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Automatique
Cours d'Automatique ELEC4
S. Icart
Table des matieres
I Generalites 3
1 Systemes multivariables 3
2 Quelques rappels sur la transformee de Laplace 3
3 Transfert 4
3.1 Fonction de transfert (systeme monovariable) . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 Matrice de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4 Prise en compte des conditions initiales 4
5 Linearisation autour d'un point de fonctionnement 5
II Systemes lineaires stationnaires 7
1 Systeme lineaire stationnaire continu 7
1.1 Equations d'etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Resolution du systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Calcul d'une exponentielle de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Lien entre representation interne et representation externe 9
3 Changement de base sur l'etat et realisation 10
4 Modes d'un systeme 11
5 Stabilite 12
5.1 Rappels sur la stabilite d'une representation externe . . . . . . . . . . . . . 12
5.2 Stabilite au sens de Lyapounov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.3 Stabilite asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6 Systeme discret lineaire stationnaire 13
6.1 Resolution du systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6.2 Calcul d'une puissance de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6.3 Stabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1
7 Discretisation d'un systeme continu 14
III Implantation d'une loi de commande par retour d'etat 15
1 Commandabilite 15
1.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Critere de commandabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Forme canonique commandable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Observabilite 16
2.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Critere d'observabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Dualite observabilite{commandabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Minimalite 17
4 Decomposition canonique dans l'espace d'etat 17
4.1 Sous-espace de commandabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2 Decomposition d'un systeme non commandable . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.3 Sous-espace non observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.4 Decomposition d'un systeme non observable . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5 Commande par retour d'etat 18
6 Observateur 19
7 Association d'un observateur et d'une commande par retour d'etat 20
2
Automatique
Premiere partie
Generalites
1 Systemes multivariables
Dans ce cours, on s'interessera a des systemes multivariables, i.e des systemes compor- tant plusieurs entrees (actionneurs) et plusieurs sorties (capteurs). Les signaux d'entree et de sortie sont alors representes par des vecteurs notes respectivementu(t) ety(t) en temps continu etuk etyk en temps discret. mentreesu(t) est un vecteur2IRm psortiesy(t) est un vecteur2IRp On supposera toujours verie lePrincipe de causalite: la sortie ne depend pas des valeurs futures de l'entree. y(t) =h(u[t0;t];t)t0t
2 Quelques rappels sur la transformee de Laplace
Denition :
Soitf(t) est une fonction causale (i.e nulle pourtnegatif), alors, on denit la trans- formee de Laplace def(t) par :
F(p) =Z
+1 0 f(t)eptdt (relation biunivoque entref(t) etF(p)).
Theoreme de la derivee :
L df(t)dt =pL(f(t))f(0+)
Theoreme du produit :
L(f(t))L(g(t)) =L(f ? g(t))
ou?est le produit de convolution.
Transformee de Laplace d'un vecteur :
six(t) =0 B @x
1(t)...
x n(t)1 C
AalorsL(x(t)) =0
B @L(x1(t))...
L(xn(t))1
C A 3
3 Transfert
3.1 Fonction de transfert (systeme monovariable)
Si le systeme est lineaire stationnaire continu i.e si les signaux d'entree et de sortie sont relies par une equation dierentielle a coecients constants,
Si les conditions initiales sont nulles,
alors par le theoreme de la derivee, on obtient :
Y(p) =G(p)U(p)
avecG(p) fraction rationnelle enp. G(p) est appelee fonction de transfert du systeme. Pour obtenir la reponse du systeme a une entree quelconque, il sut d'utiliser la trans- formee de Laplace inverse : y(t) =L1(Y(p)) =g ? u(t) =Z +1 1 g()u(t)d oug(t) est la reponse impulsionnelle du systeme (transformee de Laplace inverse de la fonction de transfert). D'apres le principe de causalite, on obtient donc : y(t) =g ? u(t) =Z t 0 g()u(t)d La fonction de transfert (ou de maniereequivalente la reponse impulsionnelle du systeme) est une repesentation entree/sortie du systeme, appelee aussi representation externe.
3.2 Matrice de transfert
Dans le cas d'un systeme lineaire sationnaire multivariable, si les conditions initiales sont nulles, on obtient :
Y(p) =G(p)U(p)
ouU(p) etY(p) sont les transformees de Laplace des signaux (vectoriels) d'entree et de sortie et ouG(p) est cette fois une matrice rationnelle (pm), appelee matrice de transfert.
