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Cours de Calcul Tensoriel

avec Exercices corrigés

Table des matières1 Les vecteurs6

1.1 Conventions d"écriture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1 Notation des vecteurs et de leurs composantes . . . . . . .. . 6

1.1.2 Convention de sommation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.3 Sommation sur plusieurs indices . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.4 Symbole de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.5 Symbole d"antisymétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Généralisation de la notion de vecteur . . . . . . . . . . . . . . .. . . 9

1.2.1 Exemple de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2 Propriétés des opérations sur les vecteurs . . . . . . . . .. . . 10

1.2.3 Autres exemples de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.4 Définition générale des vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.5 Structure d"un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Bases d"un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

1.3.1 Exemples de vecteurs indépendants et dépendants . . . .. . . 13

1.3.2 Vecteurs de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.3 Décomposition d"un vecteur sur une base . . . . . . . . . . . .14

1.3.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.1 Exemple de produits scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.2 Définition du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.3 Expression générale du produit scalaire . . . . . . . . . . .. . 17

1.4.4 Vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.5 Bases orthogonales d"un espace vectoriel pré-euclidien . . . . . 18

1.4.6 Norme d"un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5 Espace vectoriel euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

1.5.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5.2 Bases orthonormées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5.3 Composantes contravariantes et covariantes . . . . . . .. . . 22

1.5.4 Expression du produit scalaire et de la norme . . . . . . . .. 24

1.5.5 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5.6 Bases réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5.7 Décomposition d"un vecteur sur les bases réciproques. . . . . 26

1.5.8 Produits scalaires des vecteurs de base . . . . . . . . . . . .. 27

1.6 Exercices résolus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 Exemples de tenseurs euclidiens38

2.1 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.1.1 Composantes covariantes du tenseur fondamental . . . .. . . 38

2.1.2 Produit tensoriel de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . .40

2.2 Propriétés de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

2.2.1 Tenseur d"ordre deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2.2 Combinaisons linéaires de tenseurs . . . . . . . . . . . . . . .43

2.2.3 Tenseur d"ordre trois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3 Exemples de tenseurs en Physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45

2.3.1 Tenseur d"inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3.2 Tenseur vitesse de rotation instantanée d"un solide .. . . . . . 46

2.3.3 Tenseurs des propriétés des milieux anisotropes . . . .. . . . 48

2.4 Exercices résolus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3 Algèbre tensorielle59

3.1 Tenseur d"ordre deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.1.2 Exemple de tenseur : produit tensoriel de triplets de nombres . 59

3.1.3 Propriétés du produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

3.1.4 Définition du produit tensoriel de deux espaces vectoriels . . . 62

3.1.5 Expression analytique du produit tensoriel de deux vecteurs . 63

3.1.6 Éléments d"un espace produit tensoriel . . . . . . . . . . . .. 64

3.1.7 Produit tensoriel de deux espaces vectoriels identiques . . . . 65

3.2 Tenseurs d"ordre quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66

3.2.1 Produit tensoriel de plusieurs vecteurs . . . . . . . . . . .. . 66

3.2.2 Produit tensoriel d"espaces identiques . . . . . . . . . . .. . . 67

3.2.3 Classification des tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3.1 Produit scalaire d"un produit tensoriel par un vecteur de base 68

3.3.2 Produit scalaire d"un tenseur par un vecteur de base . .. . . 69

3.3.3 Produit scalaire de deux tenseurs de même ordre . . . . . .. 70

3.3.4 Composantes d"un tenseur pré-euclidien . . . . . . . . . . .. 70

3.3.5 Expression du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.3.6 Tenseurs euclidiens d"ordre quelconque . . . . . . . . . . .. . 71

3.4 Bases d"un espace produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 72

3.4.1 Bases réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.4.2 Composantes des tenseurs pré-euclidiens . . . . . . . . . .. . 73

3.4.3 Tenseurs d"ordre quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.4.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.4.5 Critère de tensorialité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.5 Opérations sur les tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79

3.5.1 Addition de tenseurs du même ordre . . . . . . . . . . . . . . 79

3.5.2 Multiplication tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79

3.5.3 Contraction des indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.5.4 Multiplication contractée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.5.5 Critères de tensorialité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.6 Tenseurs particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.6.1 Tenseur symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.6.2 Quadrique représentative d"un tenseur symétrique . .. . . . . 84

3.6.3 Le tenseur fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.6.4 Tenseur antisymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.6.5 Produit extérieur de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.7 Groupes ponctuels de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89

3.7.1 Symétrie d"un cristal et de ses propriétés physiques .. . . . . 89

3.7.2 Effet de la symétrie sur les tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.8 Exercices résolus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4 Espaces ponctuels105

4.1 Espace ponctuel pré-euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 105

4.1.1 Exemple d"espace ponctuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.1.2 Définition d"un espace ponctuel . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.1.3 Repères d"un espace ponctuel pré-euclidien . . . . . . . .. . . 107

4.1.4 Distance entre deux points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.1.5 Dérivée d"un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.1.6 Notation des dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.2 Coordonnées curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.2.1 Systèmes de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.2.2 Coordonnées rectilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.2.3 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.2.4 Coordonnées curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.3 Repère naturel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.3.2 Repère naturel en coordonnées sphériques . . . . . . . . . .. 113

