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Année universitaire 2016/2017.

U.E. 2P021

TD n o10 Forces magnétiques

Éléments de correction

Johannes Braathen(LPTHE), Cédric Enesa(LKB), Andrea Mogini(LPNHE) Exercice IV. Interaction entre deux moments magnétiques

On considère deux aimants droits 1 et 2 de centres de symétrieO1etO2situés à une distance

d=O1O2l"un de l"autre et de moments dipolaires magnétiques respectifs~m1et~m2. L"aimant 1 est fixe, l"aimant 2 peut tourner autour deO2.

Déterminer la force qu"exerce l"aimant 1 sur l"aimant 2 dans le cas (1) (cf figure de l"énoncé).L"expression de la force subie par le dipôle

~m2à cause du champ~B1est

F=~m2!grad~B1:

Le dipôle

~m2étant rigide, on a la simplification supplémentaire

F=!grad (~m2~B1):

Nous souhaitons calculer cette force dans la situation (1) et pour cela nous allons devoir utiliser la dépendance spatiale de ~m2-i:e:le centre de gravité du dipôle~m2n"est plus fixé - avant de calculer le gradient et de l"évaluer dans la situation (1).

Remarque: de la même façon, lorsque l"on veut calculer la dérivée d"une fonction réelle f en 0

(c"est-à-dire f

0(0)), on dérive f(x)pour obtenir f0(x)puis on prend x=0, et non l"inverse!

Avec l"expression de

~B1(M) donnée dans l"énoncé, m2~B1=m2~ux 043(m1~uy~er)~erm1~uyr 3!

0m1m24r3h3(~uy~er)~ux~er~ux~uyi

m2~B1=30m1m2sin2cossin4r3; en utilisant er=sincos~ux+sinsin~uy+cos~uz: Ensuite on calcule le gradient en utilisant la formule (12) du poly de TD, et on trouve grad (~m2~B1)=90m1m2sin2cossin4r4~er+60m1m2cossincossin4r4~e

30m1m2sin(cos2sin2)4r4~e:1

Sachant l"on veut connaître la force subie par

~m2lorsque le dipôle se trouve enO2, il sut de prendre=0 et==2. La seule composante non nulle du gradient est alors selon eet on a !grad (~m2~B1)=30m1m24r4~e(O2) or enO2,~e(O2)=~uyd"où finallement,

F=30m1m24r4~uy:Exercice V. Rail de Laplace

On considère un rail de Laplace sur une pente. Les rails font un angleentre eux (mais ne se rejoignent pas). Le champ ~Best supposé vertical et uniforme. On suppose qu"on laisse glisser sans vitesse initiale une tige conductrice de masseM. On néglige les frottements.

1. Quelle va être l"influence de la force de Laplace sur le mouvement de la barre?Remarque :pour tout cet exercice on se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

On rappelle que la force de Laplace subie par un élément infinitésimal ~dlde la barre, parcourue par un courantIest d ~FL=I~dl~B On voit donc que la projection de la force de Laplace sur l"axex, le long de la pente, tend

à faire monter la barre, et à s"opposer à son poids.2. Exprimer la composante de cette force sur l"axe de déplacement, en fonction de la positionx

repérée par rapport au pointO.Ondéfinitlalongueurdelabarredanslaquellecirculeuncourant,enfonctiondelaposition

le long de l"axexcommel(x). On a alors simplement l(x)=2xtan On intègre ensuite la force de Laplace infinitésimale sur toute la longueurl(x) de barre dans laquelle circule un courant et on obtient la composante de ~FLselon~ex FL(x)=2costanIB0x~ex3. Quelle est l"équation du mouvement de la tige? Pour décrire le mouvement de la barre, l"autre force que ~FLà prendre en compte est son poids, dont la projection sur l"axexestMgsin~ex. On applique le PFD à la barre et on projette la relation ainsi obtenue sur l"axex, d"où l"équation du mouvement M d2xdt

2=Mgsin2IB0xtancos4. En déduire son mouvement, et en particulier sa fréquence d"oscillation.

2 On reconnaît l"équation d"un oscillateur harmonique, de pulsation !=r2IB0tancosM et donc de fréquence f=!2=r2IB0tancos22MExercice VI. Oscillation d"une aiguille aimantée dans un champ magné- tique On considère un aimant de section carrée et de masseM, dans un champ magnétique uniforme ~B=B0~ux. On note~mson moment magnétique. L"aimant attaché au pointOpeut tourner dans le plan de la figure autour d"un axe, choisit suivant ~uzafin de s"aranchir de l"eet du poids.

1. Donner l"expression du couple exercé par le champ magnétique sur l"aimant et l"expression

de l"énergie potentielle d"intéraction entre l"aimant et le champ magnétique.Avec le systéme de coordonnées cartésiennes donné sur le schéma, et l"angledéfinit entre

~Bet~m, on a

B=B0~ux

m=m(cos~ux+sin~uy)

On en déduit le couple subit par l"aimant

~m~B=mB0sin~uz et l"énergie potentielle d"intéraction entre le dipôle et le champ E

P ~m~B=mB0cos2. Quelles sont les positions déquilibre de l"aimant? Y a-t-il une position d"équilibre stable?

Les positions d"équilibre correspondent aux extrema de l"énergie potentielleEP/ cos donc on a deux positions d"équilibre : =0 pour laquelle l"énergie est minimale (,minimum absolu deEPici) et qui est donc une position d"équilibre stable =pour laquelle l"énergie est maximale (,maximum absolu deEPici) et qui est donc une position d"équilibre instable3. Lemomentd"inertiedel"aimantestI=ML2+a212

Montrer que si l"on écarte l"aimant de sa position d"équilibre stable, il va commencer à osciller

autour de celle-ci. On prendra pour angle initial01. 3

L"énoncé stipule que l"on astreint l"aimant à tourner uniquement selon l"axez, par consé-

quent on peut écrire son moment cinétique ~Lcomme~LI~!=Iddt ~uz, avecIle moment d"inertie. L"équivalent du PFD pour les moments est d ~Ldt et en projettant cette relation sur l"axezon obtient I d2dt

2=mB0sin1mB0

On reconnaît l"équation d"un oscillateur harmonique. L"aimant oscille autour de la position d"équilibre stable=0 et la solution générale pourest de la forme (t)=0cos0BBBB@rmB 0I t+'1CCCCA4. Quelle est la période des oscillations?

Les oscillations ont une pulsation!=qmB

0I d"où une périodet=2qI mB

05. On fait l"expérience avec un aimant de moment magnétiquem=8:55 Am2. On mesure une fré-

quence d"oscillation de 4 Hz. En déduire la composante horizontaleB0du champ magnétique.

On pourra prendre masseM=10 g,L=4 cm eta=5 mm.B

0=42If2m

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