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par rapport `a la mesure de Lebesgue λ, alors µ e absolument continue par rapport (b) Montrer que les variables aléatoires XZ et YZ n'ont pas nécessairement la dérivable en Comparer avec l'exercice Corrigé : On calcule aisément

Exercice 1 Soit X une variable aléatoire dont la fonction de répartition est donnée par Calculer la probabilité pour que la distance parcourue sans incident soit Comment déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire continue ?

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Soit X1,X2, une suite de variables aléatoires indépendantes et de loi B(p) Soit X, Y deux variables aléatoires indépendantes de lois respectives E(λ) et E(µ) À l'aide de ce qui précède, montrer que toute fonction croissante F continue à

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corrigé 4 Exercice 5 calculs de probabilités Lorsque Nicolas joue aux échcs contre Louis, il gagne 5 fois plus La loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée Une variable aléatoire continue X est définie par son domaine

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1 6 Indépendance de deux variables aléatoires X et Y Corrigés des exercices centrale), Lois de probabilités fréquemment utilisées en statistique (Loi On dit que la variable aléatoire X de fonction de répartition F est continue si on

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Image d'une variable aléatoire réelle qu'une galaxie a probabilité de disparaître d'ici à un million d'année égale à 0,000 002 Corrigé de l' exercice 1 1 Si X est une variable aléatoire de densité f, la fonction de répartition est donnée par pour FY car FY est toujours continue, alors que fY ne l'est pas en général )

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Calculer des probabilités avec une variable aléatoire continue On consid`ere la fonction f définie sur [0; +∞[ par f(x) = e−x et X est une variable aléatoire de

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9 4 Examen ELI 2012 On appelle X la variable aléatoire correspondant à la longueur de la première série Calculer la loi de F continue, strictement croissante 1 Donner Donner les lois de probabilité des variables aléatoires X et Y 2

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Corrigé Séance 8 : Variables aléatoires continues `a l'exercice précédent, X suit donc une loi mixte, qui est continue partout sauf en son unique atome (≡ La densité de probabilité d'une loi uniforme doit être nulle en dehors de l' intervalle

Corrig

´e0 - Petite question

1.C alculerla f on?ion cara?´eri?ique de la loi de probabilit´e de densit´e (1jxj)?jxj<1?

2.?uelle e?la fon?ion cara?´eri?ique de la loi de probabilit´e de densit´e (1cos(x))=(x2)?

Corrig

´e :

1.On cal cule,en in t´egrant par parties pourt,0:

Z R (1jxj)?jxj<1eitxdx=2Z 1 0 (1x)cos(tx)dx=21cos(t)t 2: Pourt=0, la premi`ere int´egrale vaut1(normal, c"e?une densit´e de probabilit´e!).

2.D" apr`eslecours,sie?unemesuredeprobabilit´esdontlafon?ioncara?´eri?iquebe?int´egrable

par rapport `a la mesure de Lebesgue, alorse?absolument continue par rapport`a, et sa densit

´e e?donn´ee-p.p. par

x7!12Z R b(t)eitxdt:

On en d

´eduit que pour presque toutx2R:

(1jxj)?jxj<1=12Z R dt21cos(t)t

2eitx:

Les deux membres

´etant des fon?ions continues enx, on a l"´egalit´e pour toutx2R. En faisant le

changement de variablex=x, il s"ensuit que la fon?ion cara?´eri?ique de la loi de probabilit´e de

densit ´e (1cos(x))=(x2) e?x7!(1jxj)?jxj<1.1 - Lois de variables al ;A;P).

1.On suppose que X=Yp.s. Montrer queXetYont la mˆeme loi. Montrer que la r´eciproque e?

fausse.Pour des que?ions, demande de pr´ecisions ou explications,n"h´esitez pas`a m"envoyer un mail`a

igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V4. 1

2.On suppose que XetYont la mˆeme loi.

(a) Soit f:R!Rune fon?ion bor´elienne. Montrer que les variables al´eatoiresf(X) etf(Y) ont la m

ˆeme loi.

(b)

Mon trerque les v ariablesal

´eatoiresXZetYZn"ont pas n´ecessairement la mˆeme loi.

