[PDF] SIMPLIFICATION DES EQUATIONS BOOLEENNES PDF Cours_07

Or les propriétés du OU logique permettent d'écrire: Z + Z = 1 Entrons les deux termes de l'équation S dans un tableau de Karnaugh à 8 cases: XY → Exercices Tableaux à 8 cases (*) a/ extraire l'équation du tableau ci dessous XY →

TD N°3: Synthèse Simplification par Tableau de Karnaugh DDans ce fascicule, on a proposé huit séries d'exercices qui couvrent les différentes parties du 1) Etablir l'équation logique de la sortie S en fonction des entrés sous

[PDF] Recueil dexercices sur les propriétés des variables et fonctions

Exprimer sous forme d'une expression logique la condition de délivrance de la police d'assurance n° 15 en utilisant la méthode de simplification de Karnaugh

[PDF] Algèbre de Boole - CNRS

Fonction logique : Expression de variables et d'opérateurs ( f = not(a)^ (c OR r t) ) L'objectif de la simplification des fonctions logiques est de : – réduire le nombre de 52 Exercice 2 : Donner l'équation de F ? A B C D F Circuits logiques

[PDF] Simplification des fonctions logique à laide des tableaux de

V ) Méthode de simplification d'une fonction logique Pour n variable VI) Exercices Sortir les équations simplifiées en utilisant les tableaux de KARNAUGH

[PDF] Les systèmes logiques combinatoires 1 Exercice 1 : 2 Exercice 2

Exercice 4 : Q6 Pour le logigramme suivant, donner l'équation logique de la sortie T en fonction des entrées a, b, c et d : Q7 Simplifier l'équation logique T Q8

[PDF] 1- Portes logiques et équations logiques

des variables d'entrées qui affecte (nt) l'état logique 1 à la sortie PLUSIEURS EXERCICE : Simplifiez les équations logiques, ci-dessous : (a b) à simplifier

[PDF] Corrigé des exercices

Le nor forme donc lui aussi un système complet £ ¢ ¡ Exercice 2 Utilisons l' algèbre de Boole pour simplifier l'expression :

[PDF] Algèbre de Boole – Equations logiques

III-1 4 Circuits logiques : III-1 4 1 Réalisation d'un logigramme à partir d'une équation : a III-4 1 Simplification des équations logiques par l'utilisation des fonctions logiques : bS bS aabS ba ab S III-5 3 3 Exercices : ) ( 1 cba S +×= NOR )

[PDF] Chapitre 2 : Algèbre de Boole - Catalogue des cours en ligne UFMC1

Exercice : Exercice 1 l'ensemble de théorèmes de l'algèbre de Boole Simplifier les fonctions logiques par les méthodes algébriques et graphique Le symbole graphique d'une porte logique NAND est représenté comme suit: Porte NON ET Cocher toutes les équations logique qui sont correctes parmi les suivante :

[PDF] exercice site donneur et accepteur d'électrons

[PDF] exercice solution espace vectoriel

[PDF] exercice son g et j ce1

[PDF] exercice spé maths terminale es type bac

[PDF] exercice spé maths terminale s arithmétique

[PDF] exercice spé maths terminale s divisibilité

[PDF] exercice spé maths terminale s matrice

[PDF] exercice spé physique bac 2015

[PDF] exercice spectre d une étoile

[PDF] exercice spectre rmn corrigé

[PDF] exercice spectre seconde qcm

[PDF] exercice spectroscopie rmn

[PDF] exercice spectroscopie uv visible

[PDF] exercice sphère

[PDF] exercice sphere et boule 3eme pdf

DU BINAIRE AU MICROPROCESSEUR - D ANGELIS

LOGIQUE COMBINATOIRE

SIMPLIFICATION DES EQUATIONS BOOLEENNES

Leçon 07

Le rôle de la logique combinatoire est de faciliter la simplification des circuits électriques. La simplification se

fait d'abord par une rationalisation de l'étude du problème qui conduit à la mise en équation la solution. La

réalisation finale s'effectuera à partir de l'équation obtenue. Il est évident que plus l'équation est simple, plus la

matérialisation en sera facile et son coût réduit. Ce sixième chapitre est consacré à la simplification des

équations et notamment par une utilisation rationnelle des tableaux de Karnaugh

Techniques de simplification

Première phase:

a/ Simplification algébrique

Soit l'équation suivante:

S = X .Y. Z + X .Y. Z

Nous pouvons lui appliquer les lois de la distributivité

S = X .Y ( Z + Z )

Or les propriétés du OU logique permettent d'écrire:

Z + Z = 1

Et celles du ET

S = X .Y. (1) = X.Y

Nous en déduisons:

S = X .Y. Z + X .Y. Z = X.Y

Les deux termes de notre équation ne différaient que d'un seul bit, dans l'un nous avions la variable Z dans l'autre Z les deux termes étaient donc adjacents. Lorsqu'on est en présence de deux termes adjacents, une mise en facteur entraînant une simplification est donc possible. Une volonté de simplification se traduit par une recherche des adjacences b/ Simplification à l'aide du tableau de Karnaugh Entrons les deux termes de l'équation S dans un tableau de Karnaugh à

8 cases:

Z Ļ

00 01 11 10 0 0 0 1 0

1 0 0 1 0

Nous constatons que les deux "1" qui représentent les deux termes de notre équations, deux

termes adjacents, se retrouvent côte à côte dans notre tableau. Nous pouvons faire le raisonnement suivant:

lorsque X et Y sont simultanément à 1, ce qui est le cas pour toute la colonne 11 de notre tableau, que Z soit à

0 ou à 1 cela ne modifie pas l'état de notre récepteur, donc nous sommes indé

pendant de Z et l'équation des deux cases réunies est X.Y Ajoutons un troisième terme à notre équation

Deuxième phase:

a/ Simplification algébrique

T = X .Y. Z + X .Y. Z + X . Y . Z

DU BINAIRE AU MICROPROCESSEUR - D ANGELIS

LOGIQUE COMBINATOIRE

Deux mises en facteur sont possibles:

T = X . Y ( Z + Z ) + X . Y . Z

ou bien

T = X . Z ( Y + Y ) + X .Y. Z

Le terme X.Y.Z est susceptible d'être utilisé dans deux mises en facteur or nous connaissons la

propriété de l'opérateur OU, X + X = X il en est de même pour (X . Y . Z) + (X . Y . Z) = X . Y . Z

Il est donc possible d'ajouter dans notre équation un terme qui existe déjà sans pour autant modifier sa table de

vérité.

T = X .Y. Z + X .Y. Z + X . Y . Z + X .Y. Z

rendant ainsi les deux mises en facteur possibles:

T = X .Y ( Z + Z ) + X . Z ( Y + Y )

d'ou

T = X . Y + X . Z

Noter qu'après ce résultat, mettre en facteur X ne ferait que modifier la présentation de l'équation mais ne la

simplifierait pas. b/ Simplification à l'aide du tableau de Karnaugh Entrons les trois termes de l'équation T dans un tableau de Karnaugh

à 8 cases:

Z Ļ

00 01 11 10

0 0 0 1 0

1 0 0 1 1

Nous constatons que les deux mises en facteur effectuées précédemment correspondent à deux

regroupements de cases adjacentes. Le tableau de Karnaugh étant codé en binaire réfléchi, le codage de deux

cases voisines ne diffère que d'un seul bit, deux cases voisines, verticalement ou horizontalement, sont

adjacentes. Le regroupement vertical est identique au précédent et donne le terme X.Y le regroupement

horizontal utilise une case déjà employée dans le premier regro upement, utiliser plusieurs fois une même

case d'un tableau de Karnaugh c'est ajouter à l'équation le même terme plusieurs fois, cela ne modifie

pas cette équation. Pour extraire l'équation du deuxième regroupement, nous examinons le codage de ces deux

cases et constatons que c'est la variable Y qui passant de 1 (case de gauche) à 0 (case de droite)nous fait

changer de cases sans modification du résultat, nous sommes donc dans ce cas indépe ndants de Y or pour les

deux cases concernées les variables X et Z étant toutes les deux égales à 1, l'équation du regroupement

horizontal est X . Z . L'équation est l'union de ces deux termes :

T =( X .Y ) + ( X . Z )

En conclusion:

Dans un tableau de karnaugh à N variables, il est possible de réunir deux cases voisines contenant des "1", horizontalement ou vert icalement ce qui entraîne l'écriture d'un terme unique pour les deux cases, codé à l'aide de N-1 variables du système. Dans un tableau de karnaugh il est possible d'utiliser une même case pour plusieurs regroupements.

Troisième phase:

Ajoutons à notre équation un quatrième terme

DU BINAIRE AU MICROPROCESSEUR - D ANGELIS

LOGIQUE COMBINATOIRE

45
a/Simplification algébrique

U = X .Y. Z + X .Y. Z + X . Y . Z + X . Y .Z

Deux mises en facteur sont possibles:

U = X . Y ( Z + Z ) + X . Y . ( Z + Z )

d'où

U = ( X . Y ) + ( X . Y )

or cette fois ci une deuxième mise en facteur apportant simplification est possible:

U = X . ( Y + Y )

d'où U = X

Nous aurions pu opérer d'une autre façon et notamment débuter nos mises en facteur d'une autre

manière:

U = X . Z ( Y + Y ) + X . Z ( Y + Y)

Nous aurions obtenu:

U = ( X . Z) + ( X . Z )

Ce qui permettait une nouvelle simplification

U = X . ( Z + Z )

d'où U = X b/ Simplification à l'aide du tableau de Karnaugh Entrons les quatre termes de l'équation U dans un tableau de Karnaugh

à 8 cases:

Nous pouvons effectuer des regroupements verticaux nous en tirons l'équation :

U = ( X . Y ) + ( X . Y )

Z Ļ

00 01 11 10

0 0 0 1 1

1 0 0 1 1

Que nous pouvons entrer dans un tableau à 4 cases: X Y 0 1 0 0 1 1 0 1 d'où nous tirons l'équation: U = X

Nous aurions pu opérer différemment:

effectuer des regroupements horizontaux dont nous aurions tiré l'équation:

U = ( X . Z ) + ( X . Z )

DU BINAIRE AU MICROPROCESSEUR - D ANGELIS

LOGIQUE COMBINATOIRE

46
XY

Z Ļ

00 01 11 10

0 0 0 1 1

1 0 0 1 1

Que nous pouvons entrer dans un tableau à 4 cases: X

Z Ļ

0 1 0 0 1 1 0 1 d'où nous tirons l'équation: U = X Nous voyons que , lorsque les cases contenant des 1 forment un carré, elles peuvent se regrouper

aussi bien horizontalement que verticalement en nous conduisant au même résultat. Nous pourrons effectuer

la simplification en une seule fois: XY

Z Ļ

00 01 11 10

0 0 0 1 1

1 0 0 1 1

Nous effectuerons le regroupement des quatre cases en une seule fois puis nous chercherons quelles sont les variables qui se modifient et donc que nous allons éliminer.

Ainsi le passage de la colonne de gauche à celle de droite est causée par la modification de Y de

même le passage de la ligne supérieure à la ligne inférieure se fait par la modification de Z. L'élément constant

de ces 4 cases est X qui est toujours égal à 1 l'équation est d onc U = X

En Conclusion:

Dans un tableau de Karnaugh à N variables, lorsque 4 "1" forment un carré, il peuvent se regrouper et s'écrire à l'aide d'un seul terme qui sera cod

é avec

N - 2 variables du système

VI - 1 - 4 - Quatrième phase:

Prenons maintenant une nouvelle équation à quatre termes a/ Simplification algébrique

V = X .Y .Z + X .Y .Z + X. Y .Z + X. Y .Z

DU BINAIRE AU MICROPROCESSEUR - D ANGELIS

LOGIQUE COMBINATOIRE

Deux mises en facteur sont possibles:

V = X .Y ( Z + Z) + X . Y . ( Z + Z )

d'où

V = ( X .Y ) + (X . Y )

puis une deuxième mise en facteur apportant simplification:

V = Y . ( X + X )

d'où V = Y b/ Simplification à l'aide du tableau de Karnaugh Entrons les quatre termes de l'équation V dans un tableau de Karnaugh

à 8 cases:

Nous pouvons effectuer des regroupements verticaux nous en tirons l'équation :

V = ( X .Y )+ (X . Y )

Z Ļ

00 01 11 10

0 1 0 0 1

1 1 0 0 1

Que nous pouvons entrer dans un tableau à 4 cases: X Y 0 1 0 1 1 1 0 0 d'où nous tirons l'équation: V = Y La simplification que nous venons d'effectuer aurait du être réalisée en une seule fois en

remarquant que les deux regroupements verticaux sont adjacents car symétriques par rapport à l'axe du code

binaire réfléchi. On se rappellera la technique de construction du code binaire réfléchi, écriture des deux

premières combinaisons puis réflexion de la première colonne etc...il y a donc un axe de réflexion qui passe

entre les colonnes 01 et 11 les deux regroupements sont donc adjacents le système se comporte comme la

structure en carré précédente La mise en équation se fera de la façon suivante: - recherche de la variable faisant changer de colonne ici X qui devient X - recherche de la variable qui fait changer de ligne Z qui passe à Z - recherche des éléments constants dans les cases regroupées ic i Y

V = Y

DU BINAIRE AU MICROPROCESSEUR - D ANGELIS

LOGIQUE COMBINATOIRE

En Conclusion:

Dans un tableau de Karnaugh à N variables, lorsque deux regroupements de 2m cases effectués conformément aux règles, sont symétriques par rapport à l'un des axes

du code binaire réfléchi ( horizontalement ou verticalement ), ils peuvent se regrouper, constituant ainsi

un ensemble de 2m+1 cases et s'écrire avec un seul terme qui sera codé à l'aide de N - (m+1) variables

Exploitation des tableaux de Karnaugh:

Nous avons vu la technique d'utilisation des tableaux de Karnaugh, nous allons maintenant à travers quelques

exemples nous perfectionner.

Tableaux à 16 cases

1er Exemple

ZT Ļ

00 01 11 10 00 1 00 0 04 0 12 1 08 01 0 01 0 05 0 13 0 09 11 0 03 0 07 0 15 0 11 10 1 02 0 06 0 14 1 10

Dans le tableau ci-dessus nous avons fait apparaître les axes de symétrie l'un horizontal et l'autre

vertical et numéroté les cases en fonction de leur codage, ceci pour rendre les explications moins laborieuses.

Nous voyons que les cases 00 et 08 contiennent un 1 et sont symétriques par rapport à l'axe vertical elles peuvent donc se regrouper en un paquet de deux (2

1) cases qui s'écrira à l'aide de 4 - 1 = 3

variables. Il en sera de même pour les cases 02 et 10, mais ces deux regroupements sont eux-même

symétriques par rapport à l'axe horizontal ils peuvent donc constituer un ensemble de 4 cases (22) s'écrivant

avec 4 - 2 variables.

Élaboration de l'équation:

Deux variables sont à éliminer celle qui fait changer de colonne et celle qui fait changer de ligne.

La variable qui fait changer de colonne est X qui passe de 0 à 1 La variable qui fait changer de ligne est Z qui passe de 0 à 1

Les éléments constants sont donc Y et T qui ont la valeur 0 l'équation est donc un ET entre ces deux variables

complémentées.

S = Y .T

DU BINAIRE AU MICROPROCESSEUR - D ANGELIS

LOGIQUE COMBINATOIRE

2ème Exemple

ZT Ļ

00 01 11 10 00 1 00 0 04 1 12 1 08 01 0 01 1 05 1 13 1 09 11 0 03 1 07 0 15 0 11 10 1 02 0 06 0 14 1 10

Dans le tableau ci dessus on retrouve les 4 cases du tableau précédent plus deux regroupements l'un de 4

cases en carré les cases 12,08,13,09 et les deux cases 05 et 07 nous voyons que la case 08 est utilisée deux

fois ce qui ne pose aucun problème.

L'équation sera donc composée de termes réunis par des OU, deux de deux variables et un de trois variables

Codage des 4 cases 00,08,02,10 (voir page 48) donne le terme: Y .T Codage des 4 cases 12,08,13,09 éliminent Y et T et conserve X et Z d'où X . Z Codage des 2 cases 05 et 07 élimine une variable Z et conserve X ,Y, T d'où X .Y. T

L'équation du tableau est donc:

S = Y .T + X . Z + X .Y. T

Tableaux à 32 cases

1er Exemple

XYZ ĺ

TU Ļ

000 001 1 011 010 2 110
111
3 101
100
00 1 00 0 04 0 12 1 08 1 24
1 28
1 20 0 16 01 0 01 0 05 0 13 0 09 0 25
0quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

[PDF] [PDF] SIMPLIFICATION DES EQUATIONS BOOLEENNES

DU BINAIRE AU MICROPROCESSEUR - D ANGELIS

LOGIQUE COMBINATOIRE

SIMPLIFICATION DES EQUATIONS BOOLEENNES

Leçon 07

Techniques de simplification

Première phase:

Soit l'équation suivante:

S = X .Y. Z + X .Y. Z

S = X .Y ( Z + Z )

Z + Z = 1

Et celles du ET

S = X .Y. (1) = X.Y

Nous en déduisons:

S = X .Y. Z + X .Y. Z = X.Y

8 cases:

Z Ļ

1 0 0 1 0

0 ou à 1 cela ne modifie pas l'état de notre récepteur, donc nous sommes indé

Deuxième phase:

T = X .Y. Z + X .Y. Z + X . Y . Z

DU BINAIRE AU MICROPROCESSEUR - D ANGELIS

LOGIQUE COMBINATOIRE

Deux mises en facteur sont possibles:

T = X . Y ( Z + Z ) + X . Y . Z

T = X . Z ( Y + Y ) + X .Y. Z

T = X .Y. Z + X .Y. Z + X . Y . Z + X .Y. Z

T = X .Y ( Z + Z ) + X . Z ( Y + Y )

T = X . Y + X . Z

à 8 cases:

Z Ļ

0 0 0 1 0

1 0 0 1 1

T =( X .Y ) + ( X . Z )

En conclusion:

Troisième phase:

DU BINAIRE AU MICROPROCESSEUR - D ANGELIS

LOGIQUE COMBINATOIRE

U = X .Y. Z + X .Y. Z + X . Y . Z + X . Y .Z

Deux mises en facteur sont possibles:

U = X . Y ( Z + Z ) + X . Y . ( Z + Z )

U = ( X . Y ) + ( X . Y )

U = X . ( Y + Y )

U = X . Z ( Y + Y ) + X . Z ( Y + Y)

Nous aurions obtenu:

U = ( X . Z) + ( X . Z )

Ce qui permettait une nouvelle simplification

U = X . ( Z + Z )

à 8 cases:

U = ( X . Y ) + ( X . Y )

Z Ļ

0 0 0 1 1

1 0 0 1 1

Nous aurions pu opérer différemment:

U = ( X . Z ) + ( X . Z )

DU BINAIRE AU MICROPROCESSEUR - D ANGELIS

LOGIQUE COMBINATOIRE

Z Ļ

0 0 0 1 1

1 0 0 1 1

Z Ļ

Z Ļ

0 0 0 1 1

1 0 0 1 1

En Conclusion:

é avec

N - 2 variables du système

VI - 1 - 4 - Quatrième phase:

V = X .Y .Z + X .Y .Z + X. Y .Z + X. Y .Z

DU BINAIRE AU MICROPROCESSEUR - D ANGELIS

LOGIQUE COMBINATOIRE

Deux mises en facteur sont possibles:

V = X .Y ( Z + Z) + X . Y . ( Z + Z )

V = ( X .Y ) + (X . Y )

V = Y . ( X + X )

à 8 cases:

V = ( X .Y )+ (X . Y )

Z Ļ

0 1 0 0 1

1 1 0 0 1