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σ(X − µ) suit une loi normale centrée réduite N(0,1) Exercice 2 Soit X une variable aléatoire de loi normale N(0,1) Calculer P[X ≤ 1 62],

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22 jui 2018 · Exercice 1 Corrigé Sujet Mathématiques Bac 2018 • Corrigé freemaths France Métropolitaine T suit la loi normale centrée réduite 1 a

Probabilit´es - Exercices corrig´es

Y. Morel

Exercice 1SoitXune variable al´eatoire qui suit la loi uniforme sur [-5;15]. Calculer : a)P(X?2)

Correction :

La fonction densit´e de probabilit´e de la loi uniforme sur [-5;15] estf(x) =115-(-5)=120, et donc,P(X?2) =? 2 -5f(x)dx=?x 20? 2 -5=220--520=720 b)P(-1?X?1)

Correction :

De mˆeme qu"au a),P(-1?X?1) =?

1 -1f(x)dx=?x20? 1 -1=120--120=220=110 c)P(X?0)(-1?X?2)

Correction :

P(X?0)(-1?X?2) =P?

2015
20= 2 15 d) SoitYla variable al´eatoire ´egale `aX+ 5

10. CalculerP(X?10)(Y?1).

Correction :

P(X?10)(Y?1) =P(X?10)?X+ 510?1?

=P(X?10)(X+ 5?10) =P(X?10)(X?5) P? (X?10)∩(X?5)?

P(X?10)=P(5?X?10)P(X?10)=5

2015
20= 1 3 Exercice 2SoitXune variable al´eatoire qui suit la loi exponentielle de param`etreλ= 3.

Calculer :

a)P(X?2)

Correction :

La fonction densit´e de probabilit´e de la loi exponentielle de param`etreλ= 3 estf(x) =λe-λx= 3e-3x,

et donc,P(X?2) =? 2 0

3e-3xdx=?

-e-3x?20=-e-3×2+e-3×0=-e-6+ 1 b)P(X?4)

Correction :

P(X?4) = 1-P(X <4) = 1-?

4 0

3e-3xdx= 1-?

-e-3x?40= 1-? -e-12+e0? =e-12 1 c)P(2?X?4)

Correction :

P(2?X?4) =?

4 2

3e-3xdx=?

-e-3x?42=-e-12+e-6 d)P(X?2)(X?4)

Correction :

P(X?2)(X?4) =P?

e)P(X?122)(X?124)

Correction :

P(X?122)(X?124) =P?

f) Soit deux r´eelsa >0 eth >0. Montrer que la probabilit´eP(X?a)(X?a+h) ne d´epend pas dea.

Correction :

P(X?a)(X?a+h) =P?

(X?a)∩(X?a+h)?P(X?a)=P(X?a+h)P(X?a) avec,P(X?a) = 1-P(X < a) = 1-? a 0

3e-3xdx= 1-?

-e-3x?a0= 1-? -e-3a+ 1? =e-3a et de mˆeme,P(X?a) =e-3(a+h), d"o`u,P(X?a)(X?a+h) =P(X?a+h) Cette probabilit´e ne d´epend donc effectivement pas dea. Exercice 3SoitXune variable al´eatoire qui suit la loi normaleN(500;202).

PourZune variable al´eatoire qui suit la loi normale centr´ee r´eduite , on note et donnea=P(Z?0),

Exprimer en fonction dea,b,cetd, puis donner une valeur approch´ee de : a)P(X?520)

Correction :

Le calcul peut se faire directement `a la calculatrice (`a utiliser donc pour v´erifier le r´esultat), mais

ici on doit exprimer cette probabilit´e en fonction des donn´eesa,b,cetdde l"´enonc´e. On doit donc se ramener `a la loi normale centr´ee r´eduite.

Soit la variable al´eatoireZ=X-500

20; alorsZsuit la loi normale centr´ee r´eduiteN(0;1), et

P(X?520) =P?X-500

20?520-50020?

=P(Z?1) =c?0,8413 b)P(X?540)

Correction :

P(X?540) = 1-P(X <540) = 1-P?X-50020<540-50020?

