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mardi 12 novembre 2013

Corrige Examen de Probabilites

Exercice 1.(6 points environ)

Un joueur dispose d'un de et d'une piece. Le de est equilibre et la piece a une probabilitep(0< p <1) de tomber sur pile. Le joueur lance d'abord le de, puis lance la piece autant de fois que le resutlat du de. Il compte enn le nombre de piles obtenu au cours des lancers.

Les resultats de chaque lancer sont independants.

On noteq= 1p. On note egalementDla variable aleatoire correspon- dant a la valeur du de etXcelle correspondant au nombre de piles obtenus a la n du jeu.

1. Soit (i;j)2 f1;:::;6g2. Que vautP(X=jjD=i)? La loi deX

sachant que le resultat du de esticorrespond exactement a loi Bino- miale de parametreietp. On a donc sij > i,P(X=jjD=i) = 0. et siji,P(X=jjD=i) =i jpjqij:

2. CalculerP(X= 6) etP(X= 4). Par la formule des probabilites

totales, on en deduit:

P(X= 6) =6X

i=1P(X= 6jD=i)P(D=i) =P(X= 6jD= 6)P(D= 6) 16 p6 et

P(X= 4) =6X

i=1P(X= 6jD=i)P(D=i) =P(X= 4jD= 4)P(D= 4)P(X= 4jD= 5)P(D= 5) +P(X= 4jD= 6)P(D= 6) =p416 +5 4 p 4q16 +6 4 p 4q216 16 p4(1 + 5q+ 15q2):

3. Montrer que

P(X= 0) =q6

1q61q 1

P(X= 0) =6X

i=1P(X= 0jD=i)P(D=i) 16 6 X i=1q i=16 (q+q2++q6) q6 (1 +q++q5) =q6 1q61q

4. Sachant que l'on n'a obtenu aucun pile au cours du jeu, quelle etait la

probabilite que le resultat du de etait 1? Evaluer cette quantite quand p=q=12 Dans cette question on demande de calculerP(D= 1jX= 0). On utilise ici la formule de Bayes: P(D= 1jX= 0) =P(fD= 1g \ fX= 0g)P(X= 0)=P(fX= 0gjfD= 1g)P(D= 1)P(X= 0) q6 q 6 1q61q =1q1q6:

Dans le casp=12

, on trouve

P(D= 1jX= 0) =12

1126=252

61=3263

'0;508: Exercice 2.Quelques aspects de la loi exponentielle.

Les 3 parties sont independantes.

On rappelle que la densite d'une variable aleatoire de loi exponentielle de parametre >0 est donnee par: f (x) =ex1x0:

Partie A:absence de memoire( 4 points environ)

1. SoitAetBdeux evenements. Rappeler la denition de la probabilite

conditionnelle deAsachantB:P(AjB).

SiP(B)>0,P(AjB) est denie par:P(AjB) =P(A\B)P(B):

2. SoitXune variable aleatoire de loi exponentielle de parametre >0.

CalculerP(Xt) pourt0 ett <0.

Pourt0, on a

P(Xt) =Z

+1 u=tf

X(u)du=Z

+1 u=teudu h eui+1 t=et:

Et pourt <0,P(Xt) = 1.

3. Soit maintenantt > s0. Montrer que

P(XtjXs) =P(Xts):

On a

P(XtjXs) =P(fXtg \ fXsg)P(Xs)=P(Xt)P(Xs)

ete s=e(ts) et cette derniere quantite correspond bien aP(Xts). Partie B:minimum de 2 lois exponentielles( 5 points environ) SoitXetYdeux variables aleatoires independantes de m^eme parametre >0. On noteZ=min(X;Y).quotesdbs_dbs3.pdfusesText_6

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