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E4 - R´eseaux lin´eaires en r´egimetransitoire / r´egime permanent continu
I D´efinitions
I.1 R´egime libre, r´egime transitoire et r´egime continu ♦D´efinition :On appelle •r´eponse libreour´egime libred"un circuit, l"´evolution de celui-ci en l"absence de tout g´en´erateur. •Le r´egime du circuit est ditcontinu(oustationnaire) lorsque toutes les grandeurs ´electriques du circuit (intensit´es, tensions) sont des constantes (du temps). •Entre le moment o`u toutes les sources sont ´eteintes et celui o`u le r´egime continu est ´etabli, on a unr´egime transitoire.•Le r´eseau ´etant lin´eaire, l"´evolution de toute grandeur ´electrique (intensit´e, tension,
charge d"un condensateur...) est d´ecrite par une ´equation diff´erentielle lin´eaire `a coefficients constants de la forme : D ndnx dtn+Dn-1dn-1xdtn-1+...+D1dxdt+D0x=f(t) o`u l"ordrende l"´equation diff´erentielle d´efinitl"ordre du circuit. Nous ´etudierons les circuit d"ordre 1 et d"ordre 2. Ex :Circuit du 1erordre r´egit par l"´equation : RC du dt+u=e(t) On montre, en math´ematiques, que la solution g´en´erale d"une telle ´equation se met toujours sous la forme : i e(t)u CqR u(t) =uG???? r´egime libre (transitoire)+uP???? r´egime forc´e impos´e par la source •O`u :-uGest la solution g´en´erale de l"´equation homog`ene (i.e.´equation sans second membre) : elle
correspond au r´egime libre du circuit (absence de source detension ou de courant).-uPest une solution particuli`ere de l"´equation avec second membre : elle correspond au r´egime
forc´e impos´e par la source. •Tant que|uG(t)|≂|uP|, on est dans le domaine du r´egime transitoire. Lorsque|uG|?|uP|, le r´egime forc´e est ´etabli (ici, r´egime continu). I.2´Echelon de tension
Un g´en´erateur d´elivre un ´echelon de tension lorsque la tension `a ses bornes a la forme suivante :
e(t) E t 00 ?pourt <0 :e(t) = 0 pourt >0 :e(t) =E0Une telle tension provoque dans un circuit l"apparition d"un r´egime transitoire puis d"un r´egime
permanent continu. Cette ´evolution du circuit porte le nomder´eponse `a un ´echelon de tension
our´eponse indicielle.E4II. Circuit RL s´erie2008-2009
II Circuit RL s´erie
II.1´Etude th´eorique de l"´evolution du courant :Nous allons ´etudier la r´eponse indicielle d"un circuit RLs´erie, puis son r´egime libre.
a Montage : Dans le circuit ci-contre, la loi des mailles s"´ecrit : -e+Ri+Ldi dt= 0. Soit :didt+RLi=e(t)L(E) C"est une ´equation diff´erentielle lin´eaire du 1 erordre `a coef- ficients constants et avec 2 ndmembre. i eL R ♦D´efinition :L"homog´en´eit´e de la relation imposeτ=LRhomog`ene `a un temps : c"est letemps caract´eristique / constante de tempsdu circuit RL. b´Etablissement du courant : •e(t) est un ´echelon de tension, soit?t <0 :e(t) = 0 t≥0 :e(t) =E0 At≥0, l"´equation diff´erentielle s"´ecrit :di dt+RLi=E0L(1) e(t) E t 00 →La solution de (1) s"´ecrit :i=iG+iP.Rappel :
dx dt+kx= 0?xG=Ae-ktavecA?R.Ici :iG=Ae-R
Lt=Aexp?
