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DERNIÈRE IMPRESSION LE4 novembre 2015 à 16:34

Calcul d"une image d"un polynôme

par la méthode de Horner

1 Nombre d"opérations pour le calcul d"une image

1.1 Polynôme du second degré

Soit la polynômeP1défini par :P1(x) =3x2-5x+7

1) a) Calculer le nombre d"additions et de multiplication nécessaires pour calcu-

lerP1(8). b) Calculer à la mainP1(8).

2) a) Montrer que l"on peut écrire :P1(x) =7+x[-5+3x].

b) Calculer le nombre d"additions et de multiplications nécessaires pour cal- culerP1(8)avec cette nouvelle expression. c) Comment remplit-on le tableau suivant dont on a détaillé 3 étapes?

Que calcule-t-il?

3-57 824
3 3-57

824152

319
3-57

824152

319159

d) Par le même procédé calculerP1(-4)

1.2 Polynôme du troisième degré

Soit la polynômeP2défini par :P2(x) =5x3-7x2+4x-10

1) a) Calculer le nombre d"additions et de multiplications nécessaires pour cal-

culerP2(3) b) Calculer à la mainP2(3)

2) a) Montrer que l"on peut écrire :P2(x) =-10+x(4+x[-7+5x])

b) Calculer le nombre d"additions et de multiplication nécessaires pour calcu- lerP2(3)avec cette nouvelle expression. c) Comment remplit-on le tableau suivant dont on a détaillé 4 étapes?

Que calcule-t-il?

5-74-10

315
5

5-74-10

3152484

5828

5-74-10

31524
58

5-74-10

3152484

582874

d) Par le même procédé calculerP2(-4)

PAUL MILAN1PREMIÈRE S

1.3 Polynôme de degrén

Soit la polynômePdéfini par :P(x) =anxn+an-1xn-1+···+a1x+a0

1) Calculer le nombre d"additions et de multiplications nécessaires pour calculer

P(α)

2) a) Montrerquel"onpeutécrire:P(x) =a0+x(a1+x(a2+···+x(an-1+anx)...))

b) Calculer le nombre d"additions et de multiplication nécessaires pour calcu- lerP(α)avec cette nouvelle expression.

3) On donne le tableau suivant basé sur le même procédé que précédemment :

anan-1an-2...a2a1a0

αcn-1cn-2...c2c1c0

bn-1bn-2bn-3...b1b0S a) Quelle est la valeur debn-1? b) Comment calcule-t-oncn-1à partir debn-1? c) Comment calcule-t-onbn-2à partir dean-1etcn-1? d) On réitère le procédé comme indiqué par le tableau. Que vaut alorsla va- leurS?

2 Algorithme

On souhaite automatiser le procédé par un algorithme. On propose l"algorithme suivant :

Variables:N,I,J,Aentiers

L

1,L2listes

Entrées et initialisation

2LireN

3pourIde 1 àN+1faire

4LireJ

5J→L1(I)

fin

7LireA

8L1(N+1)→L2(1)

Traitement

10pourIde 1 àNfaire

11AL2(I)+L1(N-I+1)→L2(I+1)

fin

Sorties: AfficherL2(N+1)

1) Sur l"algorithme :

a) Pourquoi à la ligne 3, on va jusqu"àN+1? b) Que fait-on aux lignes 3, 4, 5? c) À quoi correspond la variableAà la ligne 7? d) À la ligne 8, a quoi correspondL2(1)? e) Expliquer la formule de la ligne 11.

2) Rentrer cet algorithme dans votre calculatrice.

a) Vérifier le résultat pourP1(4) b) Vérifier le résultat pourP2(4)

PAUL MILAN2PREMIÈRE S

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