Corrig

´e :

1.Si X=Yp.s. alors pour toute fon?ion bor´eliennef:R!R+:

E(f(X)) =Z

f(X(!))P(d!) =Z f(X(!))P(d!) =E(f(Y)):

Pour la deuxi

`eme´egalit´e, on a utilis´e le fait que l"int´egrale de deux fon?ions presque partout egales e?la mˆeme. Ceci montre queXetYont la mˆeme loi. La r ´eciproque e?fausse. Consid´erons une variable al´eatoireXde loi normaleN(0;1) (c"e?-`a- dire de densit ´ep21ex2=2par rapport`a la mesure de Lebesgue). PosonsY=X. AlorsYe?une variable al ´eatoireXde loi normaleN(0;1). En effet soitg:R!R+une fon?ion bor´elienne. Alors

E(g(Y)) =Z

+1 1 g(x)ex2=2dx=Z +1 1 g(x)ex2=2dx: DoncXetYont la mˆeme loi mais ne sont pas´egales p.s (en effetP(X=Y) =P(X=0) =0carXe? une variable al

´eatoire`a densit´e).

2.(a) P ourtoute f on?ion bor´elienneg:R!R+, la fon?iongfe?bor´elienne. CommeXetYont

la m

ˆeme loi, on a

E(gf(X)) =E(gf(Y));

ce qui montre quef(X) etf(Y) ont la mˆeme loi. (b) On reprend les variablesXetYde la que?ion1. SoitZ=X. AlorsXZ=X2etYZ=X2. La loi deX2e?une mesure de probabilit´e surR+(diff´erente de la mesure de Dirac0) et la loi deX2

e?une mesure de probabilit´e surRdoncXZetYZn"ont pas la mˆeme loi.Exercice 2.(Simulation de variables al´eatoires.) SoientXune variable al´eatoire r´eelle d´efinie sur un

espace de probabilit

´e (

;A;P) etFsa fon?ion de r´epartition d´efinie parF(t) =P(Xt) pourt2R.

1.Si Fe?continue et?ri?ement croissante, et siUe?une variable uniforme sur [0;1], quelle e?la

loi de la variable al

´eatoireF1(U)?

2.Dans le cas g ´en´eral on d´efinitF1, l"inverse continu`a droite deFpar,

1(u) = inffx2R:F(x)> ug:

?uelle e?la loi de la variable al´eatoireF1(U)?

3.Soit Uune variable al´eatoire de loi uniforme sur [0;1], etXla variable al´eatoire d´efinie parX=

1p ln(U). D´eterminer la loi deX.

Corrig

´e :

1.Soit t2R. On afF1(U)tg=fUF(t)g. Donc

P(F1(U)t) =P(UF(t)) =F(t):

Or la fon?ion de r´epartition d"une variable al´eatoire cara?´erise sa loi. AinsiF1(U) a la mˆeme loi

queX. 2

2.Soit t2R. On afF1(U)tg=T

n1fU < F(t+1=n)g. Donc

P(F1(U)t)

=P0BBBBB@\ n1 U < F t+1n

1CCCCCA= limn!1P

U < F t+1n = limn!1F t+1n =F(t); la derni `ere´egalit´e´etant une cons´equence de la continuit´e`a droite deF.

3.La f on?ion de r´epartition d"une variable exponentielle de param`etrepe?F(x) =1epxpour

x0. Ainsi,F1(u) =ln(1u)=p. Ainsi,ln(1U)=psuit la loi exponentielle de param`etrep. CommeUet1Uont mˆeme loi, ceci permet de dire queln(1U)=psuit la loi exponentielle de param `etrep. Remarque.Une autre possibilit´e e?de calculerEhF(1p ln(U))ipour toute fon?ion mesurable

F:R+!R+en utilisant la formule du changement de variable (cf TD pr´ec´edent).Exercice 3.(Variables exponentielles)

1.On dit qu"une v ariableal ´eatoire r´eelle positive v´erifie la propri´et´e d"absence de m´emoire si pour

touss;t >0,

P(X > t+s) =P(X > t)P(X > s):

Trouver toutes les variables al

´eatoires r´eelle positivesXqui v´erifient la propri´et´e d"absence de m

´emoire.

