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2009-2010 sont des écritures fractionnaires mais ne sont pas des fractions 2009-2010 Trois méthodes possibles • 36× 11 9 = 36 : 9 ×11=4×11=44

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2010-2011 Chapitre n°9 : « Écritures fractionnaires » I Définitions/Notation C' est pour cette raison qu'on a la notation avec la barre de fraction : l'écriture 5 3

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Cours de Mr JULES v4 3 L'écriture fractionnaire du quotient n ÷ d est de la forme entier peut s'écrire sous forme de fraction : 18 695 = 18 695 5 = 11 = Pour comparer 2 fractions (ou 2 écritures fractionnaires), il suffit qu 'elles Perle du Bac 2010 : « Sur 100 fils d'agriculteurs, 40 avaient un père ouvrier

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Lorsque les nombres a et b sont des nombres entiers, l'écriture fractionnaire a b Il possède aussi une infinité d'écritures sous la forme de fraction 3 nombres a, b et c tels que b≠0 et c≠0 , on a toujours : a b = a×k b×k Exemples 7 11 =

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Calculer avec des fractions I- Quotients égaux Propriété : Si on multiplie (ou divise) le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un même nombre 

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b) Compare le numérateur et le dénominateur de cette fraction Si le ______ d' une écriture fractionnaire est supérieur à son ______,alors elle est supérieure 

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Cours de Mr JULES v4.4 Classe de Cinquième Contrat 3 Page 1 sur 19

NOM et Prénom 5ème

ECRITURES FRACTIONNAIRES ; FRACTIONS

" La Mathématique du Chat » par Daniel Justens et Phillipe Geluck, mai 2008.1 I. Au temps béni de la Sixième. __________________________________________________________ 2

II. Quotients égaux ; Simplification (6ème). _________________________________________________ 5

III. ____________________________________________ 8 IV. _____________________________________________ 13 V. ? _______________________________________________________________ 14 VI. Révisions sur les fractions. ________________________________________________________ 15

VII. Pour préparer le test et le contrôle. __________________________________________________ 19

Pré requis pour prendre un bon départ :

Décomposer un nombre en produit de facteurs ! Ex

Quotient ; Ecritures fractionnaires.

Fractions : définition, simplification.

Quel est le comble du mathématicien ?

C'est de se faire piquer sa moitié par un tiers dans un car.

1 Daniel Justens : Mathématicien bruxellois et grand amateur de Bande Dessinée.

Philippe Geluck : Célèbre dessinateur de la série en bande dessinée du Chat. Cours de Mr JULES v4.4 Classe de Cinquième Contrat 3 Page 2 sur 19

I. AU TEMPS BENI DE LA SIXIEME.

A. Quotient :

Définition : On appelle " quotient » non nul (

Remarque : !

Exemples : Un quotient peut être un nombre entier :

33 144 9 = 11 2,5

4 = 8 64 = 8

Un quotient peut être un nombre décimal :

10 2,7 25,8

4 = 2,5 100

Hélas, certains quotients ne sont pas des nombres décimaux !

Je pense par exemple à 2 7 ou à 1,1 : quand on pose ces divisions, elles ne se " terminent » jamais.

Autre " problème » : ces écritures en ligne sont de la part des élèves !

Par exemple 5 5, on calcul 5 5 !

5

5 , impossible de faire cette erreur de calcul !

B. Vocabulaire des écritures fractionnaires :

du quotient n d est de la forme n d et se lit " n sur d ».

Le nombre " d » sous la barre de fraction, (d

Donc ce nombre d " dénomine

Ce nombre " d

Le nombre " n » au dessus de la barre de fraction indique combien de fois on prend ces morceaux.

Ce nombre " n

Ex : Dans 2

5 e en 5 morceaux (en " cinquièmes »).

. On obtient bien au final " 2 cinquièmes ».

Dans 7

3 e ...................... »).

final " ........................................... » n ÷ d = n d

Dividende

Diviseur

Cours de Mr JULES v4.4 Classe de Cinquième Contrat 3 Page 3 sur 19 Application 1 : Ecrire sous forme fractionnaire sans rien calculer :

Ex : 2 3 = 2

3 LA BARRE DE FRACTION EN PREMIER !

Cette barre de fraction doit être mise à hauteur du milieu du signe = . deux demis = un tiers = neuf quarts = la moitié de k = une demi-pomme =

2,3 = (r 1) (t 1) =

vitesse moyenne = distance durée = Application 2 : Ecrire sous forme fractionnaire sans rien calculer : ATTENTION AUX PRIORITES ! (3 5) 7 = 3 5 7 = a + b c = (a + b) (c 1) = a + b c 1 =

