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MAP433 Statistique

Maximum de vraisemblance

Christophe Giraud

CMAP, Ecole Polytechnique

PC3 1/11 Christophe GiraudMAP433 Statistique Maximum de vraisemblance

Le maximum de vraisemblance

2/11 Christophe GiraudMAP433 Statistique Maximum de vraisemblance L'estimateur dumaximum de vraisemblance est central en statistiques, car:naturel et "systematique" proprietes d'optimalite invariant par reparametrisation 3/11 Christophe GiraudMAP433 Statistique Maximum de vraisemblance

L'intuition (1/2)

Observations:ncomptages d'oiseauxx1;:::;xn.

Modele:X1;:::;Xni.i.d. de loi de Poisson de parametre inconnu. Estimation:On veut estimerpar la valeur pour laquelle la probabilite des observations est la plus grande: maximiseP(X1=x1;:::;Xn=xn) =:Lx()Calcul: L x() =ex1x

1!:::exnx

n! enx1+:::+xnx

1!:::xn!

4/11 Christophe GiraudMAP433 Statistique Maximum de vraisemblance

L'intuition (2/2)

data:(x1;:::;xn) = (6;4;2;2;1;5;2;0;4;3)012345 0 1 2 3 4 5 6 vraisemblance theta

L(theta)on obtient

^= 2:9 5/11 Christophe GiraudMAP433 Statistique Maximum de vraisemblance

Formalisation

Ecueil:dans le cas de variables continues

P (X1=x1;:::;Xn=xn) = 0pour tout! ex:X

1;:::;Xni.i.d. de loiN(;1)

Notion adaptee: la densite

On suppose

dPX(x1;:::;xn) =f(;x1;:::;xn)d(x1;:::;xn) avecmesure-niene dependant pas de. En general:= mesure de comptage ou mesure de Lebesgue 6/11 Christophe GiraudMAP433 Statistique Maximum de vraisemblance

Vraisemblance

L x:!Lx() :=f(;x1;:::;xn|{z} observations)Maximum de vraisemblance =argmax

Lx()Cas i.i.d.

SiX1;:::;Xni.i.d. de loidPXi(x) =p(;x)d(x), on a:

L x() =p(;x1):::p(;xn) et ^=argmax n X i=1log(p(;xi)) 7/11 Christophe GiraudMAP433 Statistique Maximum de vraisemblance

Exemple

Observations:nmesures d'erreursx1;:::;xn.

Modele:X1;:::;Xni.i.d. de loi de Laplace de parametre inconnu. p(;x) =2 ejxjetd(x) =dx:

Calcul:

log(Lx()) =nX i=1log(p(;xi)) =nX i=1jxij+nlog(=2) maximum en =1n n X i=1jxij 1 8/11 Christophe GiraudMAP433 Statistique Maximum de vraisemblance

Programme PC3

Programme aujourd'hui:

estimation par maximum de vraisemblance1cas continu

2modele exponentiel

3cas non i.i.d. et vectoriel

4cas discret

9/11 Christophe GiraudMAP433 Statistique Maximum de vraisemblance

Loi Gamma(2;1=)012345

0.0 0.2 0.4 0.6 loi Gamma(2,1/theta) x x * a^(-2) * exp(-x/a) theta=0.5 theta=2/3 theta=1 theta=210/11 Christophe GiraudMAP433 Statistique Maximum de vraisemblance

Modele Autoregressif020406080100

-1 0 1 2 theta= 0 n X

020406080100

-3 -2 -1 0 1 2 3 theta= 0.8 n X

020406080100

-5 0 5 10 theta= 1 n

XAvec2= 1.

11/11 Christophe GiraudMAP433 Statistique Maximum de vraisemblancequotesdbs_dbs43.pdfusesText_43