-tτ?etiP=cte(puisque le second membre de (1) est constant)DonciPdoit v´erifierdiP
dt+RLiP=E0L, d"o`uiP=E0R. Finalement :i=E0R+Ae-R Lt.•Pour d´eterminer la constante d"int´egrationA,on a besoin d"une condition initiale(C.I.),
c"est-`a-dire la valeur de l"intensit´ei`a une date donn´eet≥0. On note la date" Juste avantt= 0»comme suit :t= 0-. On note la date" Juste aprèst= 0»comme suit :t= 0+. On suppose, par exemple, qu"ent= 0-il n"y a aucun courant dans le circuit. La condition initiale s"´ecrit donc :i(0-) =i0= 0.•Or, on sait quele courant traversant une bobine est une fonction continue du temps(ÜCf Cours
E2-I.2)).→D"o`u :i(0+) =i(0-) =i0= 0, par continuit´e de l"intensit´ei.On a donc :i(0+) =?
i(0-) =i0= 0 i(t= 0+) =E0R+Ae-R
L0?A=-E0R.
Conclusion :i=E0
R(1-e-R
Lt)Lorsquet→ ∞,i→E0R=I0:
ler´egime transitoires"efface et laisse place aur´egime permanent continu.Régime
forcé continuRégime transitoire ti(t) ~5tt0 E0 RI0=2http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/qadripcsi@aol.com
2008-2009II. Circuit RL s´erieE4
•Par suite :didt=E0Le-RLt, soit?didt?
t=0=E0L Donc, l"´equation de la tangente `a la courbe enO(0,0) est :y=E0 Lt.On ay=I0=E0
Rpourt=LE0E
0R=LR=τ.
zPropri´et´e :On se rend compte queτ=LRdonne unordre de grandeur de la dur´ee du r´egime transitoire.Ordre de grandeur :?L?10-3H
R?103Ω?τ?10-6s...c"est tr`es faible : le r´egime transi- toire ?s"éteint » rapidement. • Représentation deuLtension aux bornes de la bobine :uL=Ldi dt=LE0Le-R Lt, soit :uL=E0e-RLt=E0exp?
-tτ?.Pendant le régime transitoire, la bobine
cherche à 'contrer" la tension du générateur en imposant une tension de sens opposé (loi deLenz).
En régime établi (régime permanent continu), uL= 0.On retrouve qu"en régime continu la
bobine se comporte comme un fil conducteur. tu (t) L 0E 0Régime
transitoireRégime forcé continu ~5tt c Extinction de la source (´etude du r´egime libre) : e(t)E t00Pour simplifier les calculs, on réinitialise le temps :?pourt <0:e(t) =E0
pourt≥:e(t) = 0 • Le montage se ramène alors à→La loi des mailles s"écrit, pourt≥0:Ldi
dt+Ri= 0(E). C"est une équation différentielle linéaire du 1 erordre à coefficients constants et sans 2 ndmembre.iL R • La solution s"écrit :i=Be-RLtavecB?R. De plus, par continuité de l"intensité traversant la bobine, on a : i(0+) =? i(0-) =I0=E0 Ri(t= 0+) =B?d"où :B=E0R. Finalement :i(t) =E0Re-R Lt. Cl :donc la tension aux bornes de la bobine est :uL=Ldi dt=LE0R? -RLe-R Lt? soit :uL=-E0e-R Lt. On se rend compte que lerégime libreest unrégime transitoirede durée de l"ordre du temps caractéristique du circuit RL sérieτ=L R: au bout de " quelques »τ,i→0etuL→0. qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/3E4II. Circuit RL s´erie2008-2009
ti(t) I0 -Eu L 0 tt tII.2´Etude exp´erimentale
• Le GBF délivre un signal " créneaux » de périodeT≈20τ. te(t) E t 01020 30 40
T=20t • Courbes observées :Rq :On retrouve
que l"intensité traver- sant une bobine est une fonction continue du temps, ce qui n"est pas le cas de la tensionà ses bornes.
ti(t) E uL 0t I0 tt1020 30 40
10 203040
-E 0 Pour pouvoir observer à la foisuR=Ri(afin d"observer une grandeur propor- tionnelle ài) etuLen même temps, il faut placer la 'masse" de l"oscilloscope (borne commune aux voies 1 et 2) entre la résistanceRet la bobineL. Or la masse d"un oscilloscope est une masse 'carcasse" reliée à laTERRE. Ce qui est le cas également de la masse de la plupart des GBF! Si on ne fait pas attention on risque donc de court-circuiter la bobine (ou la résistance), provoquant une forte intensité et la destruction du composant.