4 cas particuliers importants à retenir : Quelles que soient les valeurs de n et de d (d 0), on a :

0 d ex : 0 2,257 n

1 ex : -8,8

1 d d Tt nb non ex : c-à-d k % = k 100 .
7 % = 0,10

100 100 % =

100 0,05

100 2 500 % =

100

C. Fractions :

1. Définition des fractions :

Définition : Lorsque le numérateur n et le dénominateur d (d sont des NOMBRES ENTIERS, alors n d Ex : 2

7 est une fraction mais pas

, ou - Contre-exemples : Donner 2 écritures fractionnaires qui ne sont pas des fractions

A retenir : :

18 695 = 18 695

5 = 11 =

9 4 =

5 = 40

1,5 = 15

0,7 =

10 5,78 =

100 000

Dorénavant, on remplacera TOUJOURS les nombres décimaux par des fractions dans les calculs ! Cours de Mr JULES v4.4 Classe de Cinquième Contrat 3 Page 4 sur 19

2. Comparaisons de 2 fractions :

à la même famille !

au même

Compléter par < ou > : 5

4 4

4 1587

35 1587,1

35 1

33 5
66
Cette méthode est celle qui est la plus largement utilisée, parce que .

3. Fractions et abscisses de points :

Définition :

abscisest le nombre qui donne la position de ce point sur cette droite. Méthode pour placer un point ou bien trouver son abscisse fractionnaire :

Marquer les graduations principales (entières). Celles-ci délimitent les segments unités (de longueur 1).

Compter en combien de morceaux sont partagés chaque segment unité. Exemple : Sur la figure plus bas, les segments unité (de longueur 1) sont tous ppeut

être représentée par une fraction sur 6.

Compter " en fractions » (ici en fraction sur 6)

Simplifier la fraction si nécessaire.

Exemple : Sur la figure plus bas, le point A est à 3 graduations du point origine O donc xA = 3

6 = 1

2 .

Exercice :

1. Ecrire les abscisses des points A, B, C et D.

2. Placer les points E (xE = 2

3 ) et F (xF = -1

3 ).

Exercice :

1. Ecrire les abscisses (sous la forme la plus simple possible !) des points D et L.

2. Puis placer les points O( 23

4 ) et E( 14

2 ). C O 0 B A 1 D 5 6 D L R Cours de Mr JULES v4.4 Classe de Cinquième Contrat 3 Page 5 sur 19

II. QUOTIENTS EGAUX ; SIMPLIFICATION (6EME).

On voit par exemple que 10 5 et 20 10

5 = 20

10 = 10 2

5 2 . Généralisons :

A. Règle des quotients égaux :

Soient k 0 et b 0, alors n

d et n k d k sont 2 écritures fractionnaires du même quotient c-à-d : n d = n k d k (avec k 0 et d 0)

Autrement dit et son dénominateur d par le

même nombre k non nul. B. Utilité : simplification des fractions et écritures fractionnaires : dans le sens n k d k = n d va permettre de simplifier les fractions en " réduisant » le numérateur

Exemple : 78

48 = 39

24 = 39

24 = 3

3 = 13

8 .

Dans 13/8.

C. Fractions irréductibles :

Ainsi donc, un quotient a plusieurs écritures fractionnaires. Une est meilleure que toutes les autres :

Définition : , c-à-Fraction

Irréductible2. Cette écriture vérifie les 2 conditions suivantes : le numérateur et le dénominateur sont

entiers et sans facteurs communs entre eux3 (autre que 1).

Méthode :

en faisant " disparaître les virgules » si il y en a, puis en simplifiant " au maximum ».

Exercice : Ces écritures fractionnaires sont-elles irréductibles (justifier) ? Si non, les simplifier.

12

15 4

9 0,4

0,9 - 20

30 - 13

17

D. 2 conseils importants :

Avant de commencer les calculs, toujours simplifier si possible les écritures fractionnaires.

Pour cela, bien connaître ses tables de !

2 Irréductible : " Dans un coin reculé de »

3 Le numérateur et le dénominateur ne sont pas dans une même table de multiplication commune. Ex : 2 et 7 ou bien 26 et 19.

Cours de Mr JULES v4.4 Classe de Cinquième Contrat 3 Page 6 sur 19

E. Exercices sur la simplification :

Remarques : Simplifier toujours par paire(s) de facteurs identiques, au numérateur et au dénominateur.

Simplifier par 1 ne sert strictement à rien.

Simplifier au maximum.

