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Chapitre3

Vraisemblance

k ,et l'espacedesparamètresestΘ?R d

3.1Leconceptdevraisemblance

n ,{P )do- minéparµtouteapplicationL:H n

×Θ→R

telleque,pourchaqueθ?Θ, l'applicationpartielleL(.;θ):H n →R lencedeladensitédeP parrapportàµ. /dµn'est

Exemples

1.Danslemodèlestatistique({0,1}

n ,{B(p) ?n p?]0,1[ )delasection1.1,qui 27

28CHAPITRE3.VRAISEMBLANCE

estdominéparlamesure(δ 0 1 ?n ,lavraisemblanceLs'exprimepar: L(x 1 ,···,x n ;p)=B(p) ?n ({x 1 ,···,x n })=p n i=1 x i (1-p) n-∑ n i=1 x i pourp?]0,1[etx 1 ,···,x n ?{0,1}.

2.Danslemodèle(R

n ,{N(m,σ 2 ?n m?R,σ?R ),quiestdominéparlame- suredeLebesguesurR n ,lavraisemblanceest: L(x 1 ,···,x n ;m,σ 2 1

2π$

2 n exp n i=1 (x i -m) 2 2σ 2 pourx i ?R,m?Retσ?R ci-dessous.

PropositionSoit(H,{Q

etdevraisemblanceL.Alors,lafonction L n :H n

×Θ→R

(x 1 ,···,x n n i=1 L(x i estlavraisemblancedumodèle(H n ,{Q ?n )pourlamesuredominanteµ ?n (x 1 ,···,x n n i=1 L(x i estuneversiondeladensitédeQ ?n parrapportൠ?n observations(x 1 ,···,x n )?{0,1} n .IlestnatureldeconsidérerquelaloiB(p 0 ?n ?n ,p?]0,1[,cellequi enplavraisemblanceL(x 1 ,···,x n

3.2.CONSISTANCEDEL'EMV29

leconceptdemaximumdevraisemblance.

DéfinitionSoit(H

n ,{P

L(x;g(x))=sup

L(x;θ),?x?H

n

Ainsi,si(X

1 ,···,X n )estunéchantillondelaloiP ,l'EMV(deθ)estg(X 1 ,···,X n celle-cis'exprimecomme: lnL n (x 1 ,···,x n n i=1 lnL(x i mener.

ExempleL'EMVdumodèlestatistique(R

n ,{N(m,1) ?n m?R )estlamoyenne empirique.

3.2Consistancedel'EMV

DéfinitionSoit(H

n ,{P 1 (P ).L'informationde

KullbackentrelesloisP

etP estdéfiniepar:

K(α,θ)=-E

ln

L(.;α)

L(.;θ)

30CHAPITRE3.VRAISEMBLANCE

portantdenoterqu'onatoujoursL(.;α)>0P -p.s.pourchaqueα,θ?Θ.Pour etdoncqueP P

L(.;θ)dµ=

L(.;θ)

L(.;α)

dP =0. priétéP ?P ,avecunepreuvesimilaire.

PropositionSoit(H

n ,{P fonctiont?→&lntdéfiniesurR

K(α,θ)=-

H n ln

L(.;α)

L(.;θ)

dP ≥&ln H n

L(.;α)

L(.;θ)

dP =-ln H n

L(.;α)dµ=0.

deJensen.Commet?→&lntdéfiniesurR eststrictementconvexe,onendéduit qu'ilexisteC?R telqueL(.;α)=CL(.;θ)P -p.s.Alors,pourtoutborélien A?H n P (A)= A

L(.;α)dµ=

A

L(.;α)

L(.;θ)

dP =CP (A).

OnendéduitqueC=1(prendreA=H

n ),etdoncqueP =P ,cequicontredit l'identifiabilitédumodèle.?

3.2.CONSISTANCEDEL'EMV31

ThéorèmeSoit(H,{Q

(i)?x?H,lnL(x;.)estcontinusurΘ; (ii)?θ?Θ,ilexisteH?L 1 (Q )tellequesup

Onnote

L n (x 1 ,···,x n n i=1 L(x i dumodèle(H n ,{Q ?n ).Alors,

θestconsistant.

PreuveOnfixeθ?ΘetonnoteP

=Q ?n .Soit(X 1 ,···,X n )unéchantillondela loiP et,pourchaqueα?Θ: U n 1 n lnL n (X 1 ,···,X n 1 n n i=1 lnL(X i

U(α)=-E

lnL(.;α).

RemarquonsqueU

n

θ)=inf

U n .D'aprèslaloidesgrandsnombres,U n P -$U chaquex?H n par g(x,η)=sup |lnL(x;α)-lnL(x;β)|. 1 (P )etg(x,η)→0si

η→0pourtoutx?H

n ,onaE N j=1

B(θ

j

32CHAPITRE3.VRAISEMBLANCE

Onadansunpremiertemps:

sup |U n -U|=max j=1,···,N sup

B(θ

j |U n -U| j=1,···,N sup

B(θ

j |U n -U n j )|+max j=1,···,N |U n j )-U(θ j +max j=1,···,N sup

B(θ

j |U(θ j )-U| 1 n n i=1 g(X i ,η)+max j=1,···,N |U n j )-U(θ j )|+E g(.,η). g(.,η)<ε/3: P sup |U n -U|≥ε 1 n n i=1 g(X i ,η)+max j=1,···,N |U n j )-U(θ j )|≥2ε/3 maxquotesdbs_dbs43.pdfusesText_43