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Université de Marseille
Licence de Mathématiques, 3eme année, probabilités-StatistiqueExamen du 17 mai 2018
Le partiel contient3exercices. Le barème est sur23points. Le polycopié du cours, les notes de cours et de TD sont autorisés. Exercice 1 (Coordonnées polaires. Barème : 4 points)Soient(Ω,T,P)un espace probabilisé etX, Ydeux v.a.r. indépendantes de lois normales réduitesN(0,1). Soient deux nouvelles v.a.r. RetΘtelles que(X,Y) = (Rcos(Θ),Rsin(Θ))p.s. ,R≥0p.s. etΘ?[0,2π[p.s.. Déterminer les lois deRetΘet montrerRetΘsont indépendantes.Corrigé -
P our(x,y)?IR2,(x,y)?= (0,0), on note¯r(x,y)et¯θ(x,y)les coordonnées polaires de(x,y), c"est-à-dire¯r?IR?et¯θ?[0,2π[avec(x,y) = (¯rcos(¯θ),¯rsin(¯θ)).
On a alorsR= ¯r(X,Y)etΘ =¯θ(X,Y)p.s. (en notant que(X,Y)?= (0,0)p.s. carXetYont des lois de densité par rapport àλ). On calcule maintenant les lois deR,Θet du couple(R,Θ)en utilisant un changement de variables polaires Soit??Bb(IR,IR), on a, en utilisant les lois deX,Y, leur indépendance et le changement de variables polaires,E(?(R)) =E(?(¯r(X,Y))) =?
IR2?(¯r(x,y))12πe-x2-y22
d(x,y) 2π 0? IR +?(r)12πe-r22 rdrdθ=? IR +?(r)e-r22 rdr.Ceci prouve que la loi deRest une loi de densité par rapport à la mesure de Lebesgue. On aPR=fλ
avecf(x) =e-x22 x1IR+(x)pourx?IR.E(?(Θ)) =E(?(¯θ(X,Y))) =?
IR2?(¯θ(x,y))12πe-x2-y22
d(x,y) 2π 0? IR +?(θ)12πe-r22 rdrdθ=12π? 2π0?(θ)dθ.
CeciprouvequelaloideΘestlaloiuniformesur]0,2π[. OnadoncPΘ=gλavecg(x) =12π1]0,2π[(x)
pourx?IR.Soit maintenant??Bb(IR2,IR), on a
E(?(R,Θ)) =E(?(¯r(X,Y),¯θ(X,Y))) =?
IR d(x,y) 2π 0? IR +?(r,θ)12πe-r22 rdrdθCeci prouve que la loi du couple(R,Θ)est une loi de densité par rapport à la mesure de Lebesgue sur
les boréliens deIR2et que On aP(R,Θ)=hλ2, avech(x,y) =f(x)g(y)pour(x,y)?IR2. Comme P (R,Θ)=PR?PΘ, les v.a.r.R,Θsont indépendantes. 1 Exercice 2 (Convergence p.s., en probabilité, en loi,Lp. Barème : 14 points) Pourlesdeuxpremièresquestionsdecetexercice, onseplacedansl"espacedeprobabilité(Ω,F,P)= ([0,1],B([0,1]),λ)oùB([0,1])désigne la tribu borélienne de l"intervalle[0,1]etλla mesure
de Lebesgue sur[0,1].Pour tout entiern≥1on considère la variable aléatoire réelle discrèteXndéfinie sur(Ω,F,P)par
X X X 1. Montrer que la suite (Xn)nconverge presque sûrement vers 0. Puis étudier la convergence en probabilité, la convergence en loi, la convergence dans L1et la convergence dans L2de la suite
(Xn)n.Corrigé -
pour tout ω >0,limn→+∞Xn(ω) = 0. CommeP({0}) = 0, on a bienXn→0p.s.. Cette convergence p.s. implique la convergence en probabilité et la convergence en loi.? ΩXndP≥1/2et donc la suite(Xn)nne tend pas vers0dansL1(ni vers aucune autre v.a.r. car la convergenceL1implique, au poins pour une sous suite, la convergence p.s.). La suite(Xn)nne converge pas dansL2(car la convergenceL2implique la convergenceL1). 2. Pour tout n≥1, calculerP({Xn=n} ∩ {Xn+1=n+ 1}). Les variablesXnsont-elles in- dépendantes ?Corrigé -
P ourtout n≥1, onP({Xn=n} ∩ {Xn+1=n+ 1}) =P({Xn+1=n+ 1}) =1/(4n+ 4). CommeP({Xn=n} ∩ {Xn+1=n+ 1})?=P({Xn=n})P({Xn+1=n+ 1}), les
variablesXnne sont pas indépendantes. Dans la suite cet exercice, on se place dans un espace de probabilité(Ω,F,P)quelconque. Soit(αn)une suite de réels de]0,1/2[. Pour tout entiern≥1on considère une variable aléatoire réelle
