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Exercices sur les ensembles et applications : corrigé ECE3 Lycée Carnot 14 octobre 2009 Exercice 1 On a A = N\{1; 3; 5; 7} (non, pas la peine d'insister, on ne
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Pour les trois exercices suivants, on rappelle que deux ensembles A et B sont dits en bijection s'il existe une application bijective entre A et B Exercice 8 Soient A
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2 1 2 Opérations sur les ensembles 2 1 6 Exercices sur les ensembles NOTIONS DE LOGIQUE MATHÉMATIQUE Corrigés Corrigé 1 5 1 (1) (n = 2) ∧ (n
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Exercice 12 ***IT Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes (f est une application d'un ensemble E dans lui-même) : 1 f est injective 2 ∀X ∈ 乡(E ),
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Ensembles, relations, applications : corrigé Exercice no 1 Par symétrie des rôles de A, B et C, A∆(B∆C) est également l'ensemble des éléments qui sont
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est une application (i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni injective Justifier 3 Soit ∈ ℕ ∖ {0,1}
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Feuille 1 - Calcul ensembliste 1 Ensembles, éléments, inclusion 1 Exercice corrigé en amphi Soit E = {0,1} (a) Décrire P(E), l'ensemble des parties de E
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Algèbre
Ensembles et applications
Denis Vekemans
Exercice 1SoitEun ensemble. Montrer que pour toutes partiesA,BetCdeE: ?A?B=A?CA∩B=A∩C=?B=C.
Exercice 2SoitEun ensemble. Montrer que pour toutes partiesA,BetCdeE: (A?B)∩(B?C)∩(C?A) = (A∩B)?(B∩C)?(C∩A). Exercice 3SoitEun ensemble. SoientA,BetCtrois sous-ensembles deE. Montrer que 1. (A?B)∩C= (A∩C)?(B∩C). 2. (A?B)?C=A?(B?C). Exercice 4Soientf:N-→Nl"application qui, à tout entierx, associe2xetg:N-→Nl"applica- tion qui, à tout entiery, associey2siyest pair ety-12sinon.
1. Etudier l"injectivité, la surjectivité, la bijectivité defetg.
2. Déterminerg◦fetf◦g.
3. Déterminer(g◦f)net(f◦g)n.
Exercice 5On considère l"applicationfdeR2dansR3définie par f(x,y) = (x+y,3x-y,2x+y).1. Etudier l"injectivité, la surjectivité, la bijectivité def.
?Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais
cedex ; France 1L1 Maths - InfoAlgèbre2008
2. Sifest bijective, déterminerf-1.
3. Que vautf(R2)?
Exercice 6On considère l"applicationfdeR3dansR3définie par f(x,y,z) = (x-y+ 2z,-x+y-z,2x-y+z).1. Etudier l"injectivité, la surjectivité, la bijectivité def.
2. Sifest bijective, déterminerf-1.
3. Que vautf(R3)?
Exercice 7SoientE,F,GetHquatre ensembles etf,gethtrois applications f:E-→F;g:F-→G;h:G-→H. Montrer queg◦feth◦gsont bijectives si et seulement sif,gethsont bijectives. Exercice 8SoientEun ensemble etf:E-→Etelle quef◦f◦f=f. Montrer quefest injective si et seulement sifest surjective. Exercice 9SoientAetBdeux parties non vides d"un ensembleEetfl"application deP(E)dansP(A)× P(B)définie, pour toutX? P(E), par
f(X) = (A∩X,B∩X).1. Montrer quefest injective si et seulement siA?B=E.
2. Montrer quefest surjective si et seulement siA∩B=∅.
3. Supposons queA?B=EetA∩B=∅. Déterminer l"application réciproque def.
Exercice 10SoientEetFdes ensembles,fune application deEdansF. A toute partieAdeE, on associe son ensemble image :f(A) ={y?F|?x?A,f(x) =y}. On définit ainsi une application (notée encoref) deP(E)dansP(F). A toute partieBdeF, on associe son ensemble image réciproque : :f-1(B) ={x?E|f(x)?B}. On définit ainsi une application deP(F)dansP(E).1. Montrer que pour toute famille{Ai,i?I}de parties deE, on a :
f(? i?IA i) =? i?If(Ai) f(? i?IA i)?? i?If(Ai) Donner un exemple où l"inclusion précédente est stricte. -2/3-MathématiquesL1 Maths - InfoAlgèbre2008
2. Montrer que pour toute famille{Bi,i?I}de parties deF, on a :
f -1(? i?IB i) =? i?If -1(Bi) f -1(? i?IB i) =? i?If -1(Bi) f -1(BF) =f-1(B)E.
3. Montrer que l"on a pour toutX?Eet pour toutY?F:
X?f-1(f(X)),
f(f-1(Y))?Y. Donner des exemples dans lesquels ces inclusions sont strictes.Références
[1] M. Gran,fiches de TD (L1), Université du Littoral Côte d"Opale. [2] M. Serfati,Exercices de mathématiques. 1. Algèbre, Belin, Collection DIA, 1987.[3] D. Duverney, S. Heumez, G. Huvent,Toutes les mathématiques - Cours, exercices corrigés - MPSI,