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Fascicule d"exercices

d"électromagnétisme John Martin, Dorian Baguette, Alexandre Cesa, Jérôme DenisI.P.N.A.S., bât. B15

Tél. : 04/366 28 64

email : jmartin@uliege.be

2019-2020

Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 2/60 I

Calcul vectoriel

Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 3/60

Calcul vectoriel

Rappels sur les intégrales curviligne et superficielle Une courbeCest paramétrée par un cheminr(t) = (x(t);y(t);z(t)). L"intégrale curviligne (ou circulation) d"un champ vectorielAle long d"une courbe orientéeC=fr(t) :t2[tA;tB]gest notée C

Ad`et est par définitionégale à

tB t

AA(r(t))drdt

dt Une surfaceSest paramétrée par une couverture(r(u;v);K)où r(u;v) = (x(u;v);y(u;v);z(u;v))et(u;v)2K= [umin;umax][vmin;vmax]. L"intégrale superficielle (ou flux) d"un champ vectorielAsur (au travers de) la surface orientéeSest notée C

AndSet est par définitionégale à

A(r(u;v))(@ur@vr)dudv

Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 4/60

Calcul vectoriel

Rappels de calcul intégral

Quelques primitives à connaître...

1x dx= ln(x)(1)

11 +x2dx= arctan(x)(2)

x(1 +x2)3=2dx=1p1 +x2(3)

1p1 +x2dx= arcsinh(x)(4)

xp1 +x2dx=p1 +x2(5)

1(1 +x2)3=2dx=xp1 +x2(6)

Changement de variable régulierx=x(y)

b a f(x)dx= b0 a

0f(x(y))dxdy

(y)dy

aveca0= limx!ay(x)etb0= limx!by(x)Remarque :Toutes les primitives sont définies à une constante additive près.

arcsinh(x) = ln(x+p1 +x2). Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 5/60

Calcul vectoriel

Théorèmes de Gauss et de Stokes

Formule de Gauss (du flux ou d"Ostrogradsky)

Pour tout volume donnéVdont la frontière est une surfaceSrégulière, c"est-à-dire admettant une normale extérieurenpresque partout, on a S AndS= V (rA)dV

Formule de Stokes(-Ampère)

Pourvu queAetr Asoient continus dans un domaine contenant la surfaceS ouverte, limitée par le contourC, on a C Ad`= S (r A)ndS avec les règles de signes habituelles concernantnet le sens de parcours deC. Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 6/60

Calcul vectoriel

Scalaire, pseudoscalaire, vecteurs polaire et axial C1. Démontrez que le produit scalaire entre deux vecteurs polaires (resp. axiaux) est un scalaire (qui ne change donc pas de signe sous l"action d"une réflexion). C2. Démontrez que le produit vectoriel entre deux vecteurs polaires définit un vecteur axial. C3. Démontrez que le produit mixte entre trois vecteurs polaires est un pseudosca- laire. C4. Justifiez le fait que la position, la vitesse et la quantité de mouvement d"une particule sont des vecteurs polaires, tandis que le moment cinétique est un vecteur axial. C5. Démontrez que le produit scalaire entre un vecteur polaire et un vecteur axial définit un pseudoscalaire. C6. Démontrez que le produit vectoriel entre un vecteur polaire et un vecteur axial définit un vecteur polaire. Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 7/60

Calcul vectoriel

Dérivées de champs scalaires et vectoriels

C7. Calculez la dérivée du champ scalaireV(r) =xe(y2+x2)dans les directions n=1p3 (1;1;1)etn0= cos'ex+ sin'ey. C8. Dans une région de l"espace règne le potentiel électrostatique

V(x;y) = 10(2xy3x24y218x+ 28y+ 12):

Déterminez la position et la hauteur du maximum de potentiel. Déterminez ensuite la direction et le module de la plus grande pente au point(1;1). C9 . Effectuez le développement en série dejrr0j1aux alentours der0= 0 jusqu"à l"ordre 2 inclus. Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 8/60

Calcul vectoriel

Divergence et rotationnel

C10. Montrez que la divergence et le rotationnel du champA=r=r3sont nuls

8r6= 0mais que le flux au travers d"une surface sphérique de rayonRentourant

l"origine est non nul.Remarque : le champ coulombien en est un cas particulier. Formellement, on obtient le même résultat par application de la formule de Gauss avec rA= 4(r). C11. Montrez que le champ inhomogèneA= (x;y;0)est simultanément indiver- gentiel et irrotationnel.