2.Soit Xune variable al´eatoire exponentielle. Calculer la loi de la variable al´eatoirebXc, o`ubxc

´esigne la partie enti`ere dex.

Corrig

´e :

1.Si Xe?exponentielle de param`etrealorsP(X > t) =R1

texdx=et, et la propri´et´e d"absence de m ´emoire e?v´erifi´ee. SiX=0p.s. cette propri´et´e e?´egalemen v´erifi´ee. R ´eciproquement, siP(X > s) =0pour touts >0, alorsX=0p.s. On peut donc supposer qu"il

exi?es >0tel queP(X > s)>0. La propri´et´e d"absence de m´emoire implique alors queP(X > t)>0

pour toutt >0et que la fon?ionG:t7!log(P(X > t)) e?additive. De plus,G= log(1FX) e? continue `a droite, doncGe?lin´eaire (on aurait pu aussi invoquer la d´ecroissance entdeP(X > t). EtG0. Donc il exi?e0tel queG(t) =tpour toutt >0, et doncXe?exponentielle de param `etre.

2.On pose N=bXc. On a

P(N=k) =P(X2[k;k+1[) =Z

k+1 k exdx= (eke(k+1)) = (1e)ek; ce qui signifie queNsuit la loi g´eom´etrique de param`etree.2 - Fonctions caract

´eristiquesNotation.SiXe?une variable al´eatoire r´eelle, on noteraXsa fon?ion cara?´eri?ique, d´efinie par

X(t) =EheitXipourt2R.

Exercice 4.

1.C alculerles f on?ions g´en´eratrices des lois suivantes :

(a)

Bernoulli de par am

`etrep2[0;1]. (b)

Binomiale de par am

`etres (n;p), avecn2N;p2[0;1]. (c) G

´eom´etrique de param`etrep2]0;1[.

(d)

P oissonde par am

`etre >0.

2.C alculerles f on?ions cara?´eri?iques des lois suivantes :

(a)

Exponen tiellede par am

`etre >0. (b)

Unif ormesur [ 0;1].

Corrig

´e :

1.Soit s2[0;1]. On a

(a)G(s) =1p+ps, (b)G(s) = (1p+ps)n, (c)G(s) =1p1sp, (d)G(s) = exp((1s)).

2.Soit t2R. On a

(a)(t) =it, (b)(t) =exp(it)1it .Exercice 5.SoitXune variable al´eatoire r´eelle.

1.On suppose que Xadmet un moment d"ordren2N. Montrer queXe?de classeCnet que pour

tout entier1kn, on a

8t2R; (k)

X(t) =ikEhXkexp(itX)i:

En particulier :

(k)

X(0) =ikEhXki(1)

2.On suppose que Xe?2fois d´erivable en0. Montrer queXadmet un moment d"ordre2et que

E [X2]=(2) X(0).

Indication.On pourra consid´ererX(t)+X(t)2t

3.Soit k2entier. On suppose queXe?kfois d´erivable en0. Montrer queXadmet des moments

jusqu" `a l"ordre2bk=2c(icibxce?la partie enti`ere dex) donn´es par (1).

4.F airel" exercice8.

Corrig

´e :

1.C eciprovien timm ´ediatement du th´eor`eme de d´erivation sous le signe int´egral en utilisant la do-

minationikXkexp(itX) jXjk2L1pour1kn. 4

2.La fon?ionX´etantdeuxfoisd´erivableen0,laformuledeTaylor-Younggarantitund´eveloppement

limit

´e`a l"ordre2:

X(t) =1+0X(0)t+00X(0)t22

+o(t2):

On en d

´eduit que :

lim t!0

X(t)+X(t)2t

2=00(0):(2)

OrX(t)+X(t) =2Re(X(t)) =2E[cos(tX)]. Il s"ensuit par (2) que lim t!0E"1cos(tX)t 2# =12

00X(0):

1cos(tX)t

20. Le lemme de Fatou fournit donc :

E [X2]=E"

2liminft!0

1cos(tX)t

2!#

2liminft!0E"1cos(tX)t

2# =00X(0)<1:

La que?ion1. permet de conclure queE[X2]=(2)

X(0).

