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DERNIÈRE IMPRESSION LE18 mars 2014 à 14:21

Intégration et primitives

Table des matières

1 Notion d"intégrale2

1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Exemple de calcul d"intégrale : la quadrature de la parabole. . . . 3

1.3 Intégrale d"une fonction continue positive. . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Définition cinématique de l"intégrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Primitive6

2.1 Théorème fondamental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Primitive vérifiant une condition initiale. . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Existence de primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5 Primitive des fonctions élémentaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.6 Règles d"intégrations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.7 Exemples de calcul de primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Intégrale d"une fonction continue11

3.1 Calcul à partir d"une primitive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 Intégrale et aire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3 Propriétés algébriques de l"intégrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.4 Intégrales et inégalités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.5 Valeur moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Calcul du volume d"un solide15

4.1 Présentation d"une méthode de calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.2 Calcul du volume d"une sphère. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.3 Volume d"un cône. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

PAULMILAN1 TERMINALES

1 NOTION D"INTÉGRALE

1 Notion d"intégrale

Le but de l"intégration est de calculer la surface délimitée par une courbe et l"axe des abscisses.

1.1 Définition

Définition 1 :Soitfune fonctioncontinue et positivesur un intervalle [a;b].

SoitCfsa courbe représentative.

Le plan est muni d"un repère orthogonal(O,I,J).

On appelle

•Unité d"aire (u.a.): l"aire du rectangle bâti à partir des points O, I et J. •Domaine sous la courbe: domaine délimité par la courbeCf, l"axe des abs- cisses, et les droites d"équationx=aetx=b(a?b). Ce domaine est l"ensemble des pointM(x;y)du plan tels que : a?x?bet 0?y?f(x)

•Intégraledefsur[a;b]:lamesurede

l"aire en u.a. du domaine situé sous la courbeCf.

On la note :?

b af(x)dx

1 u.a?

b af(x)dx O Cf IJ a b

Remarque :

?b af(x)dxse lit : " somme ou intégrale deaàbdef(x)dx». •La variable "x" est une variable muette, c"est à dire qu"elle n"est plus présente lorsque le calcul est effectué. •La variablexpeut être remplacée par :t,u, ou toute autre lettre à l"exception deaetb.

Exemple :On donne la représentation

suivante d"une fonctionfsur [-2;3] ainsi que les mesures : OI = 2 cm et

OJ = 3 cm. Calculer :

•L"unité d"aire.

?3 -2f(x)dxpuis l"aire en cm2 12

1 2 3-1-2-3

OIJ

L"unité d"aire vaut : 2×3=6 cm2

Pour calculer l"intégrale, il faut calculer l"aire sous la courbe enunité d"aire soit le nombre de rectangles. Il y a 7 rectangles pleins un demi rectangle en haut à

PAULMILAN2 TERMINALES

1.2 EXEMPLE DE CALCUL D"INTÉGRALE:LA QUADRATURE DE LA PARABOLE

gauche et un triangle en haut à droite de côté respectifs 2 et 1 soit2×12=1 rec- tangle. On en déduit donc : 3 -2f(x)dx=8,5 etA=8,5×6=51 cm2

1.2 Exemple de calcul d"intégrale : la quadrature de la parabole

Le problème :Calculer l"intégrale de la fonction carréefsur[0;1]. Il s"agit donc de calculer l"aireAsous la parabole dans l"intervalle [0;1]. L"idée de Riemann est d"encadrer cette aire par deux séries de rectangles. On divise l"intervalle [0;1] ennparties. Sur chaque petit intervalle?i n,i+1n? , on détermine la valeur minimale et maximale de la fonction carrée. Comme cettefonction est croissante sur [0;1], la valeur minimale estf?i n? et la valeur maximalef?i+1n? On obtient alors ces deux séries de rectangles comme la figure ci-dessous : 1 Oi nf ?i n?f ?i+1 n? i+1 n1n2nnn=1...SuiteTn

SuiteSn

On définit deux suites avecf(x) =x2:

•La suite(Sn)des rectangles hachurés dont l"aire estSn: S n=?1 n? 2

×1n+?2n?

2

×1n+···+?n-1n?

2

×1n

12+22+···+ (n-1)2

n3 •La suite(Tn)des rectangles bleus dont l"aire estTn: T n=?1 n? 2

×1n+?2n?

2

×1n+?3n?

2

×1n+···+?nn?

