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Cours de mathématiques fondamentales

1 ◦année, DUT GEA

Mourad Abouzaïd

9 décembre 2008

2

Table des matièresIntroduction7

0 Rappels d"algèbre élémentaire9

0.1 Calcul algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

0.1.1 Développer, factoriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9

0.1.2 Identités remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

0.2 Manipulation des puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 10

0.2.1 Règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

0.2.2 Racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

0.3 Fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

0.3.1 Multiplication et division de fractions . . . . . . . . . . .. . . . . . 11

0.3.2 Simplification d"une fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 12

0.3.3 Addition de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

0.4 Fractions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 13

1 Systèmes linéaires, programmation linéaires 15

1.1 Mise en équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2 Équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16

1.3 Systèmes d"équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 17

1.4 Les systèmes2×2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.1 Résolution graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.2 Méthode par substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.3 Méthode par combinaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.4 Représentation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19

1.4.5 Les différents types de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 20

1.4.6 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5 Le Pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5.1 Objectif du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5.2 Opérations autorisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

1.5.3 Mécanisme du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.5.4 Les différents types de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 25

1.6 Inéquations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 26

1.7 Systèmes d"inéquations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 26

3

4TABLE DES MATIÈRES

1.8 Programmation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 27

1.8.1 Une méthode graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.8.2 La méthode du simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.8.3 Le simplexe en dimension supérieure . . . . . . . . . . . . . . .. . 37

1.8.4 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2 Étude d"une fonction d"une variable réelle 41

2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.1.2 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.1.3 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2 Variations d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 43

2.2.1 Taux d"accroissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2.2 Dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2.3 Étude de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3 Coût total, coût moyen, coût marginal . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 47

2.3.1 Coût total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3.2 Coût moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3.3 Coût marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3.4 Étude qualitative des différents types de coûts . . . . . .. . . . . . 48

2.4 Élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4.2 Interprétation de l"élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 54

2.4.3 Calcul de l"élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

2.4.4 Élasticité et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55

2.4.5 Élasticités croisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56

3 Suites57

3.1 Définition d"une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57

3.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.1.2 Définition explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.1.3 Suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.1.4 Variations d"une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59

3.2.1 Forme récurrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2.2 Forme explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2.3 Variations d"une suite arithmétique . . . . . . . . . . . . . .. . . . 60

3.2.4 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.3 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61

3.3.1 Forme récurrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.3.2 Forme explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.3.3 Variations d"une suite géométrique . . . . . . . . . . . . . . .. . . 62

3.3.4 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

TABLE DES MATIÈRES5

4 Fonctions exponentielles et logarithmes65

4.1 Les fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 65

4.1.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.1.3 Deux fonctions exponentielles particulières . . . . . .. . . . . . . . 67

4.2 Les fonctions logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 68

4.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2.2 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2.3 Le logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2.4 Changement de base d"exponentielle . . . . . . . . . . . . . . .. . 69

4.3 Dérivée des fonctions exponentielles et logarithmes . .. . . . . . . . . . . 70

6TABLE DES MATIÈRES

Introduction

Beaucoup de problèmes concrets, notamment en terme de gestion peuvent se traduire en problèmes mathématiques. C"est ce que l"on appelle la mise en équation. On dispose alors de toute une batterie d"outils et de techniques mathématiques pour résoudre ce pro- blème. Dans ce cours, on commencera par revoir quelques techniques de calcul de base, indispensable à n"importe quelle étude mathématique. On verra ensuite trois outils parti- culiers, et quelques applications : - les systèmes linéaires, que l"on appliquera à la progression linéaire (un problème d"optimisation),

- les fonctions d"une variable réelle (continuité, dérivée, fonctions usuelles), que l"on

appliquera à des problèmes d"analyse marginale et d"élasticité.

- les suites arithmétiques et géométriques que l"on appliquera à du calcul d"intérêts.

7

8TABLE DES MATIÈRES

0 Rappels d"algèbre élémentaire0.1 Calcul algébrique

Faire du calcul algébrique, c"est utiliser toutes les règles que l"on vient de voir, en utili-

sant, soit des chiffres, soit des lettres, soit (bien souvent...) les deux. Les lettres représentent

alors des inconnues, ou des paramètres, et doivent être traités comme des chiffres (dont on ne connaît pas la valeur).