3.Raisonner par r ´ecurrence en adaptant la preuve de la que?ion pr´ec´edente.

4.L "exercice8montre qu"en g´en´eral il n"e?pas vrai queXadmet un moment d"ordre1lorsqueX

e?d´erivable en0.4- Compl´ements (hors TD)Exercice 7.SoitFla fon?ion de r´epartition d"une mesure de probabliti´etelle queF(x)2 f0;1gpour

toutx2D, o`uDe?un ensemble dense deR. Montrer quee?une mesure de Dirac.

Corrig

´e :

Par continuit

´e`a droite deFon aF(x)2 f0;1gpour toutt2R. On pose a= inffx2R:F(x) =1g: CommeF(x)!1quandx!+1on aa <+1. De mˆemea >1. Par continuit´e`a droite deF, on a

F(x) =?[a;+1[;et doncFe?la fon?ion de r´epartition dea.Exercice 8.SoitXune variable al´eatoire r´eelle de loiPX=P

k2Zakksym´etrique (c`adak=ak) et telle queP k0kak=1. Le moment d"ordre1deXe?-il fini? Trouver une suite (ak)k1telle queXsoit d

´erivable en0. Comparer avec l"exercice5.

Corrig

´e :

On calcule ais

´ementE[jXj]=2X

k>0ka k= +1. D"autre part :

X(t) =a0+21

X k=1a kcos(kt): 5

Choisissonsa0=a1=a1=0et pourk2:

a k=ak=ck

2lnk;o`uc=12

BBBBB@1

X k=21k 2lnk1

CCCCCA1

de sorte que :

01X(t)t

=2ct 1 X k=21k

2lnk(1cos(tk)):

On v

´erifie ensuite que cette quantit´e tend vers0lorsquet!0en d´ecomposant cette derni`ere somme

suivant quek1=touk <1=t. Tout d"abord : X k1=t1k

2lnk(1cos(tk))t

2tln(t)X k1=t1k

2 2tln(t)Z

b1=tc11x

2dx=2t(b1=tc1)ln(t)!t!00:

Ensuite, en utilisant l"in

´egalit´e1cos(x)x22

pourx2R: 1t X

2k<1=t1k

2lnk(1cos(tk))t

2k<1=t1ln(k)tln(2)+tZ

1=t

21ln(x)dx:

Une int

´egration par parties donne

Z y

21ln(x)dx="xln(x)#

y 2 +Z y

21(ln(x))2dx:

Mais lorsquex! 1,1=(lnx)2=o(1=ln(x)) et donc lorsquey! 1: Z y

21ln(x)dx="xln(x)#

y 2 +o Zy

21ln(x)dx!

de sorte que Z1=t

21ln(x)dxt!01tln(t)

Il s"ensuit que

tZ 1=t

21ln(x)dx!t!00:

Ceci ach

`eve de d´emontrer que (1X(t))=t!0lorsquet!0.Exercice 9.(Probl`eme des moments)On consid`ere la fon?ionf:R+!R:

f(x) = sin(2lnx)1x p2exp lnx22

Calculer

R R+xkf(x)dxpour toutk2N.?ue peut-on dire des v.a.XetYde densit´e respe?ives 1x p2exp lnx22 et (1+sin(2lnx))1x p2exp lnx22

Corrig

´e :

Soitn0. La fon?ionx7!xnsin(2ln(x))1x

p2expln(x)22 e?int´egrable surR+, et le changement de variableu= ln(x) aboutit`a I=Z 1 0 sin(2ln(x))1x p2exp ln(x)22 dx=Z +1 1 exp u22 +nu! sin(2u)1p2du: En remarquant queu2=2+nu=1=2(un=2)2+n2=2, le changement de variablev=un=2donne

I=Cste:Z

+1 1 sin(2v)exp v22 dv=0: Ainsi pour2[1;1] les moments des loisK(2+sin(2ln(x)))1x p2expln(x)22 avec K 1=Z 1 0 21x
p2exp ln(x)22 dx sontquotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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Corrig

´e0 - Petite question

1.C alculerla f on?ion cara?´eri?ique de la loi de probabilit´e de densit´e (1jxj)?jxj<1?