C12. Montrez que le champ

A=e' =yx

2+y2;xx

2+y2;0

est simultanément indivergentiel et irrotationnel86= 0, mais que la circulation le long d"une boucle entourant l"axeezest non nulle. Calculez celle-ci pour un tour complet dans le sens trigonométrique autour deez.

Solution:

u CAd`= 2.Remarque : Formellement, on obtient le même résultat par application de la formule de Stokes avecr A=

2()(')ez== 2(x)(y)ez.

Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 9/60

Calcul vectoriel

Intégration

C13. Calculez les intégrales (poura >0)

I 1= R 0xpx

2+a2dx

I 2= 1 01x

2+a2dx

I 3= R 1 ln(x)dx

Solution:I1=pR

2+a2a,I2==(2a)etI3=Rln(R)R+ 1.

C14. Calculez l"intégrale (poura >0)

I= R

3(x0)(y0a)[0;R](z0)p(ax0)2+ (ay0)2+ (z0)2dV0:

Solution:I= arcsinh(R=a).

Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 10/60

Calcul vectoriel

Intégrales curvilignes et surfaciques

C15. Calculez l"intégrale volumique

A= R

3v(r)dV;

où le champ vectorielv(r)exprimé en coordonnées sphériques est donné par v(r) = sin(2)(rR)er:

Solution:A=2R2ez=2.

C16. Calculez la circulation du champ vectorielA=xy2ex+ 2ey+xezle long de la courbeCparamétrée par le cheminr(t) = (t;=t;)pourt: 1!2, où ;2R.

Solution:

Ad`=4ln2

C17. Calculez la circulation du champ vectorielA(r) =r=r3le long de la courbe

C=r(') =1 +cos'2

(cos'ex+ sin'ey) :'2[0;2].

Solution:

uA(r)d`= 0: Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 11/60

Calcul vectoriel

Intégrales curvilignes et surfaciques

C18. Soit le champ de forceF=yexxey+ezet une courbeCparamétrée par le cheminr() = (ac+ccos)ex+ (b+csin)ey+c2ezpour: 0!2 oùa;b;c2R. Quelle est la forme de cette courbe? Montrez que

CFd`= 0.

Ce résultat implique-t-il queFest un champ de force conservatif?

Solution:

Fd`= 0. Non

C19. Montrez que l"ellipse d"équationx2=a2+y2=b2= 1peut être paramétrée par le cheminr(t) = (asint;bcost); t2[0;2]: Soit le champ vectorielF=y(4x2+y2)ex+x(2x2+ 3y2)ey. Calculez sa circulation le long de l"ellipse parcourue dans le sens trigonométrique (t: 0!

2). Si l"ellipse est parcourue dans le sens horloger (t: 2!0), que vaut alors

la circulation?

Solution:12

ba3,12 ba3 C20. Vérifiez la validité de la formule de Gauss en calculant i) le flux du champ vectorielF(r) =r=(r2+a2)3=2au travers de la surface définie par l"équation jrj=p3aet ii) l"intégrale volumique de la divergence deF(r)sur le volume jrj6p3a.

Solution: On obtient

3p32dans les deux cas.

Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 12/60 II

Électrostatique

Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 13/60

Électrostatique

Rappels d"électrostatique

Force de Coulomb :F(r) =qE(r)avecE(r) =rV(r)

Travail de la force de Coulomb :WCoulomb(rA!rB) =

r0=rB r

0=rAF(r0)d`0

Potentiel et champ électrique :ParticulesponctuellesDistributiondecharges

V(r) =140N

X i=1q ijrrijV(r) =140

V(r0)jrr0jdV0

E(r) =140N

X i=1q irrijrrij3E(r) =140 V (r0)rr0jrr0j3dV0

Variation de potentiel électrique :

V(r1)V(r2) =

r0=r1 r

0=r2E(r0)d`0=WCoulomb;q=1C(r2r1)

Énergie potentielle électrique :U(r) =qV(r)

Loi de Gauss et équation de Poisson :rE(r) =(r)=0,V(r) =(r)=0 Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 14/60

Électrostatique

Rappels d"électrostatique

Énergie électrostatique :U=X

paires140q iqjjrirjj 12 V (r)V(r)dV=02 R

3jE(r)j2dV

Dipôle électrique ponctuel :V(r) =140prr

3,E(r) =140

3+ 3prr

Moment dipolaire électrique :p=

V (r)rdV

E(r) =140

C (r0)rr0jrr0j3d`0(r)densité linéique de charge au pointr(enCm1)

E(r) =140

S (r0)rr0jrr0j3dS0(r)densité surfacique de charge au pointr(enCm2)

E(r) =140

V (r0)rr0jrr0j3dV0(r)densité volumique de charge au pointr(enCm3) Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 15/60

Électrostatique

Loi de Coulomb

E1. Une barre de longueurLporte une chargeQrépartie uniformément sur toute sa longueur. Calculez la force exercée par cette barre chargée sur une charge ponctuelleqplacée à une distancede la barre dans le plan de symétrie.

