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Coursd'électroci nétique

EC3-CircuitRLCsérie

Tabledesmatièr es

1In troduction3

2Équ ationdi

érentielle3

3Ét udedurégimelibre 3

3.1Défin itionsdesvariablesréduites..........................4

3.1.1Pulsati onpropre

3.1.2Facteur d'amortissement

3.1.3Coe

cientd'amortisse ment

3.1.4Facteur dequalité

3.2Lesdi

3.2.1Régime apériodique:!

>0

3.2.2Régimec ritique:!

=0

3.2.3Régimep seudo-périodiqu e:!

<0

4Ci rcuitRLCsérieetéchelon detension 11

5As pecténergétique:régim elibre11

1

1In troduction

Ala finduc hapitre précéd ent,nousavonsétudiéles régimestransitoiresdescircuitsdu premierordreRCetRLdonton arésoluleséq uationsd i

érentiellespourtrouverlesexpression s

destension setintensités. Nousallons iciétudierdan slemêmee spritlerégimetransitoir educircui tRLCsér iequi commenousallons levoirdonne naissanceàdes oscillat ionsélectr iques. Leci rcuitRLCétantdudeuxièm eordre ,ceseraaussil ecasdes onéquationdi

érentielle.

Elleferaalorsap paraîtrelanoti onderégimes :selonl'amortissementdu circui tpare etJoule , lerégim etransitoireestd i

érent.

2Éq uationdi

érentielle

Onétud ielecircuitRLsoumi sàunet ensione(t),on s'intéresseàlatensionauxbornesducond ens ateur etàl'i nte nsitéquiparcourtlecircuit.Labobinees t idéale.Onappliquela loidesm ailles: e=Ri+L di dt +u(1)

Commei=C

du dt ,ona : LC d 2 u dt 2 +RC du dt +u=e(2)

Cetteéquationdi

érentielleestuneéquationduse-

condordreà coe cientconstant,le circuitRLCsérie estappelé circuitdusecondor dre.

Figure1-C irc uitRLC

3Ét udedurégimel ibre

Nousallon snousintéress erdansunpr emiertempsaucomportementducircu itlorsque

leconde nsateuràétépréalablementchargésousl ate nsionEdugén érateur,etlorsqu'ilse

déchargedanslabobinee tlarésist ance.

L'équationdi

érentiellecorrespondantàcerégimel ibre(appeléaussirégimepropre)estl a suivante: LC d 2 u dt 2 +RC du dt +u=0(3) Oncher chedoncunesolutiondecet teéquationq uiestuneé quationhomogène.Cette solutionestdutypeu=Ae rt avecAunecons tant e. Sioninj ect ecettesolutiondans(3)etquel 'onélimine lasolution u=0quin'apasd esens physique,onobtient: LCr 2 u+RCru+u=0!"r 2 R L r+ 1 LC =0(4) 2 ElectrocinétiqueEC3-CircuitRLCsérie3.1Définition sdesvariablesréduites Cettedernièreé quationestappeléepolynômecarac téristiquedel'équ ationdi

érentielle(3).

Trouverlessolutionsde cepolynôme permetdetrouverlessolu tionsde l'équat iondi

érentielle.

Pouréclairc irlarésolution,nousallonsuti liserd esvariablesdites"réduites":

3.1Définitio nsdesvariablesréduites

L'intérêtdesvariablesréduit esestd'u tiliserdesvariablesdem êmedimensiondansla résolutiondel'équation.Onpe utdonc appliquersarésolutiondansn'imp orteque lsystème d'unité.

3.1.1Pulsat ionpropre

Celle-cicorrespondàlapuls ationdesoscillationsenl'absen ced e"frott ements"(amortisse- mentpare etJoule ici): 0 1 LC (5) 0 :pulsationpropreexpriméee nrad.s "1 ous "1

L:inductancedelabobineexprimée enHenr y(H)

C:capacitéducondensateur exprim éeenFarad(F) Ene et,ladéfi nitiond uradianditquedansuncercle, l'anglee nradianestler apportdela longueurdel'arcquedéc ritl'an gleparlerayon. Ils'agitdur apportdedeuxlongueurs .