4 Prise en compte des conditions initiales
Si les conditions initiales sont non nulles, alors, une representation externe ne sut plus. L'etude du comportement du systeme necessite une representation interne.
On ecrit le systeme dynamique sous la forme :
_x(t) =f(x(t);u(t);t); x0 =x(t0) y(t) =(x(t);u(t);t) 4
Automatique
Si les conditions initiales sont en nombre susant, et si les fonctionsfetgsont susam- ment regulieres, le systeme () admet une solution unique. Le vecteurx(t) est alors appele vecteur d'etat du systeme (vecteur2IRn) et () est une representation interne du systeme.
Propriete :
Tout le passe est resume dans l'etat, soit :
x(t) =(t0;t;x(t0);u[t0;t]) =(t1;t;x(t1);u[t1;t])8t2[t0;t1] u(t) = ~u(t)8t2[t0;t1] x(t0) = ~x(t0) )x(t) = ~x(t)8t2[t0;t1]
Notion d"état
temps
état
u(t)=u~(t) t 0 x(t 0 ) u(t) u~(t) t 1
5 Linearisation autour d'un point de fonctionnement
On linearise autour d'un point de fonctionnement (trajectoire admissible) (x ;y ;u en faisant le changement de variables : 8>< :~x(t) =x(t)x ~y(t) =y(t)y ~u(t) =u(t)u _x(t) =f(x;u;t) y(t) =(x;u;t)devient(_~x(t) =f(~x+x ;~u+u ;t) y(t) =(~x+x ;~u+u ;t)y 5 Examinons le cas monovariable et ou l'etat n'a qu'une composante. On fait alors un developpement limite au premier ordre defet: _ ~x(t) =f(x;u;t) +@f@~x(x;u;t)~x+@f@~u(x;u;t)~u soit, _~x(t) =f(x;u;t) +a~x+b~u. Si (x;y) est un point d'equilibre, on af(x;u;t) = 0
De m^eme,
~y(t) =(x;u;t) +@@~x(x;u;t)~x+@@~u(x;u;t)~uy soity(t) =c~x+d~u. Dans le cas multivariable stationnaire, on peut montrer que le systeme linearise est _x(t) =Ax(t) +Bu(t) y(t) =Cx(t) +Du(t) avec
A=@fi@x
j(x;u) i= 1 an j= 1 anB=@fi@u j(x;u) i= 1 an j= 1 am
C=@i@x
j(x;u) i= 1 ap j= 1 anD=@i@u j(x;u) i= 1 ap j= 1 am 6
Automatique
Deuxieme partie
Systemes lineaires stationnaires
1 Systeme lineaire stationnaire continu
1.1 Equations d'etat
Dans le cas d'un systeme lineaire stationnaire continu, la representation interne est : _x(t) =Ax(t) +Bu(t) y(t) =Cx(t) +Du(t)
A,B,C,Detant des matrices constantes.
Remarque :systeme non lineaireA(x;u), ..., non stationnaireA(t), ...
Amatrice d'evolution (ou de dynamique) (2IRnn)
Bmatrice de commande (ou d'entree) (2IRnm)
Cmatrice d'observation (ou de sortie) (2IRpn)
Dmatrice de transmission directe (2IRpm)
On appelle matrice de transition d'etat la matrice(t;t0) telle que la solution du systeme libre (u(t) = 08t) estx(t) =(t;t0)x0
1.2 Resolution du systeme
8 >>>>>:x(t) =eA(tt0)x0 +Z t t
0eA(t)Bu()d
reponse reponse forcee systeme libre etat initial nul y(t) =CeA(tt0)x0 +Z t t
0CeA(t)Bu()d
1.3 Calcul d'une exponentielle de matrice
Developpement en serie
e
At=I+At+A2t22
+Aktkk!+ (a eviter sauf siAnilpotente ou involutive)
Transformee de Laplace inverse
e
At=L1(pIA)1
7 Changement de base (diagonalisation ou forme de Jordan)
Soientvi
les vecteurs propres deA Avi =ivi { SiApossede n vecteurs propres independants, alorsAest diagonalisable. SoitT la matrice formee des vecteurs propres et la matrice diagonale ayant les valeurs propres deAsur la diagonale :
T= (v1
jv2 j:::jvn ) =0 B 1... n1 C A
AT=A(v1
jv2 j:::jvn = (v1 jv2 j:::jvn )0 B 1... n1 C A =T
Or il est simple de montrer queet= diageitet que
e
At=TetT1
{ Sinon,Apossede des vecteurs propres et des vecteurs propres generalises. On peut alors mettreAsous forme de Jordan On decomposeJenJ= +Z, ou est diagonale etZnilpotente. etZcommutant, on obtienteJt=eteZt. 8
Automatique
multiplicite deinb de vect. propres independantsBloc de Jordan nrg(IA)21 i1 0i2 i0 0i diagonalisable310 i1 0 0i1 0 0i1 A
1 bloc de dim 320
i1 0 0i0 0 0i1 A ou0 i0 0 0i1 0 0i1 A30 i0 0 0i0 0 0i1 A diagonalisable2 Lien entre representation interne et representation externe Si les conditions initiales sont nulles, alors en prenant la transformee de Laplace des equations d'etat et de sortie, on obtient le matrice de transfert :
G(p) =C(pIA)1B+D
Le systeme est strictement propre siD= 0 (pas de lien direct entree/sortie, le systeme ne laisse pas passer les impulsions), il est juste propre sinon. Exemple (cf cours);\on ne voit pas tout sur le transfert". Reciproquement, comment obtenir une realisation a partir d'une fonction de transfert? On etudiera seulement les systemes monovariables. NotonsG(p) =N(p)D(p). Sid(N(p)) =d(D(p)), alors, il existe une partie entiere (qui donne la matriceD) d'ou,G(p) =q+N1(p)D(p)avecd(N1(p))< d(D(p)) (strictement propre).
