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Sch´ema de H¨orner

1 Le sch´ema de H¨orner pour le calcul de valeurs

1.1 Un exemple

Soit la fonction polynˆomePd´efinie parP(x) = 2x3-7x2+ 4x-1.

On souhaite calculerP(a) poura= 5.

Le calcul deP(5) n´ecessite 6 multiplications et 3 "additions-soustractions" :

P(5) = 2

×5×5×5-7×5×5+4×5-1 = 94

Si on utilise l"´ecriture suivanteP(x) = ((2x-7)x+ 4)x-1, le calcul de l"image de 5 n´ecessite 3 multi-

plications et 3 "additions-soustractions" :

P(5) = ((2

×5-7)×5+4)×5-1 = 94

On admet que l"´ecriture pr´ec´edente deP(x), nomm´ee sch´ema de H¨orner, se g´en´eralise `a un pˆolynome de

d´egr´e quelconque.

1.2 Pr´esentation pratique

En pratique, on peut pr´esenter le calcul pr´ec´edent deP(a) `a l"aide du tableau suivant :

2-74-1

a= 5101595

231994

construit selon la m´ethode d´ecrite ci-dessous :

P(a) =

2a3-7a2+ 4a-1

= ((2a-7)a+ 4)a-1

2-74-1

a= 5101595

231994

×a+

2 Le sch´ema de H¨orner pour la division parx-a

La derni`ere ligne du tableau pr´ec´edent ne nous livre pas seulement la valeur deP(a).

En effet, si construit en utilisant les trois premiers coefficients de cette ligne, le polynˆomeQde degr´e 2

de la mani`ere suivante :

231994

Q(x) =2x2+3x+19

on remarque que : Q(x)(x-a) = (2x2+3x+19)(x-5) = 2x3-7x2+4x-95 = (2x3-7x2+4x-1)-94 =P(x)-P(a). On admet que ce r´esultat se g´en´eralise `a un polynˆomePde d´egr´e quelconque.

Dans le cas particulier o`uaest une racine deP(c.a.d.P(a) = 0), le tableau de H¨orner nous donne la

factorisation deP(x) par (x-a).quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34