[PDF] 2 Semestre Bruno Hérault Travail Dirigé n°5 Loi Normale - Corrigés PDF loinormale-corrections.pdf

Loi Normale - Corrigés Page 1 sur 5 Exercice 1 0,5793 La table de la fonction de répartition de la variable normale centrée réduite fournit : F (0,20) = 0, 5793

Exercice 1 Une usine fabrique Pour n = 20, quelle est la loi de Z, son espérance et sa variance ? Correction ▽ épaisseur qui suit une loi normale de paramètres m = 0 6mm et σ = 0 1 Soit X la suit une loi centrée réduite Donc si P[X

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Loi normale centrée réduite et graphique Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite On a tracé la courbe de Gauss Déterminer graphiquement

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Exercice 3 Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale N (500; 202) Pour Z une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite , on note et

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σ(X − µ) suit une loi normale centrée réduite N(0,1) Exercice 2 Soit X une variable aléatoire de loi normale N(0,1) Calculer P[X ≤ 1 62],

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Soit X une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par x 0 Déterminer les param`etres (espérance et écart type) d'une loi normale dont une variable aléatoire Déterminer un intervalle [a; b] centrée en E(X) tel que P(a < X < b) = 0 98 a pu être réduit de 8, 4 en moyenne, avec un écart-type de 0, 32

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µ = 0 et σ = 1 : loi normale centrée/réduite Lorsque l'on suppose qu'une variable X suit le mod`ele de la loi normale N(µ, σ), on écrit X ∼ N (µ, σ) Chapitre 3

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22 jui 2018 · Exercice 1 Corrigé Sujet Mathématiques Bac 2018 • Corrigé freemaths France Métropolitaine T suit la loi normale centrée réduite 1 a

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Exercice 1

1°/ Traduction de la relation P (X

2) = 0,5793.

Désignons par F la fonction de répartition de la variable normale centrée réduite. P (X

2) = 0,5793

F = 0,5793 La table de la fonction de répartition de la variable normale centrée réduite fournit :

F (0,20) = 0,5793

Comme la fonction F est une bijection monotone strictement croissante de ] [ sur ] 0 ;

1 [, la relation

F = F (0,20) est équivalente à : = 0,20 = 5 m + = 10

2°/ Traduction de la relation P (X > 5) = 0,2119.

P (X > 5) = 0,2119

P (X

5) = 1 P (X > 5) = 1 0,2119 = 0,7881

F = 0,7881 Or la table de la fonction de répartition de la variable normale centrée réduite fournit :

F (0,80) = 0,7881

Comme la fonction F est une bijection, la relation F = F (0,80) équivaut à = 0,80 =

5 m + 4

= 25

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3°/ Valeurs de m et

Le système de deux équations du premier degré : 5 m + = 10

5 m + 4

= 25 a pour unique solution, calculée par soustraction, puis substitution : m = 1 = 5

Exercice 2

Désignons par F la fonction de répartition de la variable normale centrée réduite.

P (19,75 < X < 20,25) = F

F = F F

La relation F ( u) = 1 F (u) entraîne alors :

P (19,75 < X < 20,25) = 2 F

1 Or la table de la fonction de répartition de la variable normale centrée réduite donne : F = 0,9522

On en déduit :

P (19,75 < X < 20,25) = 2 × 0,9522 1 = 0,9044

P (19,75 < X < 20,25) = 0,9044

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Exercice 3

°/ Probabilité de divers intervalles de valeurs de la glycémie. Notons X la glycémie mesurée sur un individu de la population.

X suit une loi normale N (1,00 ; 0,032). La variable aléatoire centrée réduite correspondante U

suit une loi normale N (0 ; 1). a) P ( X < 1,06 )

C'est la surface hachurée suivante :

La table de la fonction de répartition de la variable normale centrée réduite donne :

P (X < 1,06 ) = P

U < = P (U < 2 ) = F ( 2 )

0,9772

P (X < 1,06 ) = 0,9772

b) P ( X > 0,9985 )

C'est la surface hachurée suivante :

La table de la fonction de répartition de la variable normale centrée réduite donne : P (X > 0,9985 ) = 1- P (X < 0.9985)= 1- F[(0.9985-1)/0.03] = 1 F(-0.05)

P (X > 0,9985 ) = F ( 0,05 )

0,5199

P (X > 0,9985 ) = 0,5199

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Remarque.

