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UE7 - MA5 : Analyse
SERIES NUMERIQUES
réelles ou complexesI. Généralités
Définition 1
Etant donnée une suite (u
n ) de nombres réels ou complexes, on appelle série de terme général un la suite (S n ) définie par : (1) S n = u 0 + u 1 + ... + u n k = 0n uk est appelée somme partielle d'indice n (ou de rang n , ou d'ordre n) de la série.Notation
On note généralement
n 0 u n ou u n la série de terme général u n Exemples de séries déjà considérées : Séries géométriques ; suites définies par des relations de récurrence S n = S n-1 + u n ; écriture décimale (éventuellement illimitée) d'un réel.Définition 2 ,
de la convergenceOn dit que la série
u n converge si la suite (S n ) définie en (1) converge.Dans ce cas, la limite de la suite (S
n) est appelée somme de la série et notée S = n = 0& u nQuand la suite (S
n ) ne converge pas, on dit que la série diverge.Remarque 1
Si on considère seulement (u
n) pour n n 0 > 0 , on peut, pour n n 0 , poser S n k = n 0 n uk et appeler alors série de terme général u n la nouvelle suite (S nCette série est alors notée
n n 0 u n 2 Il est aisé de vérifier que la convergence de n 0 u néquivaut à celle de
n n 0 u n , mais en général n = 0& u n n'est pas égal à n = n 0 u n quand la série converge.Définition 3
Pour une série convergente,
n 0 u n , de somme S et de sommes partielles S n , on appelle reste d'ordre (ou de rang n) la différence R n = S - S n R n est aussi la somme de la série convergente p n + 1 u p , c'est-à-dire R n p= n + 1& u pExemple
Si u n = 1 n(n + 1) pour n 1 , on obtient u n = 1 n , S n = 1 - 1 n + 1 et la série n1 1 n(n + 1) converge et a pour somme 1.Exemple
Si u n = (-1) n pour n 0 , S n = 1 si n est pair alors que S n = 0 si n est impair, et la série (-1) n diverge.Théorème 1
Si la série
u n converge, alors le terme général u n tend vers 0 quand n tend vers + & .Attention : la réciproque de ce théorème est fausse et il existe des séries dont le terme général tend
vers 0 et qui sont divergentes (voir 1 n ci-dessous).