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ln(ak) Produit télescopique : n ∏ k=p vk+1

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18 sept 2010 · 3 Sommes télescopiques, sommes doubles et produits 3 1 Sommes télescopiques Le concept de somme télescopique ne fait rien apparaitre 

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12 oct 2013 · ak sous la forme ak = bk+1 bk Proposition 1 1 30 (calcul des produits téléscopiques) Soit ∏ bk+1 bk un produit téléscopique Alors : n ∏ k=0

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Cette somme rentre dans le cadre général des sommes télescopiques qui sera En 1), on doit noter que lorsqu'on développe le produit d'une parenthèse à n 

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On dit qu'on a une somme télescopique 2 1 3 Changements d'indices Remarque : Lorsqu'on a une somme n X k=p ak, on peut réaliser pour convenance deux 

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λak = λn+1 n ∏ k=0 ak Exemple 6 1) En utulisant un produit télescopique simplifier le produit : n ∏ k=1 (1 + 1 k ) 2) Soit n ≥ 2, montrez l'inégalité suivante :

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Lycée Louis-Le-Grand, ParisAnnée 2013/2014

Cours de mathématiques

Partie I - Les fondements

MPSI 4

Alain TROESCH

Version du:

12 octobre 2013

Table des matières

1 Sommes3

I Manipulation des signes?et?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.1 Définition des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 4 I.2 Règles de manipulation des signes?et?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 I.3 Changements d"indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 8 I.4 Sommes télescopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 9 I.5 Sommes multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 10 I.6 Rapide introduction à la notion de série . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 12

II Sommes classiques à connaître . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 12

II.1 Somme des puissances d"entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 13 II.2 Sommes géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 14

III Coefficients binomiaux, formule du binôme . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 16

2 Fondements logiques19

I Logique propositionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 19

I.1 Construction formelle d"une formule . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 19

I.2 Véracité d"une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 20

I.3 Équivalences entre formules, tautologies . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 22 I.4 Démonstration formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 23

II Calcul des prédicats du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 24

II.1 Construction formelle d"une formule du calcul des prédicats . . . . . . . . . . . . . 24 II.2 Règles concernant les quantificateurs . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 26

II.3 Valeur de vérité et démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 27

III Composition d"un texte mathématique . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 28

III.1 Description générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 28

III.2 Comment construire une démonstration . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 29

IV Quelques types classiques de démonstration . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 30

IV.1 Le Modus ponens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 30

IV.2 La transitivité de l"implication. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 30

IV.3 Démonstration par la contraposée. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 31 IV.4 Cas particulier : démonstration par l"absurde. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 31 IV.5 Disjonction des cas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 31 IV.6 Analyse-Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 32 IV.7 Raisonnement par récurrence simple . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 32 IV.8 Récurrence d"ordrek: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2Table des matières

IV.9 Récurrence forte : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 34

IV.10 Récurrences multiples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 34

IV.11 Principe de la descente infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 34

3 Ensembles, applications, relations35

I Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 35

I.1 Définition intuitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 35

I.2 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 37 I.3 Unions et intersections infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 40 I.4 Fonction caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 40 I.5 La crise des fondements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 41 I.6 Tentatives d"axiomatisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 42

II L"ensembleNdes entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

II.1 Axiomatique deN(hors-programme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

II.2 Propriétés deN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

III Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 44

III.1 Définitions élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 44

III.2 Image directe, image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 47

III.3 Injectivité, surjectivité, bijectivité . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 49

III.4 Notion de cardinal. Dénombrabilité. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 53

IV Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 55

IV.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 55

IV.2 Opérations sur les relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 56

IV.3 Définition de quelques propriétés sur les relations . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 57

IV.4 Relations d"équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 58 IV.5 Relations d"ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 60

4 Les corpsRetC67

I Le corpsQdes rationnels et le corpsRdes réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

I.1 Idée de constuctions possibles deQet deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 I.2 Division euclidienne dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 I.3 De l"existence de nombres non rationnels . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 69 I.4 Signe et inégalités dansRetQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