2×1n

12+22+···+n2

n3=Sn+1n

L"aire sous la courbeAvérifie donc :Sn?A?Tn

PAULMILAN3 TERMINALES

1 NOTION D"INTÉGRALE

Algorithme :Calculer à l"aide d"un algorithme les valeurs deSnetTnlorsque n=5, 10, 20, 100, 1000

Programme classique pour déterminer les

termes d"une suite définie par une somme. On obtient alors les résultats suivants à 10 -4 près : nST

50,24000,4400

100,28500,3850

200,30880,3588

1000,32840,3384

10000,33280,3338

Variables

N,I,S,T

Algorithme

LireN

0→S

PourIvariant de 1 àN-1

S+I2

N3→S

FinPour

S+1

N→T

AfficherSetT

On constate que les deux suites semblent converger vers la même limite : S

1000?T1000?0,333

Remarque :D"après le tableau de valeurs, on peut conjecturer que la suite(Sn) est croissante et la suite(Tn)est décroissante. De plus leur différenceTn-Sn=1

ntend vers 0. On dit alors que les suites sont adjacentes.Démonstration :Montrons que ces deux suites convergent vers la même li-

mite. On peut montrer par récurrence que la somme des carrés est égale à : 1

2+22+···+n2=n(n+1)(2n+1)

6 En appliquant cette formule à l"ordren-1, on obtient : 1

2+22+···+ (n-1)2=(n-1)n[2(n-1) +1]

6=n(n-1)(2n-1)6

En appliquant cette relation aux suitesSnetTn, on obtient : S n=n(n-1)(2n-1)

6n3=13-12n+16n2

T n=n(n+1)(2n+1)

6n3=13+12n+16n2

On a :

lim n→+∞-1

2n+16n2=0 et limn→+∞12n+16n2=0

On en déduit par addition : lim

n→+∞Sn=1

3et limn→+∞Tn=13

Comme les deux suites encadrentA, on a :A=1

3u.a. et donc?

1

0x2dx=13

Calculette TI 82 :Pour calculer la valeur exacte de cette intégrale faire (dans le menu math) fonctIntégr(X

2,X,0,1)?Frac on retrouve 1/3

PAULMILAN4 TERMINALES

1.3 INTÉGRALE D"UNE FONCTION CONTINUE POSITIVE

1.3 Intégrale d"une fonction continue positive

On généralise cet encadrement à une fonctionfquelconque continue et posi- tive. On divise l"intervalle[a;b]ennparties égales. Sur chaque petit intervalle, on détermine la valeur minimale et maximale de la fonctionf. L"aire sous la courbe est alors encadrée par deux suites correspondantes à l"aire des rectangles hachu- rée et l"aire des rectangles bleus. Ces deux suites convergent vers la même limite qui correspond à l"intégrale defsur[a;b](théorème admis) comme le montre la figure ci-dessous. abC f O

SuiteTn

SuiteSn

Les suites(Sn)et(Tn)convergent vers

une même limiteA

On a donc :

b af(x)dx=A

Remarque :Le symbole dxdans l"intégrale est

une notation différentielle qui symbolise une très petite distance et représente la largeur de chaque petit rectangle.f(x)dxreprésente l"aire d"un rectangle et le symbole?devant signifie que l"on fait la somme des aires de chaque petit rectangle.

Exemple :Calculer l"intégrale suivante :?

1 -1?

1-x2dx.

Le cercle de centre O et de rayon 1 a

pour équation :x2+y2=1. On en dé- duit alors que le demi-cercle de centre

O et de rayon 1 poury?0 a pour équa-

tiony=⎷

1-x2. On en déduit que

l"intégrale est l"aire du demi-disque de rayon 1 soitπ 2. 1 1-1Cf ?1 -1?

1-x2dx

O

Conclusion :?

1 -1?1-x2dx=π2

1.4 Définition cinématique de l"intégrale

On a donné jusqu"ici une définition géométrique de l"intégrale, on peut aussi donner une définition cinématique de l"intégrale. Pour un mobile se déplaçant sur une trajectoire à la vitessev(t)positive ou nulle, la distancedparcourue par le mobile entre les instantst1ett2s"exprime par : d=? t2 t

1v(t)dt

PAULMILAN5 TERMINALES

2 PRIMITIVE

2 Primitive

2.1 Théorème fondamental

Théorème 1 :Soit une fonctionfcontinue et positive sur un intervalle[a;b].

