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Universite de Reims Champagne Ardenne

UFR Sciences Exactes et NaturellesAnnee universitaire 2013-2014

SEN 0505 - Licence 3

Chapitre 3 : Les triangles

1 Quelques denitions

Denition 1Un triangle est un polygone ayant trois c^otes, donc trois sommets et trois angles.

Denition 2Un triangleABCest dit :

{IsoceleenAsiAB=AC. {EquilateralsiAB=AC=BC. {RectangleenAsi[BACest un angle droit; le c^ote[BC]est l'hypotenuse de ce triangle. {IsoceleetrectangleenAs'il est isocele enAet rectangle enA. Proposition 3La somme des mesures des angles d'un triangle est egale a180ouradians. Proposition 4Un triangleABCest isocele enAsi seulement si les angles des sommetsBetC ont m^eme mesure. Proposition 5Un triangle est equilateral si et seulement si les trois angles ont m^eme mesure, soit 60
ou3 radians. Proposition 6Dans un triangle rectangle, le cercle dont un diametre est l'hypotenuse estcircons- crita ce triangle : il passe par les trois sommets de ce triangle. Proposition 7Dans un triangleABCrectangle et isocele enA, la mesure des angles de sommets

BetCest egale a45ou4

radians.

2 La droite des milieux, le theoreme de Thales : une premiere

approche

2.1 Droites des milieux

C'est un cas particulier du theoreme de Thales.

Theoreme 8La droite qui joint les milieux de deux des c^otes d'un triangle est parallele au troisieme

c^ote. Reciproquement, si une droite est parallele a un c^ote d'un triangle et passe par le milieu d'un second c^ote, alors elle coupe le troisieme c^ote en son milieu.

2.2 Le theoreme de Thales dans le triangle

Theoreme 9Partie directe :

SoitABCun triangle,Dun point de(AB)etEun point de(AC); si les droites(BC)et(DE) sont paralleles, alors, on a les egalites : ADAB =AEAC =DEBC

Reciproque :

SoitABCun triangle,Dun point de(AB)etEun point de(AC)tels queA;B;DetA;C;E soient dans le m^eme ordre. Alors si ADAB =AEAC , les droites(BC)et(DE)sont paralleles et de plus, on a ADAB =AEAC =DEBC

3 Droites remarquables dans un triangle

Denition 10{ On appellemediatricesd'un triangle les mediatrices de chacun des c^otes. { On appellehauteursd'un triangle les droites issues d'un sommet et perpendiculaires au c^ote oppose. L'aired'un triangle est egale au produit des longueurs de la hauteur issue d'un sommet et du c^ote oppose. { On appellebissectrice interieures, oubissectrices, d'un triangle les bissectrices interieures de chacun des trois angles de ce triangle. Lesbissectrices exterieuresde ces angles sont les bissectrices exterieures du triangle. { On appellemedianed'un triangle les droites reliant chaque sommet au milieu du c^ote oppose. Proposition 11{ Les troismediatricesd'un triangle sont concourantes en un point : le centre du cercle circonscrita ce triangle. { Trois points du plannon alignes, sont toujours sur un m^eme cercle : ils sont ditscocycliques. Ceci generalise le cas du triangle rectangle : tout triangle admet un cercle circonscrit. { Les troishauteursd'un triangle sont concourantes en un point, l'orthocentrede ce triangle. { Les troisbissectrices interieuresd'un triangle sont concourantes en un point, lecentre du cercle inscritdans ce triangle : ce cercle est tangent interieurement a chaque c^ote du triangle.

Tout triangle admet donc un cercle inscrit.

{ Les troismedianesd'un triangle sont concourantes en un point, lecentre de gravitede ce triangle, soit encore l'isobarycentrede ses trois sommets. De plus on a les relations suivantes : SiABCest un triangle,A0;B0etC0sont les milieux respectifs des c^otes[BC];[AC]et[AB]et

Gest le centre de gravite deABC:

AG=23 !AA0;!BG=23 !BB0;!CG=23 !CC0;!GA+!GB+!GC=!0: Proposition 12{ Dans un triangle isocele enA, la hauteur, la mediane et la bissectrice interieure issue deAconcident avec la mediatrice du c^ote oppose. { Dans un triangle equilateral, les hauteurs sont egalement medianes, mediatrices et bissectrices interieures. { Si dans un triangle deux des quatre droites remarquables issues d'un m^eme sommet concident, ce triangle est isocele en ce sommet.

4 Retour sur le triangle rectangle

Theoreme 13(de Pythagore) Un triangleABCest rectangle enAsi et seulement siAB2+AC2= BC 2. Proposition 14Un triangleABCest rectangle enAsi et seulement si le cercle de diametre[BC] est circonscrit aABC. Proposition 15SoitABCun triangle rectangle enA, etHle projete orthogonal deAsur(BC).

Alors, on a les relations suivantes :

AB

2=!BH!BC; AC2=!CH!CB HA2=!HB!HC:

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