1tan (0,6) 31SBM

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