= 1-P(Z <2) = 1-d?

0,0228

(carP(Z <2) =P(Z?2), pourZune variable al´eatoirecontinue). 2 c)P(460?X?540)

Correction :

P(460?X?540) =P?460-50020?X-50020?540-50020?

=P(-2?Z?2) =P(Z?2)-P(Z?-2) =P(Z?2)-?

1-P(Z?2)?

=d-? 1-d? = 2d-1?0,9544 d)P(X?500)(X?510)

Correction :

P(X?500)(X?510) =P?

P(500?X?510) =P?500-500

20?X-50020?510-50020?

=P(0?Z?0,5) =P(Z?0,5)-P(Z?0) =b-a etP(X?500) =P?X-500

20?500-50020?

=P(Z?0) = 1-P(Z <0) = 1-a.

Ainsi,P(X?500)(X?510) =b-a

1-a?0,383

(On se rappelle pour ce dernier calcul que, la loi normale centr´ee r´eduite est sym´etrique, et donc,

a=P(Z?0) =P(Z?0) = 0,5). Exercice 4SoitXune variable al´eatoire suivant la loi normaleN(200;152). D´eterminer le r´eelu >0 tel queP(200-2u?X?200 + 2u) = 0,9.

Correction :

On se ram`ene `a la loi normale centr´ee r´eduite : soit la variable al´eatoireY=X-20015qui suit

donc la loiN(0;1), alors

P(200-2u?X?200 + 2u) = 0,9??P?200-2u-200

15?X-20015?200 + 2u-20015?

= 0,9 ??P? -2u

15?Y?2u15?

= 0,9 ??P? Y?2u 15? -P?

Y?-2u15?

= 0,9 ??P? Y?2u 15? 1-P?

Y?2u15?

= 0,9 ??2×P? Y?2u 15? -1 = 0,9 ??P? Y?2u 15? =1 + 0,92= 0,95

A l"aide de la calculatrice, ou de la table de valeurs de la loinormale centr´e r´eduite, on trouve

queP(Y?1,65)?0,95.

On doit donc avoir2u

15?1,65??u?1,65×152?12,375

Exercice 5SoitXune variable al´eatoire suivant la loi normaleN(μ;σ2). 3

On donneμ=E(X) = 120.

D´eterminer l"´ecart-typeσtel queP(100?X?140) = 0,92.

Correction :

On se ram`ene `a la loi normale centr´ee r´eduite : soit la variable al´eatoireY=X-120σqui suit

donc la loiN(0;1), alors

P(100?X?140) = 0,92??P?100-120

σ?X-120σ?140-120σ?

= 0,92 ??P? -20

σ?Y?20σ?

= 0,92 ??P? Y?20 -P?

Y?-20σ?

-= 0,92 ??P? Y?20 1-P?

Y?20σ?

= 0,92 ??2P? Y?20 -1 = 0,92 ??P? Y?20 =0,92 + 12= 0,96.

A l"aide de la calculatrice, ou de la table de valeurs de la loinormale centr´e r´eduite, on trouve

queP(Y?1,76)?0,96, et on doit donc avoir20

σ?1,76??σ?201,76?11,36.

Exercice 6Surr´eservation d"une compagnie a´erienne

Une compagnie utilise des avions d"une capacit´e de 320 passagers. Une ´etude statistique montre

que 5 passagers sur 100 ayant r´eserv´e ne se pr´esente pas `al"embarquement. On consid´erera ainsi que

la probabilit´e qu"un passager ayant r´eserv´e ne se pr´esente pas `a l"embarquement est de 0,05.

1. La compagnie accepte 327 r´eservations sur un vol.

SoitXla variable al´eatoire indiquant le nombre de passagers se pr´esentant `a l"embarquement. a. Quelle est la loi de probabilit´e suivie parX?

Correction :

On r´ep`eten= 327 fois le tirage al´eatoire d"un passager. C"est une ´epreuve de Bernoulli dont

le succ`es est "le passager se pr´esente `a l"embarquement", ´ev´enement dont la probabilit´e est

p= 1-0,05 = 0,95.