2.?uelle e?la fon?ion cara?´eri?ique de la loi de probabilit´e de densit´e (1cos(x))=(x2)?

Corrig

´e :

1.On cal cule,en in t´egrant par parties pourt,0:

2.D" apr`eslecours,sie?unemesuredeprobabilit´esdontlafon?ioncara?´eri?iquebe?int´egrable

´e e?donn´ee-p.p. par

On en d

´eduit que pour presque toutx2R:

2eitx:

Les deux membres

1.On suppose que X=Yp.s. Montrer queXetYont la mˆeme loi. Montrer que la r´eciproque e?

2.On suppose que XetYont la mˆeme loi.

ˆeme loi.

Mon trerque les v ariablesal

Corrig

´e :

1.Si X=Yp.s. alors pour toute fon?ion bor´eliennef:R!R+:

E(f(X)) =Z

Pour la deuxi

E(g(Y)) =Z

´eatoire`a densit´e).

2.(a) P ourtoute f on?ion bor´elienneg:R!R+, la fon?iongfe?bor´elienne. CommeXetYont

ˆeme loi, on a

E(gf(X)) =E(gf(Y));

´e (

1.Si Fe?continue et?ri?ement croissante, et siUe?une variable uniforme sur [0;1], quelle e?la

´eatoireF1(U)?

2.Dans le cas g ´en´eral on d´efinitF1, l"inverse continu`a droite deFpar,

1(u) = inffx2R:F(x)> ug:

3.Soit Uune variable al´eatoire de loi uniforme sur [0;1], etXla variable al´eatoire d´efinie parX=

Corrig

´e :

1.Soit t2R. On afF1(U)tg=fUF(t)g. Donc

P(F1(U)t) =P(UF(t)) =F(t):

2.Soit t2R. On afF1(U)tg=T

P(F1(U)t)

1CCCCCA= limn!1P

3.La f on?ion de r´epartition d"une variable exponentielle de param`etrepe?F(x) =1epxpour

1.On dit qu"une v ariableal ´eatoire r´eelle positive v´erifie la propri´et´e d"absence de m´emoire si pour

P(X > t+s) =P(X > t)P(X > s):

Trouver toutes les variables al

´emoire.

2.Soit Xune variable al´eatoire exponentielle. Calculer la loi de la variable al´eatoirebXc, o`ubxc

´esigne la partie enti`ere dex.

Corrig

´e :

1.Si Xe?exponentielle de param`etrealorsP(X > t) =R1

2.On pose N=bXc. On a

P(N=k) =P(X2[k;k+1[) =Z

X(t) =EheitXipourt2R.

Exercice 4.

1.C alculerles f on?ions g´en´eratrices des lois suivantes :

Bernoulli de par am

Binomiale de par am

´eom´etrique de param`etrep2]0;1[.

P oissonde par am

2.C alculerles f on?ions cara?´eri?iques des lois suivantes :

Exponen tiellede par am

Unif ormesur [ 0;1].

Corrig

´e :

1.Soit s2[0;1]. On a

2.Soit t2R. On a

1.On suppose que Xadmet un moment d"ordren2N. Montrer queXe?de classeCnet que pour

8t2R; (k)

X(t) =ikEhXkexp(itX)i:

En particulier :

X(0) =ikEhXki(1)

2.On suppose que Xe?2fois d´erivable en0. Montrer queXadmet un moment d"ordre2et que

Indication.On pourra consid´ererX(t)+X(t)2t

3.Soit k2entier. On suppose queXe?kfois d´erivable en0. Montrer queXadmet des moments

4.F airel" exercice8.

Corrig

´e :

1.C eciprovien timm ´ediatement du th´eor`eme de d´erivation sous le signe int´egral en utilisant la do-

2.La fon?ionX´etantdeuxfoisd´erivableen0,laformuledeTaylor-Younggarantitund´eveloppement