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Calcul matriciel
D´edou
D´ecembre 2010
Matrices colonnes
Les matrices `a une seule colonne s"appellent matrices-colonnes. Les matrices `a une seule ligne s"appellent matrices-lignes. On peut voir les vecteurs deRncomme des matrices-colonnes (ou comme des matrices lignes).Image par une application lin´eaire
Soit l"application lin´eaire
f:= (x,y,z)?→(3x+ 5y+ 7z,2x+ 2y+ 2z). Sa matrice est M f=?3 5 72 2 2?
et on a f(x,y,z) =?3 5 72 2 2?
(x y z) =?3x+ 5y+ 7z2x+ 2y+ 2z?
.Recette : pour calculerf(v)on multiplie (du bon cˆot´e) la matrice defpar la colonne de coordonn´ees dev.Exemple
Exemple
L"image du vecteurv:= (3,2) par l"application lin´eaire de matrice ?3 5 2 0? est w:=?3 5 2 0?? 3 2? =?19 6?Exercice
Exo 1 Calculez l"image du vecteur (1,2,3) par l"application lin´eaire de matrice ?3 4 52 0 2?
Rappel : le sens de la multiplication des matricesRappel
a) La matrice de la compos´ee de deux applications lin´eaires est le produit des matrices. b) L"application lin´eaire associ´ee `a un produit de matrices est la compos´ee des applications lin´eaires associ´ees.Bonus On vient de voir que la multiplication des matrices encode aussi l"application d"une application lin´eaire `a un vecteur.Associativit´e : exemple
Soitgde matriceG:=?1 1
1-1? ,fde matriceF:=?3 5 7
2 2 2?
etV:=( (3 2 1) .On a (g◦f)(3,2,1) = (GF)V parce queGFest la matrice deg◦f, et on a aussi (g◦f)(3,2,1) =G(FV) parce que (g◦f)(3,2,1) =g(f(3,2,1)).On a donc (GF)V=G(FV).
Associativit´e
Proposition
SiAa autant de colonnes queBde lignes et
Bautant de colonnes queCde lignes,
alors les deux produits (AB)CetA(BC) sont bien d´efinis et ´egaux.On les ´ecrit tous les deuxABC.
Et ¸ca se prouve!
Commutativit´e
Pas de commutativit´e
SiAa autant de colonnes queBde lignes,
alorsBn"a pas forc´ement autant de colonnes queBa de lignes, mais mˆeme si c"est le cas, on n"a pas forc´ementAB=BA.Commutativit´e : exemple 1
Exemple
A:=?1 1
1-1? ,B:=?3 5 72 2 2?
ABa un sens maisBAn"en a pas.
Commutativit´e : exemple 2
Exemple
A:=?0 1
1 0? ,B:=?1 0 0 0?On aAB=?0 0
1 0? ,BA=?0 1 0 0?Distributivit´e : exemple
Exemple
A:=?0 1
1 0? ,B:=?1 0 0 0? ,A2=?1 0 0 1?AB=?0 0
1 0? ,BA=?0 1 0 0? ,B2=?1 0 0 0?C:=A+B=?1 1
1 0? ,C2=?2 1 1 1? C2= (A+B)(A+B) =A(A+B)+B(A+B) =A2+AB+BA+B2
C2= (A+B)(A+B) = (A+B)A+(A+B)B=A2+BA+AB+B2.
Distributivit´e : cas g´en´eral
Proposition
SiAetBont autant de colonnes queCetDont de lignes, on a (A+B)C=AC+BC,B(C+D) =BC+BD (A+B)(C+D) =AC+BC+AD+BD.Matrices nulles
Il y a tout un tas de matrices "nulles", celles o`u tous les coefficients sont nuls. On les note toutes 0. On aA+ 0 =A,0 +A=A
chaque fois que ¸ca a un sens.Les deux multiplications : exemple
Exemple
A:=?0 1
1 0? ,B:=?1 0 0 0?On a (2A)B=?0 0
2 0? = 2(AB),A(3B) =?0 0 3 0? = 3AB.Les deux multiplications : cas g´en´eral
Proposition
Si le produitABa un sens, etλetμsont deux nombres, on a (λA)(μB) = (λ(μ(AB) = (λμ)AB.On ´ecrit justeλμAB.
Multiplication `a gauche et combinaisons lin´eairesProposition
SoitAune matrice `aplignes etqcolonnes. Alors l"application B?→ABqui envoieMq,rdansMp,rest lin´eaire.Autrement dit, on aA(λB+λ?B?) =λAB+λ?AB?.Exo 2
Donnez l"´enonc´e correspondant pour la multiplication parA`a droite.Matrice unit´e : exemple
La matrice unit´e (en dimension 2) c"est
I:=?1 0
0 1?PrenonsB:=?3 4
5 7?On trouveIB:=?3 4
5 7? etBI=?3 4 5 7? .C"est normal!Matrice unit´e : cas g´en´eral
La matrice unit´e (en dimensionn) c"estla matriceInde l"identit´e deRn.PropositionSi la matriceAanlignes, le produitInAvautA;
si elle ancolonnes, le produitAInvautA. et donc, siAest carr´ee `anlignes etncolonnes, on a I nA=AIn=A.Matrice carr´ee inversible : exemple
Prenons la matrice de la rotation d"anglea,
A:=?cosa-sina
sinacosa? ,et celle de la rotation d"angle-a,B:=?cosasina
-sinacosa? On aAB=?cos2a+ sin2acosasina-sinacosa
sinacosa-sinacosacos2a+ sin2a? =I et pareil pourBA.Matrice carr´ee inversible : d´efinition
Proposition
Si le produit de deux matrices carr´eesAetBde mˆeme taille vautI alors elles commutent :BA=AB=I.D´efinition On dit qu"une matrice carr´eeAest inversible s"il existe une matrice carr´ee de mˆeme tailleBv´erifiant AB=IetBA=I(une seule des deux ´egalit´es suffit). On dit alors queBest un inverse deA.En r´ealit´eAne peut avoir qu"un seul inverse; on dit alors que c"est l"inverse deA, et on le noteA-1.Matrice carr´ee inversible : exemple
Exemple
La matrice
?cosa-sina sinacosa? est inversible et son inverse est ?cosasina -sinacosa?Applications r´eciproques
D´efinition
Soitf:I→June application entre deux ensembles (par exemple deux intervalles), etg:J→Iune application dans l"autre sens. On dit quegest la r´eciproque defsi pour toutxdansIet touty dansJ, on a y=f(x)ssi x=g(y).Exemple La fonction ln :]0,+∞[→Rest la r´eciproque de l"exponentielle exp:R→]0,+∞[.Exo 3 De quelle application la fonction racine carr´ee est-elle la r´eciproque?Inverse et r´eciproque, mˆeme combat
Proposition
Deux matrices carr´eesAetBde mˆeme taillensont inverses l"unede l"autre ssi les applications lin´eaires associ´ees sont r´eciproques.Montrons seulement que la condition est suffisante : soient doncX
etYdeux vecteurs deRn. Si on aY=AX, en multipliant (`a gauche!) parB, on obtientBY=X. R´eciproquement, si on a X=BY, on obtientAX=Yen multipliant parA(toujours `a gauche).