I.5 Partie entière, partie décimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 72

I.6 Représentation décimale et binaire d"un réel . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 72

I.7 Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 76 I.8 Intervalles et topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 77

I.9 Droite achevée

R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 II Le corpsCdes nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

II.1 Définition, forme algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 81

II.2 Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 83 II.3 Cercle trigonométrique, formules de trigonométrie . .. . . . . . . . . . . . . . . . 84 II.4 L"exponentielle complexe et applications à la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . 89 II.5 Racinesn-ièmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 II.6 Cas des racines carrées : expression sous forme algébrique . . . . . . . . . . . . . . 93 II.7 Nombres complexes et géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 94

III Ensembles de nombres étendantC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

III.1 Quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 97 III.2 Octonions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 97 1

Sommes

Introduction

Le but de ce chapitre introductif est de systématiser l"usage du signe?pour désigner une somme

d"éléments. Dans la mesure du possible, l"utilisation de cette notation est préférable à celle utilisant des

petits points, bien moins rigoureuse. Nous supposons connues les notions et notations suivantes : •la compréhension intuitive des ensembles de nombres usuels, et les notations standard : ?N: ensemble des entiers naturels (i.e.positifs ou nuls); ?Z: ensemble des entiers relatifs (i.e.de signe quelconque); ?Q: ensemble des nombres rationnels (i.e.pouvant s"écrire sous forme d"une fraction); ?D: ensemble des nombres décimaux (i.e.admettant une écriture finie en base décimale); ?R: ensemble de tous les nombres réels; ?C: ensemble de tous les nombres complexes; •les sous-ensembles particuliers suivants deRetC: ?R+: ensemble des réels positifs ou nuls; ?R-: ensemble des réels négatifs ou nuls; ?R?: ensemble des réels non nuls; ?R?+: ensemble des réels positifs non nuls; ?R?-: ensemble des réels négatifs non nuls; ?C?: ensemble des nombres complexes non nuls; ?N?: ensemble des entiers naturels non nuls; ?Z-: ensemble des entiers négatifs ou nuls; ?Z?: ensemble des entiers non nuls; ?de même que pourR, on peut définirQ+,Q-,Q?,Q?+,Q?-,D+,D-,D?,D?+ouD?-; on rencontre aussi parfoisZ+pour désignerN, etZ?-;

•les intervalles de réels :?poura?b, la notation[a,b]désigne l"intervalle fermé délimité par les réelsaetb, c"est-à-dire

l"ensemble des réelsxtels quea?x?b;

?poura < b, la notation]a,b]désigne l"ensemble des réelsxtels quea < x?b. On définit de manière

similaire[a,b[et]a,b[; ?+∞désigne l"infini positif,-∞désigne l"infini négatif;

?les intervalles deRpeuvent être délimités par un infini, à condition d"avoir uneborne ouverte :

[a,+∞[par exemple désigne l"intervalle des réelsxtels quea?x;

•les intervalles d"entiers : siaetbsont deux entiers tels quea?b,[[a,b]]désigne l"intervalle d"entiers

délimité paraetb, c"est-à-dire : [[a,b]] ={a,a+ 1,...,b-1,b}={n?Z|,a?n?b};

4CHAPITRE 1. SOMMES

On trouve parfois[[a,+∞[[, lorsque l"intervalle n"est pas majoré; •la notion de fonction bijective d"un ensemble fini dans un autre;

Note Historique 1.0.1

Si on comprend assez bien les notationsN,R,CetD, il n"en est pas de même deZetQ. Voici un bref apreçu

historique de ces notations : •N: notation introduite par Peano (fin 19e, de l"italienNaturale) •Z: notation introduite par Dedekind (fin 19esiècle, de l"allemandZahlen) •D: notation introduite par les programmes pédagogiques français (1970) •Q: notation introduite par Peano (de l"italienQuotiente) •R: notation introduite par Dedekind (de l"allemandReal)

•C: notation introduite par Gauss en 1831.

I Manipulation des signes

?et?

Nous rappelons qu"une famille d"éléments deEindexée sur un ensembleIest une fonctionx:I-→E,

généralement donnée en notation indicielle (on notexiau lieu dex(i)). L"objet "famille» dans sa globalité

est noté(xi)i?I, ou parfois(xi)lorsque le contexte est clair, en opposition àxi, désignant uniquement le

terme d"indicei.

Dans cette section, nous considérerons uniquement le cas defamilles finies, c"est-à-dire de familles indexées

sur un ensembleIfini.

I.1 Définition des notations

Notation 1.1.1 (signes?et?: définition générale) SoitIun ensemble fini et(ai)i?Iune famille de nombres réels ou complexes.

•L"expression?

i?Ia idésigne la somme de tous les élémentsai, pour touti?I.

•L"expression?

i?Ia idésigne le produit de tous les élémentsai, pour touti?I.

Remarques 1.1.2

1. La lettreiutilisée pour énumérer les éléments deIrésulte évidemment d"un choix arbitraire : on

peut remplacer cette lettre par toute autre lettre n"ayant pas de signification externe à la somme.

On dit queiest unevariable muette. Ainsi :

i?Ia i=? j?Ia j=?

β?Ia

En revanche,

n=?[[1,n]]a nn"a pas de sens.

2. Pour une définition rigoureuse et universelle, il faut se donner un ordre de sommation. DansRou

C, ou les autres ensembles que l"on recontrera, l"addition sera toujours commutative, et l"ordre de sommation importe peu. C"est moins vrai pour les produits(voir le produit des matrices par exemple)

3. La donnée d"un ordre de sommation est la donnée d"une numérotation des éléments deI, possible

parce queIest fini. Ainsi, siIest de cardinaln, on peut trouver une numérotation

I={i1,...,in}.

Une telle numérotation est équivalente à la donnée d"une bijection?: [[1,n]]-→I: il suffit de

poserik=?(k). Il est important de bien conserver à l"esprit que toute bijection?de[[1,n]]-→I définit la même somme.

I Manipulation des signes?et?5

Notation 1.1.3 (signes?et?sur des ensembles d"entiers consécutifs )

Dans le cas particulier oùI= [[n,p]], donc oùIest un ensemble d"entiers consécutifs, on écrit générale-

ment :

•p?

i=na iau lieu de? i?[[n,p]]a i; ainsi,p? i=na i=an+an+1+···+ap. p? i=na iau lieu de? i?[[n,p]]a i; ainsi,p? i=na i=an×an+1× ··· ×ap. On lit respectivement " somme pouriallant denàpdesai» et " produit pouriallant denàpdes a i». Lorsquem=n, la somme (ou le produit) est réduite à un seul terme : n i=na i=an.

Convention 1.1.4 (somme vide, produit vide)

LorsqueI=∅, on pose par convention :

i?∅a i= 0et? i?∅a i= 1.

Ainsi, sip < n,[[n,p]]est vide, doncp?

i=na i= 0. Par exemple,1? i=2i 2= 0.

Remarque 1.1.5

On notera qu"en général, une somme n"est pas forcément prisesur un ensemble d"entiers successifs, ni

même sur un ensemble d"entiers. La seule condition est quel"ensemble des indices soit fini(on étudiera le cas où l"ensemble des indices estNdans le chapitre sur les séries).

Note Historique 1.1.6

Le signe?a été introduit par le mathématicien suisse Leonhard Euler en1755, le symbole?date de Gauss,

mais on en trouve trace chez Descartes. Mais leur usage ne s"estpas répandu immédiatement, et de nombreux

mathématiciens ont continué à utiliser des points de suspension (par exemple Abel au début du 19esiècle)

Exemples 1.1.7

1. 4? k=1k(k-1) = 1(1-1) + 2(2-1) + 3(3-1) + 4(4-1) = 2 + 6 + 12 = 20. 2. i?{2,3,5}i

2= 22+ 32+ 52= 4 + 9 + 25 = 38.

3. siE={(i,j)?N2|i+j= 5}={(0,5),(1,4),...,(5,0)}, alors

(i,j)?Ei j+ 1=06+15+24+33+42+51=8710. 4. i?E1 = 1 +···+ 1 =|E|(autant de termes 1 que d"éléments dansE).

5. SoitE={(i,j,k)?(N?)3|i+j+k= 5}. Calculer?

(i,j,k)?Ei+k j+k.

6CHAPITRE 1. SOMMES

Remarque 1.1.8

À part dans le cas trivial où un des termes du produit est nul, un produit peut toujours se ramener à

une somme en appliquant le logarithme à sa valeur absolue (eten comptant les signes). Ainsi, sikest

le nombre de termes négatifs dans le produit, i?Ia i= (-1)kexp?? i?Iln(|ai|)?

De cette manière, la plupart des règles données pour les sommes peuvent facilement être transcrites au

cas des produits.

L"ensemble des indicesEpeut dépendre d"un paramètre, le plus souvent d"un entiern(parfois d"un couple

d"entiers, ou d"unp-uplet). Dans ce cas, le résultat est une expression dépendant de ce paramètre. Par

exemple siEdépend den, le résultat de la somme dépend aussi den.

Exemples 1.1.9

1.E={1,···,n},n?

i=11 =|E|=n.

2.E={n,n+ 1,...,2n},2n?

i=nf(i) =f(n) +···+f(2n).

3.E={(i,j)?N2|i+j=n}. Que vaut?

(i,j)?E1?? (i,j)?Ei?? (i,j)?Ej-i?

4. Par définition de la factorielle, pourn?N,n! =n?

k=1k.

Avec la convention 1.1.4, il vient :0! = 1.

I.2 Règles de manipulation des signes

?et? Nous donnons maintenant un certain nombre de règles élémentaires sur les sommes. Proposition 1.1.10 (Somme indexée dans une union disjointe) On suppose queI=I1?I2, avecI1∩I2=∅,Ifini. Alors :? i?Ia i=? i?I1a i+? i?I2a i.

Notation 1.1.11 (Union disjointe, HP)

Lorsque l"unionI?Jest disjointe (c"est-à-direI∩J=∅), il est d"usage courant de noter cette union

I?J.

Exemples 1.1.12

1. SoitE={1,...,n}etk? {1,...,n}. Alors

n i=1a i=k? i=1a i+n? i=k+1a i

Sik=nla deuxième somme est vide, donc nulle.

2. SoitE={0,...,2n-1}. En écrivantEsous la forme de l"union de ses éléments pairs et de ses

éléments impairs, calculer

2n-1? i=0? i 2? , où?x?désigne la partie entière dex.

I Manipulation des signes?et?7

Remarque 1.1.13

Attention à prendre une uniondisjointe, sinon on somme deux fois chaque élément indexé par un indice

de l"intersection. Dans le cas d"une union non disjointeI=I1?I2, on peut écrire : i?Ia i=? i?I1a i+? i?I2a i-? i?I1∩I2a i. Plus généralement, on obtient le résultat suivant : Proposition 1.1.14 (Sommation par groupement de termes) SoitIun ensemble fini et(I1,...,In)une partition deI. Soit(ai)i?Iune famille. Alors i?Ia i=? i?I1a i+? i?I2a i+···+? i?Ina i=n? j=1? i?Ija j.

Proposition 1.1.15 (Linéarité du symbole?)

SoitIun ensemble fini et(ai)i?Iet(bi)i?Ideux familles (réelles ou complexes), etλ,μdeux nombres

réels ou complexes. Alors : i?Ia i+? i?Ib i=? i?I(ai+bi). i?Ia i=? i?Iλa i.

•En combinant les deux égalités :λ?

i?Ia i+μ? i?Ib i=? i?I(λai+μbi).

Cette proposition énonce le fait que

?est une " forme linéaire sur l"espace vectoriel des famillesindexées par un ensemble fini donnéI. » (voir chapitreEspaces vectoriel et Applications linéaires)

Corollaire 1.1.16 (somme de termes constants)

SoitEun ensemble fini etaun nombre réel ou complexe. Alors : i?Ea=a·? i?E1 =a· |E|.

Exemples 1.1.17

1. n? k=0k(k+ 1) =n? k=0k 2+n? k=0k=n(n+ 1)(2n+ 1)

6+n(n+ 1)2.

2. SoitE={(i,j)|i+j=n}. Calculer?

(i,j)?Ej-i, en séparant la somme en deux.

Remarque 1.1.18

Attention à prendre des sommes indexées sur lemêmeensemble! Si ce n"est pas le cas, on ne peut

regrouper les sommes que sur l"intersection des indices, enlaissant chacun dans leur somme les éléments

indexés hors de cette intersection : i?I1a i+? i?I2b i=? i?I1∩I2(ai+bi) +? i?I1\(I1∩I2)a i+? i?I1\(I1∩I2)b i.

8CHAPITRE 1. SOMMES

Exemple 1.1.19

SoitE={0,...,n}etE?={1,...,n+ 1}. Alors

n i=0a i+n+1? i=1b i=a0+n? i=1(ai+bi) +bn+1.

Les règles similaires pour le produit sont :

Proposition 1.1.20 (règles pour les produits)

Avec des notations cohérentes, on obtient les règles suivantes :

•SiI1∩I2=∅,?

i?I1a i? i?I2a i=? i?I1?I2a i. i?Ia i? i?Ib i? i?I(aλ ibμ i). i?Ia=a|I|.

I.3 Changements d"indice

Nous en venons maintenant à une technique importante, qui estcelle du changement d"indice. La technique

énoncée est la même pour la somme et le produit. Nous nous contentons de la donner dans le cas de la

somme.

Théorème 1.1.21 (Changements d"indice)

SoitIetJdeux ensembles, etf:I→JunebijectiondeIsurJ. Alors, pour toute famille(bj)j?J, j?Jb j=? i?Ib f(j)

En appliquant ce résultat à la bijection réciproquef-1, on a alors aussi, pour toute famille(ai)i?I:

i?Ia i=? j?Ja f-1(i)

Exemple 1.1.22

SoitI={2,4,5},J={1,2,3}etfdéfinie parf(2) = 1,f(4) = 3,f(5) = 2. Alors j?Ja i?Ia i.

De même,

i?Ib f(i)=bf(2)+bf(4)+bf(5)=b1+b3+b2=? j?Jb j.

Le cas le plus fréquent est celui où la bijection est donnée par une translation sur des ensembles d"entiers

conscutifs :

I Manipulation des signes?et?9

Corollaire 1.1.23 (changements d"indices par translation) Soitn,pet?trois entiers tels quen?p. Soit(ai)i?[[n,m]]une famille. Alors : p i=na i=m-?? i=n-?a i+?.

Exemple 1.1.24

Montrer quen?

k=0a k+n? k=0b k=a0+n? k=1(ak+bk-1) +bn Voici quelques exemples de changements d"indice moins triviaux :

Exemples 1.1.25

1. SoitEp,n={(i1,...,ip)?Np|i1+···+ip=n}etE?p,n={(i1,...,ip)?(N?)p|i1+···+ip=n}.

Montrer que?

(i1,...,ip)?Ep,na i1,...,ip=? (j1,...,jp)?E?p,n+pa j1-1,...,jp-1.

2. Démonstration de la formule du multinôme (supposant connue la formule du binôme)

I.4 Sommes télescopiques

Définition 1.1.26 (somme télescopique)

On dit qu"une sommen?

k=0a kest téléscopique si pour toutk? {0,...,n}, on peut écrire de façon simple a ksous la formeak=bk+1-bk.

Les sommes téléscopiques se calculent facilement. La technique utilisée (séparer la somme en deux et

faire un changement d"indice sur une des deux sommes) est à retenir : elle s"adapte à des situations plus

générales. Proposition 1.1.27 (calcul des sommes téléscopiques) Soit?(bk+1-bk)une somme téléscopique. Alors : n? k=0(bk+1-bk) =bn+1-b0.quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21