0.1.1 Développer, factoriser

Factoriser une expression, c"est transformer une somme en produit. Pour cela, il faut commencer par trouver un facteur commun àtousles termes de la somme que l"on veut factoriser. Ainsi, a

×b+a×c=a×(b+c).

Exemples:

1.6x+ 3y= 3

×2x+ 3y= 3(2x+y).

2.3(x-1)

-(x+ 2)(x-1)= (x-1)(3-(x+ 2)) = (x-1)(-x+ 1). Développer une expression, c"est transformer un produit ensomme (c"est l"opération inverse de la factorisation). Ainsi : a×(b+c) =a×b+a×c.

Et de façon plus générale :

(a+b)×(c+d) =ac+ad+bc+bd.

Exemples:

1.3(2x-1) = 6x-3.

2.5[1-2(1-a)] = 5-10(1-a) = 5-10 + 10a= 10a-5.

3.(x-1)(x-2) =x2-2x-x+ 2 =x2-3x+ 2.

4.(x-3)(x+ 3) =x2+ 3x-3x-9 =x2-9.

9

10TABLE DES MATIÈRES

0.1.2 Identités remarquables

Pour rendre les calculs plus rapide, il existe certaines identités qui doivent être connues : les identités remarquables. (Notons que si on ne les connaîtpas, on peut les retrouver à l"aide des règles de calcul que l"on vient de voir... ). Ellessont au nombre de trois :

1.(a+b)2=a2+ 2ab+b2

2.(a-b)2=a2-2ab+b2

3.(a+b)(a-b)=a2-b2

ATTENTION

on voit bien ici qu"en particulier (a+b)2?=a2+b2

Exemples:

1.(x+ 5)2=x2+ 10x+ 25,4x2+ 12x+ 9 = (2x+ 3)2.

2.(4x-y)2= 16x2-8xy+y2, x2-14x+ 49 = (x-7)2.

3.(2-3x)(2 + 3x) = 4-9x2, x2-1 = (x-1)(x+ 1),

(3x-1)2-9 = (3x-1-3)(3x-1 + 3) = (3x-4)(3x+ 2). Si l"on veut développer des expressions du type(a+b)npour un entiernplus grand que

2, on pourra utiliser ces identités remarquable, et le fait que(a+b)n= (a+b)×(a+b)n-1.

Exemples:

1.(a+b)3= (a+b)(a+b)2= (a+b)(a2+ 2ab+b2) =a3+ 3a2b+ 3ab2=b3.

2.(x-1)4= (x-1)2(x-1)2= (x2-2x+1)(x2-2x+1) =...=x4-4x3+6x2-4x+1.

Remarque: il existe une formule générale pour développer les expressions du type (a+b)nappelé binôme de Newton, qui fait notamment intervenir lescoefficients binomiaux.

0.2 Manipulation des puissances

La puissance (ou l"exposant) est une notation. Ainsi, siaest un nombre etnun entier, a nest le produit deapar lui mêmenfois. a n=a×a×...×a? nfois.

0.2.1 Règles de calcul

Soientaetbdes nombres réels et soientmetndes entiers.

0.3. FRACTION11

am×an=am+n(a×b)m=am×bm am an=am-n ?a b? m=ambm

En particulier,1a=a-1En particulier,?1a?

m =1am Attention: il n"y a pas de formule simple pour exprimer(a+b)n...

Exemples:

1.(x2)3+ (x3)2=x6+x6= 2x6.

2.(x+x+x)2= (3x)2= 32x2= 9x2.

Pour pour factoriser une somme dont les termes contiennent des puissances, l"exposant donne le nombe de facteurs indentiques. Ainsi, si une expression apparaît dans plusieurs termes à des puissances différentes, le facteur commun est l"expression en question à la plus petite puissance.

Exemples:

1.x3-x2=x2(x-1).

2.18x4+ 24x3+ 12x5= 6x3(3x+ 4 + 2x2).

0.2.2 Racines carrées

La racine carrée peut être vue comme une puissance1/2:⎷ a=a12. Ainsi, toutes les formules que l"on vient de voir pour les puissances entièress"appliquent à la racine, vue comme une puissance. En particulier, on a⎷ a×b=⎷a×⎷b. De plus, on n"a pas de formule simple pour⎷ a+b.

0.3 Fraction

Une fraction est un quotient (une division)

a boùaetbsont des entiers (bétant évidement non nul). l"entieraest lenumérateuret l"entierbest ledénominateur.

Remarque: siaest plus petit queb, la fractiona

best plus petite que1. Siaest plus grand queb, la fractiona best plus grande que1.

0.3.1 Multiplication et division de fractions

Pour multiplier deux fractions, il suffit de multiplier les numérateurs entre eux, et les dénominateurs entre eux.a b×cd=a×cb×d.

12TABLE DES MATIÈRES

Pour diviser, on multiplie par l"inverse. Ainsi, pour diviser une fraction parc d, on la multiplie par d c: a b c d=ab×dc=a×db×c.

0.3.2 Simplification d"une fraction

Si pour une fraction

a bdonnée, les entiersaetbon un facteur en commun, on peut simplifier par ce facteur commun sans changer la valeur de la fraction. Ainsi, sia=d×a? etb=d×b?, alors a b=\d×a?\d×b?=a?b?.

Exemple:20

15=\5×4\5×3=43.

Il est fortement conseillé de travailler autant que possible avec des fractions simplifiées.

Pour simplifier une fraction, une méthode générales consiste à utiliser ladécomposition

en facteurs premiers. En effet, tout nombre entier peut se factoriser au maximum. (Les fac- teurs que l"on obtient alors sont desnombres premiers). Or une fois que le numérateur et le dénominateur d"une fraction sont décomposés au maximum, ilest plus facile de déterminer s"ils ont des facteurs en commun.

Exemple:72

60=\2× \2×2× \3×3\2× \2× \3×5=65.

0.3.3 Addition de fractions

On ne peut additionner deux fractions que si elles ont le même dénomina- teur.Dans ce cas, on additionne alors les numérateurs. a d+cd=a+cd. Si l"on veut additionner deux fractions qui n"ont pas le mêmedénominateur, il faut com- mencer par leur trouver un dénominateur commun. Or, comme pour la simplification, si l"on multiplie le numérateur et le dénominateur d"une fraction par un facteur commun, on ne change pas la valeur de cette fraction (en fait, on la multiplie par1). Ainsi, si l"on a deux fractionsa betcdon peut multiplier le numérateur et le dénominateur deabpardet le numérateur et le dénominateur de c dparb. On obtient deux fractions, égales aux fractions précédentes et qui ont pour dénominateur le produitab. a b=adbdetcd=bcbd.

0.4. FRACTIONS ALGÉBRIQUES13

Ainsi,

a b+cd=adbd+bcbd=ad+bcbd. Remarque: il se peut que les dénominateursbetdest un facteur commun plus petit que le produitbd. Il en existe même un plus petit que tous les autres : lepgcd. Si l"on peut trouver rapidement le pgcd debetd, on peut l"utiliser pour la mise au même dénominateur et l"on simplifie ainsi les calculs...

Exemple: faire la somme de5

6et34en commençant par mettre ces deux fractions sur

24, puis en cherchant leur pgcd.

0.4 Fractions algébriques

Les fractions algébriques sont des fractions dont le numérateur et le dénominateur ne sont plus seulement des nombres entiers, mais peuvent également être des expressions al- gébriques.

Exemples:1

x-1,x2-3(x-2)(x+ 6). Les règles de calcul sont exactement les mêmes que pour les fractions d"entiers : on multiplie directement, on additionne en mettant au même dénominateur, et l"on pense à simplifier à chaque étape. Ces opérations peuvent cependantprendre plus de temps que pour des fractions d"entiers, étant donnée la complexité des expressions que l"on manipule. En particulier, on utilisera la factorisation et le développement pour déterminer les déno- minateurs communs et simplifer. Remarque: il faut faire un peu plus attention à la division par0lorsque l"on travaille avec des fractions algébriques. Il faut en particulier eliminer certaines valeurs des para- mètres : celles qui annulent le dénominateur. Ainsi, dans lepremier exemple donné plus haut, il faut éliminer la valeurx= 1, et dans le second, il faut éliminer les valeursx= 2 etx=-6.

Exemples:

1. y-1 x-2×xy=x(y-1)y(x-2)pourx?= 2ety?= 0. 2. 1 x+1x-1=x-1x(x-1)+xx(x-1)=2x-1x(x-1)pourx?= 0etx?= 1. 3.

