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ln(ak) Produit télescopique : n ∏ k=p vk+1

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MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot 1 3 Sommes télescopiques Méthode Télescopage On appelle somme télescopique toute somme du type suivant ∑

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18 sept 2010 · 3 Sommes télescopiques, sommes doubles et produits 3 1 Sommes télescopiques Le concept de somme télescopique ne fait rien apparaitre 

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12 oct 2013 · ak sous la forme ak = bk+1 bk Proposition 1 1 30 (calcul des produits téléscopiques) Soit ∏ bk+1 bk un produit téléscopique Alors : n ∏ k=0

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Cette somme rentre dans le cadre général des sommes télescopiques qui sera En 1), on doit noter que lorsqu'on développe le produit d'une parenthèse à n 

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27 fév 2017 · 2 Le symbole produit D 9 Exemples : Les sommes télescopiques sont une méthode très efficace pour On utilise une somme télescopique :

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On dit qu'on a une somme télescopique 2 1 3 Changements d'indices Remarque : Lorsqu'on a une somme n X k=p ak, on peut réaliser pour convenance deux 

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λak = λn+1 n ∏ k=0 ak Exemple 6 1) En utulisant un produit télescopique simplifier le produit : n ∏ k=1 (1 + 1 k ) 2) Soit n ≥ 2, montrez l'inégalité suivante :

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??????p2N?? ??????u0;u1;u2;:::;up??? ?????? ?? ?????S=u0+u1++u2++up?? ???? ????? S=p? k=0u S=p? k=0u k=p? i=0u i=p? j=0u j ????? ???? ????? p? k=0u k? ?? ? ?n+ 1??????? n? k=pu k? ?? ? ?np+ 1??????? n k=0a k=p? k=0a k+n? k=p+1a k n? k=pa k=n? k=0a kp1? k=0a k ??????p2N?? ??????u1;:::;up;v1;:::;vp??? ?????? ????? p? k=1(uk+vk) =p? k=1u k+p? k=1v k ???? ????2R?p? k=1u k=p? k=1u k p? 100
k=11 = 100;100? k=01 = 101 ????? ??? ?? ?? ?????vn+1vn? p k=1(vk+1vk) = (v2v1) + (v3v2) ++ (vp+1vp) =vp+1v1 n? k=pa k=21k1=p1? `=11` = 1 +12 +13 ++1p1 ???n1? k=01nk=n? `=11` k=0k=n(n+ 1)2;n k=0k2=n(n+ 1)(2n+ 1)6;n k=0k3=?n(n+ 1)2 2 =n2(n+ 1)24 k=0k=n(n+ 1)2 k=0k= 0 =0(0 + 1)2 ? ????P(0)??? ?????? n+1? k=0k=(n+ 1)(n+ 2)2 n+1? k=0k=n? k=0k+ (n+ 1)??= n(n+ 1)2 + (n+ 1) = (n+ 1)?n2 + 1? =(n+ 1)(n+ 2)2 k=0k2=n(n+ 1)(2n+ 1)6 k=0k2= 0 =0(0 + 1)(0 + 1)6 ? ????P(0)??? ?????? n+1? k=0k2=(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3)6 n+1? k=0k2=n? k=0k2+ (n+ 1)2??= n(n+ 1)(2n+ 1)6 + (n+ 1)2= (n+ 1)? n+ 1 +n(2n+ 1)6 = (n+ 1)2n2+ 7n+ 66 =(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3)6 k=0k3=n2(n+ 1)24 k=0k3= 0 =02(0 + 1)24 ? ????P(0)??? ?????? n+1? k=0k3=(n+ 1)2(n+ 2)24 n+1? k=0k3=n? k=0k3+ (n+ 1)3??= n2(n+ 1)24 + (n+ 1)3= (n+ 1)2?n24 +n+ 1? =(n+ 1)2(n+ 2)24 p+up+1+up+2++un1+un=n? k=pu k=(up+un)(np+ 1)2 n k=pu k=(??? ?????+??????? ?????)(?????? ?? ??????)2 n ?????? ???? ????n2N?P(n)? ?n? k=0qk=1qn+11a?? k=0qk= 1 =1q1q? ????P(0)??? ?????? n+1? k=0qk=1qn+21q? ????? n+1? k=0qk=n? k=0qk+qn+1??=

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