Y nsur(Ω,F,P)telle queP(Yn=n) =P(Yn=-n) =αn
etP(Yn= 1/⎷2n) = 1-2αn. 3. (a) Calculer la fonction de répartition de Yn, notéeFn, pour toutn≥1. Tracer le graphe deFn. (b) Calculer la fonction de répartition, notée F, de la variable constante égale à 0. 2 Corrigé -F(x) = 0pourx <0,F(x) = 1pourx≥0. (c) On suppose dans la suite que la suite (αn)ntend vers 0. Montrer que pour toutt?= 0la suite (Fn(t))ntend versF(t). La suite(Yn)nconverge t"elle en loi ?Corrigé -
P ourt <0, on alimn→+∞Fn(t) = limn→+∞αn= 0 =F(t). Pourt >0, on alimn→+∞Fn(t) = limn→+∞αn= 1-αn=F(t). Cette convergence des fonctions de répartition implique la convergence en loi deYnvers la vari- able constante égale à0. Mais, ceci peut aussi de démontrer directement. En effet pour tout ??Cb(IR,IR)on a E(?(Yn)) =?(n)αn+?(-n)αn+?(1/⎷2n)(1-2αn). On en déduit (comme?est bornée en continue en0) queE(?(Yn)) =E(?(0))et donc la conver- gence en loi deYnvers la variable constante égale à0. 4.Déterminer une condition nécessaire et suf fisantesur la suite (αn)npour que(Yn)converge vers
0 dans L
2.Corrigé -
Comme E(Y2n) = 2n2αn+ (1-αn)/(2n), la suite(Yn)converge vers0dans L2si et seulement silimn→+∞n2αn= 0. 5. (a) Soit 0< ε <1. CalculerP(|Yn| ≥ε)pour tout entiern≥1. (b) Déterminer une condition nécessaire et suf fisantesur la suite (αn)npour que(Yn)converge en probabilité vers 0.Corrigé -
La question précédente nous donne que Yn→0en probabilité si et seulement si lim n→+∞αn= 0. (c) Déterminer une condition suf fisante(C)sur la suite(αn)npour que la suite(Yn)converge presque sûrement vers 0.Corrigé -
Pourj?IN?, on poseAj=∩n?IN?p>n{|Yp| ≥1/j}. Pourω?Ω, on alimn→+∞Yn(ω)?= 0si
et seulement, il existejtel queω?Aj. On a doncYn→0p.s. si et seulement siP(?jAj) = 0 jP(Aj). On en déduit queYn→0 p.s. si et seulement siP(Aj) = 0pour toutj. D"après le lemme de Borel-Cantelli, une condition suffisante queYn→0p.s est alors que, pour toutj,?n?INP{|Yn| ≥1/j}<+∞. Grâce à la question 5a ceci est équivavent à la condition?
nαn<+∞(que l"on notera condition (C)). (d)Montrer que la condition (C)n"est par contre pas nécessaire en général (indication : utiliser la
première question). 3 Corrigé -La suite (Xn)nde la première question converge p.s. vers0et pourtant on a, pour cette suite,αn= 1/(4n)et donc? nαn= +∞. (e) Qu"en est-il dans le cas où les v ariablesYnsont de plus indépendantes ?Corrigé -
Si les variables Ynsont de plus indépendantes, la condition (C) devient nécessaire pour avoirYn→0p.s.. Plus précisément, si (C) n"est pas vérifiée, on a? nαn= +∞. Le lemme de Borel-Cantelli donne alors queP(Aj) = 1pour toutj. On en d "eduit queYn?→0p.s.. Exercice 3 (Statistique, barème 5 points)Soitn?N?un entier déterministe connu. On dis-pose de variables aléatoiresX1,X2,...,Xnindépendantes et identiquement distribuées de loi de
Poisson de paramètreθ?R?+déterministe et inconnu. On veut construire des estimateurs deθen utilisant la méthode des moments. On rappelle des caractéristiques de la loi de Poisson. Sa distribution est?k?N, PX1(k) = kk!exp(-θ), ses deux premiers moments sontE(X1) =θetE(X21) =θ2+θ. 1. Montrer que la méthode des moments permet de proposer les deux estimateurs sui vants: