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Universite Laval
Faculte des sciences et de genie
Departement de mathematiques et de statistiqueSTT-2902Automne 2012
Emmanuelle Reny-NolinCorrige - Serie 3
Regression lineaire simple
Exercice 1 - Densite europeenne
a)y=0,0001x+1,9583 0102030405060708090
0 100000 200000 300000 400000 500000 600000
Population(millionsd'habitants)
Superficie(km2)
PopulationenfonctiondelasuperficieOn voit qu'il y a probablement une relation lineaire croissante entre la population et
la supercie. Par contre, il est clair que la variance n'est pas constante autour de la droite (les residus acheraient un entonnoir ouvert a droite). On peut donc ajuster un modele lineaire avec n'importe quelle methode d'estimation (calculer l'equation d'une droite), mais on ne peut pas associer de marge d'erreur aux estimations des moindres carres comme on le ferait si tous les postulats etaient respectes. b) Esti mationde la densit emo yennede la p opulationen Europ e: i) en calculan tla mo yennedes 27 densit es: 27Pi=1y i=xi27 = 166;28 hab/km2 Ce calcul donne un poids egal a chaque pays. C'est la moyenne des densites des pays d'Europe, donc c'est la densite moyenne par pays. Les petits pays, ayant souvent une grande densite, ont plus de poids dans ce calcul. ii) en calculan tla p opulationtotale d es27 pa ys,et en la divisan tpar la sup ercie totale des 27 pays : 27X
i=1y i. 27X
i=1x i= 112;95 hab/km2
Ce calcul donne un poids egal a chaque km
2de territoire. Les grands pays ont
plus de poids dans ce calcul. Cette formule ne tient pas compte des divisions1Universite Laval
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Emmanuelle Reny-Nolinpolitiques. Si l'Europe etait un pays, ce serait sa densite de population. Bien s^ur,
cette densite n'est pas homogene. iii) e nestiman tla p ented ela droite de r egressionaux moindres carr es: 27Pi=1x iyi27xy 27
P i=1x2i27x
2= 100;74 hab/km2
Ce calcul donne une estimation de l'augmentation moyenne de la population lorsque le territoire augmente d'un km2. Cette estimation ne correspond pas exac-
tement a la valeur en a), car elle est calculee en minimisant l'erreur de prediction de la population a partir d'une supercie connue (les distances verticales par rap- port a la droite). Si la droite passait par 0 exactement, ce serait une facon d'envisager la densite "moyenne" (et on n'en est pas loin, puisque ^0= 1;96).A titre informatif, on peut forcer la droite de regression a passer par 0 (en minimisant la somme du carre des erreurs du modeleYi=1xi+"i), on obtient alors l'estimation suivante pour la pente : 27Pi=1x iyi27 P i=1x2i= 106;84 Exercice 2 - Drill, baby, drill! (Comme disait Sarah Palin) a) S XY=nP i=1(XiX)(YiY) nP i=1(XiYiXiYYiX+XY) nP i=1X iYiY nP i=1X iX nP i=1Y i+nXY nP i=1X iYiY(nX)X(nY) +nXY nP i=1X iYinXY 2
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Emmanuelle Reny-Nolinb)
S XY=nP i=1(XiX)(YiY) nP i=1(XiX)YinP i=1(XiX)Y nP i=1(XiX)YiY nP i=1(XiX) nP i=1(XiX)YiY(0) nP i=1(XiX)Yi c) @S@0= 0 sinP
i=1Y i=n^0+^1nP i=1X iOn isole
^0et on obtient^0=Y^1X.
@S@1= 0 sinP
i=1X iYi=^0nP i=1X i+^1nP i=1X2iEn remplacant
^0par^0=Y^1X, on obtient : n P i=1X iYiY nP i=1X i=^1(nP i=1X2iX nP i=1X i) n P i=1X iYinXY=^1(nP i=1X2inX 2)On isole
^1et on obtient^1=SXYS
XXd)En eet,
^1=SXYS XX=n P i=1(XiX)Yin P i=1(XiX)2 La principale consequence de cet etat de fait est que ^1suit une loi normale lorsqu'on suppose que lesYisuivent une loi normale (autour de la droite).3Universite Laval
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Emmanuelle Reny-NolinExercice 3 - Dans le ventre de sa maman...Modele 1 : Longevite en fonction de Gestation
Modele 2 : Longevite en fonction de ln(Gestation)
Modele 3 : ln(Longevite) en fonction de Gestation
Modele 4 : ln(Longevite) en fonction de ln(Gestation)a)Se lonles quatre graphiques de disp ersion,le mo dele4 est clairemen tcelui qui pr esente
la relation la plus lineaire, avec une variance a peu pres constante pour toutes les valeurs dex.0510152025303540450 100 200 300 400 500 600 700
Y=Longévitémoyenne(années)
x=Duréedegestation(jours)Modèle1:Yvsx
051015202530354045
Y ln(x)Modèle2:Yvsln(x)
0,000,501,001,502,002,503,003,504,00
0 100 200 300 400 500 600 700
ln(Y) xModèle3:ln(Y)vsx
0,000,501,001,502,002,503,003,504,00
2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 6,00 6,50 7,00
ln(Y) ln(x)Modèle4:ln(Y)vsln(x)b)
Appellation dans Excel Symbole FormuleCoeff. de determination multiplercoe. de correlation echantillonnal
Cov(X;Y)S
XSY=SXYpS
XXSY YCoeff. de determination R^ 2R21SSESST
=SSRSST =r2Coeff. de determination R^ 2R2ajuste1SSE=(n2)SST=(n1)= 1MSES 2y4Universite Laval
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Emmanuelle Reny-Nolinc)
Modele 1 : Y en fonction de XR2= 0:3275
Modele 2 : Y en fonction de ln(X)R2= 0:3925
Modele 3 : ln(Y) en fonction de XR2= 0:3535
Modele 4 : ln(Y) en fonction de ln(X)R2= 0:5883Le modele 4 est encore privilegie, car c'est celui pour lequel la proportion de variabilite
expliquee par le modele est la plus grande. d)2=MSE= 0:2000 e) mo yennedes r esidus= 3:4710160 et ecart-type des residus = 0:4413. On aurait pu trouver ces valeurs sans utiliser la liste des residus, car la moyenne des ecarts est toujours 0, et la variance echantillonnale des residus correspond a une petite transformation duMSE, soit s 2"=n P i=1(^"i")2(n1)=n P i=1([yi^yi]0)2(n1)=(n2)MSE(n1)