Ces r´ep´etitions sont identiques et ind´ependantes (on suppose que chaque personne se pr´esente

ou non `a l"embarquement ind´ependamment du choix des autres passagers). La variable al´eatoireXqui compte le nombre de passagers se pr´esentant `a l"embarque-

ment, c"est-`a-dire le nombre de succ`es dans les 327 r´ep´etitions, suit donc la loi binomiale

B(327;0,95).

b. Par quelle loi normale peut-on approcher la loi deX? Les param`etres de la loi seront d´etermin´es `a 10 -2pr`es.

Correction :

Commen= 327?30,np= 310,95?5 etn(1-p) = 16,35?5, d"apr`es le th´eor`eme de Moivre-Laplace, la loi de probabilit´e deXpeut-ˆetre approch´ee par la loi normale de param`etreμ=np= 310,65 et d"´ecart-typeσ=? np(1-p)?3,94. c. En utilisant l"approximation par la loi normale, calculerP(X?320). Penser vous que le risque pris par la compagnie en acceptant 327 r´eservations soit important?

Correction :

Avec cette approximation,

P(X?320)?P?X-310,65

3,94?320-310,653,94?

?P?X-310,653,94?2,37? ?Π(2,37)?0,99

o`u on a utilis´e la fonction de r´epartition de la loi normale centr´ee r´eduite Π (dont les valeurs

sont donn´ees dans la table ou calcul´ees par la calculatrice). Le risque pris par la compagnie d"avoir plus de passagers quipr´esentent `a l"embarquement que de places r´eellement disponible est faible, il est inf´erieur `a 1%.

2. Serait-il raisonnable pour la compagnie d"accepter sur ce mˆeme vol 330 r´eservations? 335

r´eservations?quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23

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Probabilit´es - Exercices corrig´es

Y. Morel

Correction :

Correction :

De mˆeme qu"au a),P(-1?X?1) =?

Correction :

P(X?0)(-1?X?2) =P?

10. CalculerP(X?10)(Y?1).

Correction :

P(X?10)(Y?1) =P(X?10)?X+ 510?1?

P(X?10)=P(5?X?10)P(X?10)=5

Calculer :

Correction :

3e-3xdx=?

Correction :

P(X?4) = 1-P(X <4) = 1-?

3e-3xdx= 1-?

Correction :

P(2?X?4) =?

3e-3xdx=?

Correction :

P(X?2)(X?4) =P?

Correction :

P(X?122)(X?124) =P?

Correction :

P(X?a)(X?a+h) =P?

3e-3xdx= 1-?

Correction :

Soit la variable al´eatoireZ=X-500

20; alorsZsuit la loi normale centr´ee r´eduiteN(0;1), et

P(X?520) =P?X-500

20?520-50020?

Correction :

P(X?540) = 1-P(X <540) = 1-P?X-50020<540-50020?

0,0228

Correction :

P(460?X?540) =P?460-50020?X-50020?540-50020?

1-P(Z?2)?

Correction :

P(X?500)(X?510) =P?

P(500?X?510) =P?500-500

20?X-50020?510-50020?

20?500-50020?

Ainsi,P(X?500)(X?510) =b-a

1-a?0,383

Correction :

P(200-2u?X?200 + 2u) = 0,9??P?200-2u-200

15?X-20015?200 + 2u-20015?

15?Y?2u15?

Y?-2u15?

Y?2u15?

On doit donc avoir2u

15?1,65??u?1,65×152?12,375

On donneμ=E(X) = 120.

Correction :

P(100?X?140) = 0,92??P?100-120

σ?X-120σ?140-120σ?

σ?Y?20σ?

Y?-20σ?

Y?20σ?

σ?1,76??σ?201,76?11,36.

1. La compagnie accepte 327 r´eservations sur un vol.

Correction :

B(327;0,95).

Correction :

Correction :

Avec cette approximation,

P(X?320)?P?X-310,65

3,94?320-310,653,94?

2. Serait-il raisonnable pour la compagnie d"accepter sur ce mˆeme vol 330 r´eservations? 335