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LICENCE DE GENIE CIVIL ET INFRASTRUCTURES
MECANIQUE DES STRUCTURES
Galilei Galileo (dit Galilée 1564-1642) Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuoue scienze
Laurent DAUDEVILLE
- 2 - PréambuleCe polycopié est un support aux cours et travaux dirigés de Licence de Sciences et Technologies, spécialité Génie Civil
et Infrastructures. Il ne peut se substituer aux enseignements délivrés par l'équipe pédagogique. Il est constitué d'un
succinct rappel de cours et de nombreux exercices.Sommaire
Rappels de cours et formulaires...........................................................................................................3
1. Bases de la Résistance Des Matériaux (RDM).............................................................................................................3
2. Le flambement.................................................................................................................................................................3
3. Théorèmes énergétiques.................................................................................................................................................4
4. Méthode des forces - Superposition de problèmes isostatiques..................................................................................4
5. Poutres continues - Formules des trois moments..........................................................................................................5
6. Méthode des déplacements.............................................................................................................................................5
7. Formulaire de flèches de poutres isostatiques...............................................................................................................7
8. Formulaire des réactions de liaison de la poutre bi-encastrée......................................................................................7
9. Intégrales de Mohr..........................................................................................................................................................8
Exercices, Problèmes et sujets d'examens.........................................................................................12
1. Structures isostatiques...................................................................................................................................................12
2. Calcul de déformées de structures isostatiques (par application du PTV)................................................................14
3. Portique isostatique.......................................................................................................................................................15
4. Treillis isostatique.........................................................................................................................................................15
5. Poutres hyperstatiques - Méthode des forces..............................................................................................................15
6. Problème : Tablier de pont...........................................................................................................................................17
7. Problème : Flèche de lève-charges...............................................................................................................................18
8. Portique encastré en pied..............................................................................................................................................19
9. Hyperstaticité interne - Portique à travée articulée.....................................................................................................19
10. Portique - Méthode des 3 moments.............................................................................................................................19
11. Examen de première session 2000...............................................................................................................................20
12. Examen de seconde session 2003................................................................................................................................21
13. Poutres hyperstatiques - Méthode des déplacements.................................................................................................21
14. Examen de première session 2001...............................................................................................................................22
15. Examen de première session 2002...............................................................................................................................23
16. Examen de première session 2003...............................................................................................................................24
17. Examen de première session 2004...............................................................................................................................25
18. Examen de première session 2005...............................................................................................................................26
19. Bâtiment industriel (examen IUP-GCI Toulouse)......................................................................................................27
20. Structure en treillis........................................................................................................................................................28
21. Influence de la flexion dans les treillis........................................................................................................................29
- 3 - RAPPELS DE COURS ET FORMULAIRES1. Bases de la Résistance Des Matériaux (RDM)
Une poutre est un solide dont l'une des dimensions est grande devant les 2 autres ( L >> a , b). Une poutre est générée
par une surface dont le centre de gravité décrit une courbe appelée fibre moyenne de grande longueur devant a et b. Elle
est schématisée par un milieu curviligne.Torseur des efforts intérieurs en G(s
0): {}ï
MR TEfforts exercés par la partie droite (s>s 0) sur la partie gauche (s2. Le flambement
La force critique de flambement (théorie de Euler), pour une barre bi-articulée de longueur Lf, d'inertie de flexion I et
de module d'Young E, est : LEIF2f2
critp= Configuration de flambement de la barre de longueur L Longueur équivalente L f L f = LLf = 2L
L f = 2 L L f = 2L S G
(s)Partie gauche s < s0 Partie droite s > s
0 G (s
0) coupure t - 4 - 3. Théorèmes énergétiquesPour une poutre droite de longueur L sous chargement plan, l'énergie de déformation réelle est : dx)GST
EIMESN(21WL
0 1222d Pour une poutre élancée, la contribution de l'effort tranchant à W d est négligeable devant celle de la flexion.
Le travail réel d'une action mécanique de résultante Fr, de moment Cr en P, appliquée à un solide S en mouvement par
rapport au référentiel R est : )C.F.U(21WR/SR/SPevvrrW+=ÎPrincipe des travaux virtuels (PTV) : Le travail des efforts intérieurs réels (N, M, T) dans un champ de déformation
virtuel (dus aux efforts intérieurs virtuels N*, M*, T*) est égal au travail des efforts extérieurs réels dans le champ de
déplacement virtuel (associé aux déformations virtuelles). Pour une poutre de longueur L soumise à des forces et moments aux points P i, le PTV s'écrit : )]P(.C)P(U.F[dx)GSTT
EIMMESNN()U,F(W),(W*
i i i* i iL 0 1*** *e*dW+=++Û=esåòr rrrThéorème de la charge unité : Soit v le déplacement en P selon nrd'une poutre de longueur L, on applique une force
virtuelle d'intensité égale à 1 en P selon nrpour déterminer v. Selon le PTV et en négligeant l'effet de T :
v =dx)EIMMESNN(L
0**ò+ N, M efforts intérieurs réels et N
*, M* efforts intérieurs dus à la force +14. Méthode des forces - Superposition de problèmes isostatiques
La méthode est illustrée avec l'exemple de problème hyperstatique de degré h (h=2) ci-contre. Ce problème est équivalent à la superposition de (h+1) problèmes isostatiques associés à h conditions cinématiques. Soient X1 et X2 les réactions aux appuis en 1 et 2. problème 0 problème 1 problème 2 0XX122111101=++=ddDD
Conditions
cinématiques 0XX222211202=++=ddDD D0iflèche en i (i=1,2) dans le pb 0 dij flèche en i (i=1,2) dans le pb j pour une force Xi=1 Après calculs ou par utilisation d'un formulaire : EI12FL7310-=D, EI16FL273
20-=D, EI3L3
11 =d, EI3L83 22=d, EI6L53
1221==dd d'où X1=56
43F et X2=28
11F 2 0 1 L L/2 L/2 F
2 0 1 X 1 X 2 F2 0 1 2 0 1
- 5 - 5. Poutres continues - Formules des trois moments Poutre continue soumise à des efforts verticaux. Soit Mi le moment fléchissant à l'appui i. La poutre est supposée d'inertie constante EI. Soit +qi (resp. -qi) la rotation à droite (resp. à gauche) de l'appui i pour la travée i à i+1 (resp. i-1 à i) considérée indépendante. La formule des trois moments est :1i1i1iiii1iiiLM)LL(M2LM)(EI6+++--++++=q-qSoient vi+1, vi et vi-1 les dénivellations des appuis i+1, i et i-1 par rapport à une ligne de référence. La formule devient :
1i1i1iiii1i
i1ii1ii1iiiLM)LL(M2LM)Lvv
Lvv(EI6+++--
-++++=-+-+q-q Les moment et effort tranchant dans la section d'abscisse x de la travée i-1 sont : Avec m(x) et t(x) les efforts intérieurs dus au chargement extérieur sur la travée considérée indépendante, l'abscisse x ayant son origine à l'appui i-1.6. Méthode des déplacements
Lois de comportement de la poutre ij dans la base (y,xrr) liée à la poutre Convention : Tij = force transverse en i exercée par l'extérieur sur la poutre ij. Les effort sont orientés par la base (y,xrr), donc en j on a le torseur des efforts intérieurs (action de x+ sur x-), en i on a l'opposé des efforts intérieurs. Convention : 0ijT = force transverse en i dû au chargement extérieur pour une poutre encastrée en i et j (voir formulaire). ï ++-=+-=+--w-w-=+-+w+w=+-+w+w=+-+w+w= 0 jijiji0 ijjiij0 jiji3j2i2ji0 ijji3j2i2ij0 jiji2jiji0 ijji2jiijNuLEAuLEANNuLEAuLEANT)vv(LEI12
