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DUT GEA1ièreannée

Année universitaire 2020-2021Notes du cours de Mathématiques M 12 05 :Mathématiques pour la gestion et statistiques, Semestre 1

M 22 06 :Probabilités, Semestre 2

M 22 07 :Mathématiques financières, Semestre 2Arnaud Rousselle

Table des matières

1 Algèbre matricielle et systèmes linéaires 1

1.1 Premières définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2.1 Somme et différence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2.2 Multiplication par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.3 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.4 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.5 Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3 Systèmes d"équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3.1 Écriture matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.2 Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.3 Application à l"inversion de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.4 Prolongement : introduction à la programmation linéaire . . . . . . . . . . . .

21

1.4.1 Méthode graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.4.2 Forme standard d"un problème d"optimisation linéaire . . . . . . . . .

25

1.4.3 Introduction à la méthode du simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2 Statistiques descriptives univariées 41

2.1 Vocabulaire statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.2 Cas qualitatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.3 Cas quantitatif discret sans regroupement en classes . . . . . . . . . . . . . .

44

2.3.1 Tableau statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.3.2 Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.3.3 Paramètres statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.4 Cas quantitatif continu ou discret avec regroupement en classes . . . . . . . .

50

2.4.1 Tableau statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.4.2 Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.4.3 Paramètres statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

2.5 Complément : d"autres moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3 Statistiques bivariées 59

3.1 Présentation et traitement des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

3.2 Étude et mesure des liens entre les variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

3.2.1 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

3.2.2 Coefficient de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

3.2.3 Coefficient de corrélation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65
i

TABLE DES MATIÈRES

3.3 Régression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

3.4 Complément : test duχ2d"indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

4 Analyse à une variable réelle 75

4.1 Premières définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

4.2 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

4.2.1 Fonctions linéaires et affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

4.2.2 Fonctions quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

4.2.3 Fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

4.2.4 Fonction inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

4.2.5 Fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

4.2.6 Fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

4.2.7 Fonctions logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

4.2.8 Fonctions puissances et racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

4.2.9 Fonctions indicatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

4.2.10 Fonction valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

4.3 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

4.3.1 Définitions formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

4.3.2 Limites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

4.3.3 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

4.3.4 Comparaison de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

4.3.5 Formes indéterminées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

4.4 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

4.5 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

4.5.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

4.5.2 Dérivées usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

4.5.3 Opérations sur les dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

4.5.4 Tangente à une courbe en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

4.5.5 Applications à l"étude des variations et à la recherche d"extrema . . .

100

4.6 Applications en économie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

102

4.6.1 Coût marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

102

4.6.2 Coût moyen, coût marginal et optimum technique . . . . . . . . . . .

103

4.6.3 Revenu marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103

4.6.4 Élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104

4.7 Complément : autour du lien entre variations d"une fonction et signe de sa dérivée

106

5 Suites numériques 109

5.1 Premières définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

109

5.2 Convergence et limites de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

110

5.3 Suites particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

112

5.3.1 Suites définies par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

112

5.3.2 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

112

5.3.3 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

117

5.3.4 Suites arithmético-géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121

5.4 Complément : la méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122
ii

TABLE DES MATIÈRES

6 Mathématiques financières 125

6.1 Intérêts, capitalisation et actualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125

6.1.1 Intérêts simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125

6.1.2 Intérêts composés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

127

6.1.3 Taux nominaux, périodiques et effectifs . . . . . . . . . . . . . . . . .

129

6.1.4 Capitalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

130

6.1.5 Actualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

130

6.2 Versements périodiques : les annuités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132

6.2.1 Annuités de début de période . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132

6.2.2 Annuités de fin de période . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

134

6.2.3 Cas des annuités constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

135

6.3 Empruntsindivis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137

6.3.1 Empruntsin fine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141

6.3.2 Emprunts à annuités constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

141

6.3.3 Emprunts à amortissements constants . . . . . . . . . . . . . . . . . .

142

6.3.4 Taux annuel effectif global (TAEG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

143

6.4 Rentabilité d"un investissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

144

6.4.1 Valeur actuelle nette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

144

6.4.2 Taux de rentabilité interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

145

7 Séries chronologiques 147

7.1 Premières définitions, exemples et motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . .

147

7.1.1 Motivations et objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

148

7.2 Analyse d"une série chronologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

149

7.2.1 Décomposition d"une série chronologique . . . . . . . . . . . . . . . . .

149

7.2.2 Modèle additif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

150

7.2.3 Modèle multiplicatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

150

7.2.4 Quelques manipulations avec un tableur . . . . . . . . . . . . . . . . .

151

7.3 Estimation des composantes d"une série chronologique . . . . . . . . . . . . .

152

7.3.1 Estimation de la tendance générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

152

7.3.2 Estimation de la composante saisonnière . . . . . . . . . . . . . . . . .

154

7.4 Prédiction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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