Simplifier au maximum en colonnes sous forme de Fractintier :

Ex : 45

27 = 9 5

9 3 = 5

3 F.I

42

48 = 26

39 = 56

16 = 8

64 = 21

49 =

Ex : 0,24

0,8 = 0,24 100

0,8 100

= 24 80
= 3 8 10 8 = 3

10 F.I.

1,5

4,5 = 0,8

2 = 9

0,01 =

A quelles Fractions Irréductibles (F.I.) sont égales les pourcentages suivants ?

Ex : 50 % = 50

100
= 50 1 50 2
= 1

2 F.I.

25 % = 20 % = 10 % =

Simplifier au maximum en colonnes sous forme de Fractintier :

Ex : 6a

9a = 2 3 a

3 3 a

= 2

3 F.I.

2z

4z = 18n

24d = 56ky

35kt =

Cours de Mr JULES v4.4 Classe de Cinquième Contrat 3 Page 7 sur 19 F. Critères de divisibilité ; application à la simplification :

Est-il facile de simplifier 126

342

Effectivement non. Toute la difficulté est de décomposer 126 et 342 en faisant apparaître des facteurs

communs. Comment trouver ces facteurs communs :

Un entier est

Un entier est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3.

Un entier est divisible par 5 lorsqu

Un entier est divisible par 10 ou 100 ou 1 ..

Application : Compléter chaque case du tableau par Vrai ou Faux : Nombres div. par 2 div. par 3 div. par 5 div. par 6 div. par 10 div. par 15 div. par 30 -36 75
120
-90 132

Ces 4 critères de divisibilité seront amplement suffisants pour trouver des facteurs communs quand on

voudra simplifier des fractions du style 126/342.

Méthode : 126

342 = 63 2

171 2 = 63

171 = 21 3

57 3 = 21

57 = 3 7

3 19 = 7

19 Fraction Irréductible (F.I.)

Remarques :

étaient donc divisibles par 6 (= 2 3) ou par 9 (= 3 3). Au moins, la façon de faire était systématique !

Application : Simplifier au maximum :

96

84 = 125

75 =
330

285 = 460

380 =

Ensuite, vérifier les calculs à la calculatrice en utilisant les touches " / » (Texas) ou " d/c » (Casio) qui

permettent de simplifier automatiquement les fractions.

126 et 342 sont

pairs donc divisibles par 2.

La somme des

chiffres de 63 et celle de 171 sont divisibles par 3.

La somme des

chiffres de 21 et celle de 57 sont divisibles par 3. de facteurs communs autres que 1. Cours de Mr JULES v4.4 Classe de Cinquième Contrat 3 Page 8 sur 19

III. ADDITIONS ET

résister

Pour savoi2 réflexions :

On a toujours besoin des maths dans la vie. Il faut savoir résister à la tentation !

A. Sévère mise en garde !

Calculer la somme ou source de nombreuses

erreurs de la part des élèves à cause de la condition nécessaire suivante :

à la même famille !

Voici 2 contre exemples !

On veut calculer 1

2 + 1

4 . On a tout nature1

2 + 1

4 = 1 + 1

2 + 4 = 2

6 mais est ce juste ?

1

2 + 1

4 et 2

6 Hachurer dans chaque gâteau les fractions correspondantes. 1

2 + 1

4 2

6 La somme des aires coloriées à gauche est elle ........ ! Pas convaincu ? Voici un autre argument plus calculatoire : on a 2

6 = 1

or 1 3 1 2

Donc forcément 1

2 + 1

4 > 2

6 ! Finalement 1

2 + 1

4 est différent de 1 + 1

2 + 4 !

Passons au 2ème contre exemple :

On veut effectuer 2

7 2

5 2

7 2

5 = 2 2

7 5 mais est ce juste ?

calculs : 2

7 2

5 = 2 2

7 5 =

c dire que 2

7 2

5 = 0 ! C-à-d que 2

7 = 2

5 !

Or cela est impossible ! 2

7 2

5. Finalement 2

7 2

5 est différent de 2 2

7 5 !

Mais comment fait-on alors pour additionner ou soustraire des écritures fractionnaires ?! Cours de Mr JULES v4.4 Classe de Cinquième Contrat 3 Page 9 sur 19 B. Lorsque les dénominateurs sont égaux : !

Quand les dénominateurs sont égaux, les fractions sont de la même famille donc la règle est simple :

2 règles : n

d + m d = n + m d (avec d 0) n d m d = n m d (avec d 0)

Ex : 5

9 + 13

9 = 18

9 = 2 !)

1

6 4

6 = - 3

6 = - 1

2 F.I.

Calculer en colonnes sans oublier de simplifier le résultat final :

M = 5

6 + 11

6

O = 16

15 11

15

E = 1,2

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