LEI6LEI6TT)vv(LEI12
LEI6LEI6TM)vv(LEI6
LEI4LEI2MM)vv(LEI6
LEI2 LEI4M i-1 i L i L i+1 i+1 M i+1 M i-1 N ji x yE, A, L j i N
ij T ij T ji M ji M ij XY x y i j a ï i1iii1i
ii LMM)x(t)x(T)
Lx1(MLxM)x(m)x(M
- 6 - Ecriture canonique de la méthode des déplacements pour une seule poutre ij : ij U = vecteur des déplacements inconnus de la poutre ij ijK = matrice de rigidité de la poutre ij ij
F = vecteur des forces inconnues de la poutre ij ֏ae
w w j jjiii ij vuv uU ; ÷
èae
ji jijiijijij ij M TNMTNF 0
ijijijijFUKF+= 0 ij F= vecteur des forces connues de la poutre ij, dues au chargement extérieur entre les noeuds d'où le système à résoudre sur les poutres ij : globglobglob ijbarres0 ij noeudsnoeudsextij ijbarresFUKFFUKij=Ûå-å=å®Expressions de ij
K dans les bases locale (y,xrr) et de la structure (Y,Xrr) On note : C = cos a ; S = sin aEn traction :
Alors ÷
èae
j jii ij vuvuU et ÷
èae
ji jiijij ij TNTNF Y,X22222222
ij y,xijSCSSCSCSCCSCSCSSCSCSCCSC
L EAK0000010100000101
L EAK rrrr÷÷÷÷÷èae
èae
En flexion : y,x222323222323
ij L EI4LEI60LEI2
LEI60LEI6
LEI120LEI6
LEI12000LEA00LEALEI2
LEI60LEI4
LEI60LEI6
LEI120LEI6
LEI12000LEA00LEA
K rr÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷èae
=avec ֏ae
w w j jjiii ij vuv u UY,X22222
2 32322
32
3232
32
232
3222222
2 32322
32
3232
32
232
32
ij L
EI4CLEI6SLEI6
LEI2CLEI6SLEI6C
LEI6CLEI12SLEACSLEI12CSLEACLEI6CLEI12SLEACSLEI12CSLEAS LEI6CSLEI12CSLEASLEI12CLEASLEI6CSLEI12CSLEASLEI12CLEALEI2CLEI6SLEI6LEI4CLEI6SLEI6C
LEI6CLEI12SLEACSLEI12CSLEACLEI6CLEI12SLEACSLEI12CSLEAS LEI6CSLEI12CSLEASLEI12CLEASLEI6CSLEI12CSLEASLEI12CLEA K rr÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷èae
- 7 - 7. Formulaire de flèches de poutres isostatiques a Pxy L0£x£a : y(x) = EIL6)L(Pa-[x3-a(2L-a)x] y'(x) = EIL6)L(Pa-[3x2- a (2L- a)]
a£x£L : y(x) = EIL6Pa[(L-x)3-(L-a)(L+a)(L-x)] y'(x) = EIL6Pa[-3(L-x)2+(L-a)(L+a)] y(a) = - 2 2EIL3)L(Pa-a pour x=a
y(2L) = - EI48PL3 pour x=a=2
L p y(x) = - )xLLx2x(EI24p334+- y'(x) = - )LLx6x4(EI24p323+- y(2L) = - EI48pL
854pour x=2 L M y(x) = )xL2Lx3x(EIL6M223+- y'(x) = )L2Lx6x3(EIL6M22+- a LP
0£x£a : y(x) = EI6)3x(Px2a- y'(x) = EI2)2x(Pxa-
a£x£L : y(x) = EI6)x3(P2-aa y(L) = - EI3PL3 pour x=a=L Lp y(x) = - )xL6Lx4x(EI24p2234+- y'(x) = - )xL3Lx3x(EI6p223+- y(L) = - EI8pL4 pour x=L8. Formulaire des réactions de liaison de la poutre bi-encastrée
0 ijT= 2 qL ; 0jiT= 2 qL ; 0ijM= 12 Lq2 ; 0jiM= 12 Lq2-0ijT= )
L2a1(Lqa23
- ; 0jiT= ) L2aLa1(qa33
220 ijM= ) a3aL8L6(L12a q22 22
+- ; 0jiM= )a3L4(L12a q23 0 ijT= 2
F ; 0jiT= 2
F ; 0ijM= 8
FL ; 0jiM= 8
FL- 0 ijT= F ; 0jiT= F ; 0ijM= L)aL(Fa- ; 0jiM= L)aL(Fa-- 0 ijT= )a3b(LFb32 + ; 0jiT= )ab3(LFa32 + ; 0ijM= L Fab22 ; 0jiM= LFba22-
0 ijT= L abC63 ; 0jiT= L abC63- ; 0ijM= CL)ba2(b2- ; 0jiM= C
L)ab2(a2-
i j q i j q a i j L/2 L/2 F F i j a F a i j a b F a b i j C - 8 - 9. Intégrales de Mohr - 9 - - 10 - - 11 - - 12 - EXERCICES, PROBLEMES ET SUJETS D'EXAMENS1. Structures isostatiques
Après avoir vérifié que les structures suivantes sont isostatiques, déterminer les diagrammes des efforts normal (N),
tranchant (T) et du moment fléchissant (M) au sein de celles-ci.