4.3.3 Changement de coordonnées curvilignes . . . . . . . . . . . .. 114

4.3.4 Élément linéaire d"un espace ponctuel . . . . . . . . . . . . .. 115

4.4 Exercices résolus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5 Analyse tensorielle129

5.1 Symboles de Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.1.1 Tenseurs sur un espace ponctuel . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.1.2 Problèmes fondamentaux de l"analyse tensorielle . . .. . . . . 130

5.1.3 Symboles de Christoffel en coordonnées sphériques . . .. . . . 131

5.1.4 Définition des symboles de Christoffel . . . . . . . . . . . . . .132

5.1.5 Détermination des symboles de Christoffel . . . . . . . . . .. 133

5.1.6 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.1.7 Vecteurs réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.1.8 Équation des géodésiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.2 Dérivée covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.2.1 Transport parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.2.2 Dérivée covariante d"un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.2.3 Dérivée covariante d"un tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.2.4 Propriétés de la dérivée covariante d"un tenseur . . . .. . . . 144

5.2.5 Dérivée covariante seconde d"un vecteur . . . . . . . . . . .. 146

5.3 Différentielle absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5.3.1 Différentielle absolue d"un vecteur . . . . . . . . . . . . . . .. 146

5.3.2 Dérivée absolue le long d"une courbe . . . . . . . . . . . . . . 148

5.3.3 Différentielle absolue d"un tenseur . . . . . . . . . . . . . . .. 149

5.3.4 Théorème de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.3.5 Symboles de Christoffel contractés . . . . . . . . . . . . . . . .151

5.4 Opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152

5.4.1 Vecteur gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5.4.2 Rotationnel d"un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . 153

5.4.3 Divergence d"un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . 153

5.4.4 Laplacien d"un champ de scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.5 Exercices résolus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

6 Espaces de Riemann164

6.1 Exemples d"espace de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

6.1.1 Surfaces à deux dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

6.1.2 Disque tournant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

6.1.3 Espace de configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

6.2 Métrique riemannienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.2.1 Notion de variété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.2.2 Définition des espaces de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . 168

6.2.3 Métrique euclidienne et riemannienne . . . . . . . . . . . . .. 169

6.2.4 Conditions nécessaires pour qu"une métrique soit euclidienne . 169

6.3 Propriétés géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

6.3.1 Métrique euclidienne tangente en un point . . . . . . . . . .. 170

6.3.2 Propriétés géométriques déduites des métriques euclidiennes tangentes173

6.4 Propriétés différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 174

6.4.1 Métrique euclidienne osculatrice . . . . . . . . . . . . . . . .. 174

6.4.2 Espace euclidien osculateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

6.4.3 Différentielle absolue et dérivée covariante des tenseurs . . . . 176

6.4.4 Transport parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

6.4.5 Géodésiques d"un espace de Riemann . . . . . . . . . . . . . . 178

6.5 Déplacement le long d"une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179

6.5.1 Développement d"une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

6.5.2 Déplacement associé à un cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

6.5.3 Expression du déplacement associé à un cycle . . . . . . . .. 185

6.6 Tenseur de Riemann-Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189

6.6.1 Détermination du tenseur de Riemann-Christoffel . . . .. . . 189

6.6.2 Composantes covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

6.6.3 Système de coordonnées normales . . . . . . . . . . . . . . . . 190

6.6.4 Propriétés de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

6.6.5 Première identité de Bianchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

6.6.6 Composantes indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

6.7 Courbure Riemannienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6.7.1 Le tenseur de rotation en fonction du tenseur de Riemann-Christoffel193

6.7.2 Courbure riemannienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1946.7.3 Tenseur de Ricci et courbure scalaire . . . . . . . . . . . . . .196

6.7.4 Seconde identité de Bianchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

6.7.5 Tenseur d"Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

6.8 Exercices résolus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

Chapitre 1Les vecteurs1.1 Conventions d"écriture1.1.1 Notation des vecteurs et de leurs composantes

Les vecteurs et les tenseurs sont représentés par des lettres en caractère gras :x représentera par exemple un vecteur. Les composantes des vecteurs et des tenseurs sont notées par des lettresen italiqueavec des indices. Par exemple, un vecteurx de la géométrie classique, rapporté à une basee1,e2,e3, s"écrira : x=x1e1+x2e2+x3e3(1.1) Nous utiliserons également par la suite pour les composantes, des indices infé- rieurs (voir composantes covariantes et contravariantes).

1.1.2 Convention de sommation

Lorqu"on effectue la somme de certaines quantités, on utilise couramment la lettre grecquesigmamajuscule pour représenter cette sommation. On a par exemple : x

1y1+x2y2+.....+xnyn=n?

i=1x iyi(1.2) La convention de sommation d"Einstein va consister à utiliser le fait que l"indice

répété, ici l"indicei, va définir lui-même l"indication de la sommation. On écrit alors

avec cette convention : n i=1x iyi=xiyi(1.3) La variation de l"indice se fera sur tout le domaine possible, en général de 1 àn,quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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