La fonctionFdéfinie par :F(x) =?

x af(t)dtest dérivable sur[a;b]etF?=f ROCDémonstration :Dans le cas oùfest croissante sur[a;b](On admet ce théo- rème dans le cas général). On revient à la définition de la dérivée, il faut montrer que six0?[a;b]: lim h→0F(x0+h)-F(x0) h=f(x0)

•1ercas:h>0, on a :

F(x0+h)-F(x0) =?

x0+h af(t)dt-? x0 af(t)dt=? x0+h x

0f(t)dt=A

(par soustraction d"aire).

On sait quefest croissante sur[a;b],

donc sit?[x0;x0+h], on a : f(x0)?f(t)?f(x0+h) donc en encadrant l"aireA par le rectangle minorant (hachuré) et le rectangle majorant (bleu) l"aire ( en bleu), on a :

Oabx0x0+h←A

f(x0)×h?A?f(x0+h)×h f(x0)?A h?f(x0+h) f(x0)?F(x0+h)-F(x0) h?f(x0+h) •2ecas:h<0, on montre de même que :f(x0+h)?F(x0+h)-F(x0)h?f(x0) •Conclusion: on sait quefest continue sur[a;b], donc limh→0f(x0+h) =f(x0) D"après le théorème des gendarmes, on a : lim h→0F(x0+h)-F(x0) h=f(x0)

2.2 Définition

Définition 2 :fest une fonction définie sur un intervalle I. On dit quef admet une primitive sur I si, et seulement si, il existe une fonctionFdérivable sur

I telle que :

?x?IF?(x) =f(x)

PAULMILAN6 TERMINALES

2.3 PRIMITIVE VÉRIFIANT UNE CONDITION INITIALE

Exemples :

1) Soit la fonctionfdéfinie surRparf(x) =2x. Déterminer une primitive def.

Fdérivable surRet définie parF(x) =x2est une primitive defcar : ?x?RF?(x) =2x

2) Montrer que la fonctionFdéfinie sur]0;+∞[parF(x) =x(lnx-1)est une

primitive de la fonctionfdéfinie sur]0;+∞[parf(x) =lnx. Fest dérivable sur]0;+∞[car somme et produit de fonctions dérivables sur ]0;+∞[. On a : F ?(x) =lnx-1+x×1 x=lnx

Fest donc une primitive defsur]0;+∞[.

Théorème 2 :Soit une fonctionfadmettant une primitiveFsur I, alors toute primitiveGdefest de la forme : ?x?I G(x) =F(x) +k k?R Démonstration :Soit la fonctionGune fonction définie sur I par :

G(x) =F(x) +k

Gest manifestement dérivable sur I car somme de fonctions dérivables sur I.

On a :

G ?(x) =F?(x) =f(x)

Gest donc une primitive defsur I.

Réciproquement siGest une primitive defsur I, alors on a : ?x?I(F-G)?(x) =F?(x)-G?(x) =f(x)-f(x) =0 Si la dérivée de(F-G)est nulle alors(F-G)est une fonction constante.

Donc :

?x?IG(x) =F(x) +k k?R Exemple :Si la fonctionFdéfinie surRparF(x) =x2est une primitive de la fonctionfdéfinie surRparf(x) =2xalors la fonctionGdéfinie surRpar

G(x) =x2+3 est aussi une primitive defsurR.

2.3 Primitive vérifiant une condition initiale

Théorème 3 :Soitfune fonction admettant une primitive sur un intervalle I. Soitx0?I ety0?R. Il existe une unique primitiveFdefsurItel que :

F(x0) =y0

PAULMILAN7 TERMINALES

2 PRIMITIVE

Démonstration :SoitFetGdeux primitives defsur I. On a donc :

F(x) =G(x) +k

si on imposeF(x0) =y0alors il existe un uniquektel quek=y0-G(x0) Exemple :Déterminer la primitiveFdef(x) =2xtel queF(2) =3.

Fest une primitive defdonc :F(x) =x2+k

F(2) =4+kalorsk=F(2)-4=3-4=-1 doncF(x) =x2-1.

PAULMILAN8 TERMINALES

2.4 EXISTENCE DE PRIMITIVES

2.4 Existence de primitives

Théorème 4 :Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I. ROCDémonstration :Uniquement dans le cas où la fonctionfest continue sur un intervalle fermé[a;b].fadmet donc un minimumm. On considère la fonctiong telle que :g(x) =f(x)-m gest continue (car somme de fonctions continues) et positive sur[a;b]. D"après le théorème fondamental, la fonctionGdéfinie ci-dessous est une primitive deg sur[a;b].

G(x) =?

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