Comme la valeur 0,05 est petite, on peut avoir une approximation de la valeur de F en utilisant un développement en série :

F (u) = F (0) + u F' (0) + F'' (0) + F'''

avec F' (u) = f (u) = e . En se limitant aux trois premiers termes non nuls, on obtient :

F (0) = 0,5, F' (0) = f (0) =

, F'' (0) = f' (0) = 0, F''' (0) =

F (0,05 )

0,5 + ( 0,05

0,5199

C'est déjà une bonne approximation.

c) P ( 0,94 < X < 1,08 )

C'est la surface hachurée suivante :

La table de la fonction de répartition de la variable normale centrée réduite donne :

P (0,94 < X < 1,08 ) = F

F ( 2 ) = F

1 + F ( 2 )

= 0,9962 + 0,9772 1 = 0,9734

P (0,94 < X < 1,08 ) = 0,9734

2°/ Nombre moyen d'individus.

La table de la fonction de répartition de la variable normale centrée réduite donne :

P (X > 0,99 ) = 1 F

1 0,3694 = 0,6306.

Pour un individu de la population dont est extrait l'échantillon de 1000 individus, la

probabilité d'avoir une glycémie supérieure à 0,99 est p = 0,6306. Le fait de regarder si un

individu choisi au hasard dans la population a une glycémie supérieure à 0,99 g/l constitue

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une épreuve de Bernoulli dont le succès a une probabilité p = 0,6306. Lorsqu'on répète cette

épreuve de Bernoulli pour les 1000 individus constituant l'échantillon aléatoire, le nombre Y

de succès observés est le nombre Y d'individus de l'échantillon qui ont une glycémie

supérieure à 0,99. Ce nombre Y suit une loi binomiale de paramètres n = 1000 et p = 0,6306.

Donc, en moyenne, il y aura E (Y) = n p = 630,6 individus de glycémie supérieure à 0,99 dans

un échantillon de taille 1000. La loi faible des grands nombres nous dit qu'en moyenne, la proportion d'individus ayant

une glycémie supérieure à 0,99 g/l, tend à se rapprocher de la probabilité que la glycémie soit

supérieure à 0,99 g/l, à mesure que le nombre d'individus pris en considération augmente.

Pour 1 000 individus, on peut donc admettre, quelle que soit la loi de probabilité de la

glycémie, que : Dans un échantillon de taille 1000, il y a en moyenne 630,6 individus qui présentent une glycémie supérieure à 0, 99 g/l.

Exercice 4

Soit X la taille d'un étudiant. Le nombre d'étudiants ayant une taille comprise entre deux limites a et b est, en moyenne :

N = 615 × P (a < X < b) = 615 × [F

N = 615 × [ F (5 b 8,75) F (5 a 8,75)].

On peut donc dresser le tableau suivant des résultats :

Taille X

1,50 1,65 2,00 +

5 (X 1,75)

1,25 0,50 1,25 +

F (5 X 8,75) 0 0,105 0,308 0,894 1

P¨(X < 1,5) 0,1056

P (1,5 < X < 1,65) 0,2029

P (X

2) 0,1056

Nombre N 65 125 65

quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23

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Exercice 1

1°/ Traduction de la relation P (X

2) = 0,5793.

2) = 0,5793

F (0,20) = 0,5793

1 [, la relation

2°/ Traduction de la relation P (X > 5) = 0,2119.

P (X > 5) = 0,2119

5) = 1 P (X > 5) = 1 0,2119 = 0,7881

F (0,80) = 0,7881

5 m + 4

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3°/ Valeurs de m et

5 m + 4

Exercice 2

P (19,75 < X < 20,25) = F

La relation F ( u) = 1 F (u) entraîne alors :

P (19,75 < X < 20,25) = 2 F

On en déduit :

P (19,75 < X < 20,25) = 2 × 0,9522 1 = 0,9044

P (19,75 < X < 20,25) = 0,9044

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Exercice 3

C'est la surface hachurée suivante :

P (X < 1,06 ) = P

0,9772

P (X < 1,06 ) = 0,9772

C'est la surface hachurée suivante :

P (X > 0,9985 ) = F ( 0,05 )

0,5199

P (X > 0,9985 ) = 0,5199

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Remarque.

F (u) = F (0) + u F' (0) + F'' (0) + F'''

F (0) = 0,5, F' (0) = f (0) =

F (0,05 )

0,5199

C'est déjà une bonne approximation.

C'est la surface hachurée suivante :

P (0,94 < X < 1,08 ) = F

F ( 2 ) = F

1 + F ( 2 )

P (0,94 < X < 1,08 ) = 0,9734

2°/ Nombre moyen d'individus.

P (X > 0,99 ) = 1 F

1 0,3694 = 0,6306.

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Exercice 4

N = 615 × P (a < X < b) = 615 × [F

N = 615 × [ F (5 b 8,75) F (5 a 8,75)].

Taille X

1,50 1,65 2,00 +

5 (X 1,75)

1,25 0,50 1,25 +

P¨(X < 1,5) 0,1056

P (1,5 < X < 1,65) 0,2029

2) 0,1056

Nombre N 65 125 65