3.1.2Facteur d'amortissement

Ilvaêt reliéà larésistance globaleducir cui t.Plus cefacteurseragrand,plusl'amorti ssement

seraélevé : R 2L (6) ":facteurd'amortisseme ntexpriméens "1

L:inductancedelabobineexprimée enHenry (H)

R:résistancetotaleducircuitexpr iméeenOhm(")

3.1.3Coe

cientd'amortissem ent Ilpeut êtreintéress antdetravaill eravecunegrandeursansdimension.On définit alorsle coe cientd'amortissem entpar: 0 (7) Cecoe cientpeutêtreex priméeenfonc tiondesvaleurs descomposantsducircuit: R 2 C L (8) 3

érentsrégimes

3.1.4Facteur dequalité

Pourcaracté riseruncircuit,onutilisesouvent uneautr egrandeurappeléefacteurdequ alit é. Elleestreli éeàtoutesl esgrandeursdontonvien tde parler: Q= 1 2# L 0 R 1 RC 0 (9) Enutil isantcesvariablesréduites, onpeutdonc écrirelepolynômecaractér istiquedela manièresuivante: r 2 +2"r+! 2 0 =0our 2 +2#! 0 r+! 2 0 =0(10)

3.2Lesdi

érentsrégimes

Lepol ynômecaractéristique acceptantplusieurssolutionsselonlavaleurdes ondiscriminant, ilenes tdemê mepourl'éq uationdi

érentielle.

Vulafor medupol ynôme,nousallon sutili serlediscriminantrédu it.

Rappelmathématique

Lorsqu'uneéquationdusecondde gréestdelaformeax 2 +2b x+c=0,on peu tutiliserle discriminantréduitpourentrouverless olutions.

Cedisc riminantréduitapourexpression:!

=b !2 $ac.

Onobtie ntalorslessolutions:

x 1 $b a x 2 $b a si! !0(11) x 1 $b +j a x 2 $b $j a si! <0(12) Leje stl anotationcomp lexeut iliséeenphysiq uepournepasconfondrelenom brecomplexe classiqueavecl'intensité ducourant.

Ici,lediscr iminant réduitapourexpression:

2 2 0 ou! 2 0 2 $1)(13)

Selonsonsigneon distin guetroisrégimes :

3.2.1Régimeap ériodique:!

>0 Si! >0alors">! 0 ,#>1!"R>2 L C !"Q< 1 2

Racinesdupolynôme

Lepol ynômeadmetdeuxracines négatives,ona:

r 1 2 2 0 0 0 2 $1(14) r 2 2 2 0 0 0 2 $1(15) 4

érentsrégimes

Solutiondel'équationdi

érentielle

Lasol utiondel'équationdi

érentielle(3)s' écritdonc:

u(t)=A 1 e r 1 t +A 2 e r 2 t (16) Lesracin esétanttoutesdeuxné gatives,ons'ass urequelasolutionu (t)netendpas versl'infini, celan'auraitpas designificationphysiq ue.

Déterminationdesconstantes

Onpeut utiliserlesc onditionsinitialespourexpli citerles constantesA 1 etA 2 .C' estparce quelecirc uitest dudeuxièmeordrequ'exi stentcesd euxcon stantesetqu'ilfautdeuxcond itions initialespourlesdéterminer . Lacon tinuitédelatensionauxbornesdu conden sateuri mpliquequeu(t=0)= E. Lacon tinuitédel'intensitédanslab obineim pliquequei(t=0)= 0. Onobtie ntalorsdeuxéquationsàd euxinconn uesquinousper mettentdedéterminerA 1 etA 2 u(t=0)= A 1 +A 2 =E(17) i(t=0)= r 1 A 1 +r 2 A 2 =0!"A 2 r 1 A 1 r 2 (18)

Onrem placecetteexpressiondeA

2 dans(17): A 1 r 1 A 1 r 2 =E(19) !"A 1 1$ r 1 r 2 =E(20) !"A 1 r 2 E r 2 $r 1 (21)

Onremp lacecetteexpressiondeA

1 dansl'exp ressiondeA 2 de(18): A 2 $r 1 E r 2 $r 1 (22) Expressionetalluredelatens ionauxbor nesducondensateur

Finalement:

u(t)= r 2 E r 2 $r 1 e r 1 t r 1 E r 2 $r 1 e r 2 t (23)

Lorsque#>1!"Q<

1 2 ,il n'yapas d'oscillati ons

électriquecarl'amortissementestt ropfort.

Onremar quequ'àt=0,lapentedeu (t)estnulle:

ene et,i(t=0)= C du dt =0.quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22