SiN(p) scalaire, alors,
Y(p)U(p)=N(p)D(p)=bp
n+an1pn1++a0 9 On choisit comme variables d'etat les derivees successives de la sortie et on obtient comme realisation : A=0 B
BBBB@0 1 00
0 0 1 1 a0a1an11 C
CCCCAB=0
B BBB@0 0 b1 C CCCA
C=1 00
Aest sous forme compagne :Les coecientsaisont les coecients du polyn^ome caracteristique deA: det(IA) =n+an1n1++a1+a0
SiN(p) polynomial,
Y(p)U(p)=bmpm+bm1pm1++b0p
n+an1pn1++a0 alors, en posant
Z(p)U(p)=1D(p)
et en prenant comme etat les derivees successives dez, on obtient
AetBinchangees
C=b0b1bm00
Autres choix possibles:::
3 Changement de base sur l'etat et realisation
On considere la realisation d'etat suivante :
_x(t) =Ax(t) +Bu(t)x0 =x(t0) y(t) =Cx(t) +Du(t) Comme nous le verrons plus loin, il peut ^etre interessant de faire des changements de base dans l'espace d'etat (an de "dem^eler" les equations). SoitPla matrice de changement de base associee et soit ~xles coordonnees du vecteur d'etat dans la nouvelle base. On a ainsi x=P~x.
Le systeme d'equations precedent devient donc :
P_~x(t) =AP~x(t) +Bu(t)
y(t) =CP~x(t) +Du(t) 10
Automatique
ou encore : _~x(t) =P1AP~x(t) +P1Bu(t);~x0 =P1x0 y(t) =CP~x(t) +Du(t) On obtient ainsi une realisation appeleerealisation equivalenteou les matricesA;B;C;D sont remplacees respectivement par les matrices~A=P1AP;~B=P1B;~C=CP;~D=D (il est normal que cette derniere matrice soit inchangee puisque rien n'a ete modie d'un point de vue entree-sortie). On veriera que la matrice de transfert est inchangee :
G(p) =C(pIA)1B+D=~C(pI~A)1~B+~D
4 Modes d'un systeme
La reponse du systeme libre _x(t) =Ax(t) est donnee parx(t) =eAtx0 * SiAest diagonalisable, six0 est un vecteur propre deA, x(t) =eAtx0 = (I+At+A2t22 +)vi = (1 +it+2it22 +)vi =eitvi La trajectoire libre est donc une droite que l'on parcourt plus ou moins vite selon la valeur dei.
Les couples (i,vi
) sont appeles modes du syteme (direction et "vitesse" dans cette direction). six0 est quelconque
Aetant diagonalisable, on peut decomposerx0
sur la base des vecteurs propres : x0 =nX i=1 ivi La trajectoire obtenue est donc une combinaison lineaire des trajectoires propres. * Si A n'est pas diagonalisable, par exemple, bloc de Jordan e Jt=0 B @1ttn1(n1)!...t 11 C Aet Six0 est un vecteur propre deA. x(t) =etx0 Six0 est un vecteur propre generalise la trajectoire est une combinaison deset,tet,t22 et::: 11quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22
[PDF] Représentation et analyse des syst`emes linéaires PC 3 Formes