3(x-2) + (x-2)(x-3)

x2-4=(x-2)(3 +x-3)(x-2)(x+ 2)=xx+ 2pourx?=±2.

14TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1Systèmes linéaires, programmationlinéaires1.1 Mise en équation Lorsque l"on veut utiliser les mathématiques pour résoudreun problème concret, la

première étape consiste à traduire ce problème en données mathématiques exploitables.

C"est ce que l"on appellela mise en équation. Une bonne mise en équation se fait de la façon suivante :

1. Répertorier toutes les variables du problème, et les nommer de façon claire.

2. Déterminer toutes les contraintes du problème, et les traduire en équations (i.e. éga-

lités) ou inéquations (i.e. inégalités). Exemple: une entreprise de location de vélos veut renouveler son stock de vélos. Le

gérant souhaite proposer à ses clients deux types de vélos : des vélos de ville qu"il achète à

500
=Cpièce, et des VTT qu"il achète à 750=Cpièce. Il dispose pour cela d"un budget de 30000
=C. Quelle quantité de vélos de ville et de VTT peut-il acheter? Pour résoudre ce problème, on peut le mettre en équation de lafaçon suivante :

1. Ensemble de variables : notre problème contient deux variables :

-x=le nombre de vélos de ville, -y=le nombre de VTT.

2. Mise en équation : notre problème contient une contrainte: les 30000=Cà dépenser.

Le problème peut donc être modélisé par l"équation

500x+ 750y= 30000.

Résoudre notre problème revient alors à déterminer tous les couples(x,y)qui vérifient cette équation. 15

16CHAPITRE 1. SYSTÈMES LINÉAIRES, PROGRAMMATION LINÉAIRES

Ainsi, six= 15alorsy= 30

x= 30y= 20 x= 45y= 10

Chacun de ces couples(x,y)est une solution de

notre problème. L"ensemble des couples consti- tuant une solution est l"ensemble solution. Pour les systèmes ne contenant que deux inconnues, on peut représenter l"ensemble solution par une courbe du plan (en mettant lesxen abcisse et lesyen ordonnée). Ainsi, dans l"exemple qui nous intéresse, l"ensemble des solutions peut être représenté par la droite ci contre.

Remarques:

10206050403040

30
20 10 xy 0 - Pour des raisons évidentes, la droite ci-dessus est la droite d"équation500x+ 750y= 30000, ouy=-2

3x+ 40.

- Étant donnée la nature de nos inconnues, on ne regarde que lapartie de la droite correspondant àx?0ety?0.

1.2 Équations linéaires

Lors d"une mise en équation, si l"équation que l"on obtient est de la formeax+by=c

(comme dans l"exemple précédent), on dit que le problème (oul"équation) est un problème

linéaireà deux variables. Comme dans l"exemple précédent, tout problème linéaire à deux

variables peut être représenté par une droite du plan. De façon générale, toute équation du type a

1x1+a2x2+...+anxn=c

oùx1,x2,...,xnsont les inconnues, eta1,...,anetcsont les coefficient (i.e. des nombres connus), sera dite équation linéaire (ànvariables). Si le nombre d"inconnues est plus petit que3, on pourra avoir une représentation géométrique de l"équation. Précisément, - Une équation linéaire à1variable est une équation de la formeax=b. Elle possède en générale une unique solution, que l"on peut représenter par un point sur la droite réelle. x0

1.3. SYSTÈMES D"ÉQUATIONS LINÉAIRES17

- Une équation linéaire à2variable est une équation de la formeax+by=c. L"ensemble des solutions peut être re- présenté par une droite dans le plan. x y 0 - Une équation linéaire à3variable est une équation de la formeax+by+cz=d. L"ensemble des solutions peut être représenté par un plan dans l"espace à 3 dimensions. xy 00000 z

Exemples:

Représenter graphiquement les solutions des équations linéaires suivantes : -(E1) : 2x= 10. -(E2) : 3x+y= 9. -(E3) : 2x-y+ 3z= 6.

1.3 Systèmes d"équations linéaires

Unsystème linéaireest un ensemble d"équations linéaires ayant le même nombre d"in- connues.

Exemples:

?2x+3y= 11

5x-y= 2est un système de deux équations à 2 inconnues.

?x+5y-z+1

2t= 15

5x-y-t= 2

-x+y-4z+2quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35