Calculez le potentiel électrique dans ce plan.

Solution:F=140Qq

2+ (L=2)2e

V=Q20LarcshL2

E2. Un disque de rayonRsitué dans le planx-yporte une chargeQrépartie uniformément sur toute sa surface. Calculez la force exercée par ce disque chargé sur une charge ponctuelleqplacée enr= (0;0;z)sur l"axe de symétrie du disque (Oz). Calculez le potentiel électrique sur cet axe.

Solution:F=Qq20R2

zjzjzpR 2+z2 e z

V=Q20R2

pR 2+z2z Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 16/60

Électrostatique

Loi de Coulomb

E3. En coordonnées sphériques, un champ vectorielEa pour expressionE(r) = (er+cos'sine')=r. Ce champ peut-il correspondre au champ électrique généré par une distribution de charges statiques? Si oui, quelle est cette distribution?

Solution: Oui.(r) =0r

1sin'sin

2 E4. Une sphère de rayonR, centrée sur l"origine, a sa moitié supérieure (z >0) char- gée uniformément en surface avec une densité surfacique de charge. Calculez la différence de potentiel électrique entre le pointPde coordonnées cartésiennes (0;0;R)et l"origine.

Solution:V(P)V(O) =R20(p21)

Exercices d"électromagnétisme 2019-2020 17/60

Électrostatique

quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13

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Fascicule d"exercices

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2019-2020

Calcul vectoriel

Calcul vectoriel

Ad`et est par définitionégale à

AA(r(t))drdt

AndSet est par définitionégale à

A(r(u;v))(@ur@vr)dudv

Calcul vectoriel

Rappels de calcul intégral

Quelques primitives à connaître...

11 +x2dx= arctan(x)(2)

1p1 +x2dx= arcsinh(x)(4)

1(1 +x2)3=2dx=xp1 +x2(6)

Changement de variable régulierx=x(y)

0f(x(y))dxdy

Calcul vectoriel

Théorèmes de Gauss et de Stokes

Formule de Gauss (du flux ou d"Ostrogradsky)

Formule de Stokes(-Ampère)

Calcul vectoriel

Calcul vectoriel

Dérivées de champs scalaires et vectoriels

V(x;y) = 10(2xy3x24y218x+ 28y+ 12):

Calcul vectoriel

Divergence et rotationnel

8r6= 0mais que le flux au travers d"une surface sphérique de rayonRentourant

C12. Montrez que le champ

2+y2;xx

2+y2;0

Solution:

2()(')ez== 2(x)(y)ez.

Calcul vectoriel

Intégration

C13. Calculez les intégrales (poura >0)

2+a2dx

2+a2dx

Solution:I1=pR

2+a2a,I2==(2a)etI3=Rln(R)R+ 1.

C14. Calculez l"intégrale (poura >0)

3(x0)(y0a)[0;R](z0)p(ax0)2+ (ay0)2+ (z0)2dV0:

Solution:I= arcsinh(R=a).

Calcul vectoriel

Intégrales curvilignes et surfaciques

C15. Calculez l"intégrale volumique

3v(r)dV;

Solution:A=2R2ez=2.

Solution:

Ad`=4ln2

C=r(') =1 +cos'2

Solution:

Calcul vectoriel

Intégrales curvilignes et surfaciques

CFd`= 0.

Solution:

Fd`= 0. Non

2). Si l"ellipse est parcourue dans le sens horloger (t: 2!0), que vaut alors

Solution:12

Solution: On obtient

3p32dans les deux cas.

Électrostatique

Électrostatique

Rappels d"électrostatique

Force de Coulomb :F(r) =qE(r)avecE(r) =rV(r)

Travail de la force de Coulomb :WCoulomb(rA!rB) =

0=rAF(r0)d`0

V(r) =140N

V(r0)jrr0jdV0

E(r) =140N

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V(r1)V(r2) =

0=r2E(r0)d`0=WCoulomb;q=1C(r2r1)

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Électrostatique

Rappels d"électrostatique

Énergie électrostatique :U=X

3jE(r)j2dV

Dipôle électrique ponctuel :V(r) =140prr