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IUT d"Orsay 2012-20013

´epartement Informatique DUT 1A - S1

Exercices de math

´ematiques

Feuille 1 - Calcul ensembliste

1 Ensembles,

´el´ements, inclusion

1.Exercice corrig´e en amphi

SoitE=f0;1g.

(a) D

´ecrireP(E), l"ensemble des parties deE:

(b) D

´ecrireP(P(E)):

2.Exercice corrig´e en amphi

Quels sont les

´el´ements deP(;)? Quels sont ceux deP(P(;))? 3. D

´ecrireP(E)pourE=fa;b;cg

Soit E=fa;b;cg:Compl´eter par2,62,ou6:

(a)a E (b)fagE (c)d E (d)fag P(E) (e);E (f); P(E) (g)fa;bgE (h)EP(E) (i)fa;dg P(E). 5.

Soient AetBdeux parties d"un ensembleE.

Montrer queP(A) P(B)si et seulement siAB:

2 Op

´erations dansP(E)

1.Exercice corrig´e en amphi

SoientA,BetCtrois parties d"un ensembleE. D´emontrer les propri´et´es suivantes : (a)

Lois de Mor gan: A[B=A\BetA\B=A[B:

1 (b)Distrib utivit ´e :A[(B\C) = (A[B)\(A[C)etA\(B[C) = (A\B)[(A\C)

2.Exercice corrig´e en amphi

SoientA;BetCtrois parties d"un ensembleEnon vide. On d´efinit la diff´erence :

AB=fx2E;x2A et x62Bg:

(a)

Exprimer ABen fonction deAetB.

(b)

Calculer AAetEA.

(c)

Montrer que

ABABet donner un exemple o`u l"´egalit´e n"est pas vraie. (d)

Montrer que A(B\C) = (AB)[(AC).

3. Soit E=f1;2;3;4;5;6;7;8get trois parties deE:A=f1;3;5;7g,B=f2;4;6;8get

C=f1;2;3;4;5g:

(a)

Calculer

A,A[C,B\C,(A\C)[B,A\(C[B),AC,CA:

(b) V

´erifier que(A\C)[B6=A\(C[B)etAC6=CA:

Soient Aune partie d"un ensembleE.

(a)

Calculer A[ ;,A\ ;,A[E,A\E,A[A,A\A:

(b)

Calculer

E,;,A:

(c)

Montrer que A\(A[B) =A[(A\B) =A:

Soient A,BetCtrois parties d"un ensembleE.

Simplifier :A\(A[B),A[(A\B),A\(A[B)\(A[B[C),A[(A\B)[(A\B\C).

6.Exercice suppl´ementaire

A4B= (AB)[(BA)

(a) Si E=f1;2;3;4;5;6;7;8g, calculerf1;3;5;7g 4 f3;7g. (b)

Calculer A4A,A4EetA4 ;.

(c)

Montrer que A4B= (A[B)\A\B:

(d)

Montrer que (A4B)\(A4C)A4(B\C):

(e)

Montrer que A4(B[C)(A4B)[(A4C):

7.Exercice corrig´e en amphi

SoientA,BetCtrois parties d"un ensembleE.

(a) Montrer par un raisonnement par l"absurdeque siABalorsBA: (b) En d

´eduire queABsi et seulement siBA:

8.Exercice corrig´e en amphi

(a)

Montrer que si AB, alors(A\C)(B\C).

On dit aussi :

i. il suf fitque ABpour que(A\C)(B\C) ii.ABest unecondition suffisantede(A\C)(B\C) iii. il est n ´ecessaire (ou il faut) que(A\C)(B\C)pour queAB iv.(A\C)(B\C)est unecondition n´ecessairedeAB (b)

Ecrire la r

´eciproque de la proposition pr´ec´edente puis montrer qu"elle est fausse en prenantA=f1;2g,B=f2;3getC=f2g:

On dit alors :

i. il ne suf fitpas que (A\C)(B\C)pour queAB ii.(A\C)(B\C)n"est pas unecondition suffisantedeAB iii. il n"est pas n ´ecessaire (ou il ne faut pas) queABpour que(A\C)(B\C) iv.ABn"est pas unecondition n´ecessairede(A\C)(B\C) 9.

Soient AetBdeux parties d"un ensembleE.

Montrer queA[B=Asi seulement siBA:

10.

Soient A,BetCtrois parties d"un ensembleE.

(a) Montrer par un raisonnement par l"absurdeque siA\B=A\C, alorsA\B= A\C: (b) En d

´eduire queA\B=A\Csi et seulement siA\B=A\C:

(c) La proposition : " si A\B=A\C, alorsA\B=A\C" peut-elle aussi s"´ecrire i. il suf fitque A\B=A\Cpour queA\B=A\C? ii. il suf fitque A\B=A\Cpour queA\B=A\C? iii. il f autque A\B=A\Cpour queA\B=A\C? iv. il f autque A\B=A\Cpour queA\B=A\C? v.A\B=A\Cest une condition suffisante deA\B=A\C? vi.A\B=A\Cest une condition n´ecessaire deA\B=A\C? vii.A\B=A\Cest une condition suffisante deA\B=A\C? viii.A\B=A\Cest une condition n´ecessaire deA\B=A\C?

11.Exercice suppl´ementaire

SoientA,BetCtrois parties d"un ensembleE.

(a)

Montrer que s iA[BA[CetA\BA\C, alorsBC:

(b)

Reformuler la ques tionpr

´ec´edente en terme de condition n´ecessaire et/ou suffisante. 3

12.Soient AetBdeux parties d"un ensembleE.

(a) D

´emontrer queP(A)\ P(B) =P(A\B):

(b) D

´emontrer queP(A)[ P(B) P(A[B):

C =2 P(A)[ P(B):Conclure.

13.Exercice corrig´e en amphi

SoitE=f1;2;3;4g:D´ecrire toutes les partitions deEconstitu´ees de trois parties deE: 14. Soit E=f1;2;3g:D´ecrire toutes les partitions deE:

3 Produit cart

´esien

1.Exercice corrig´e en amphi

SoientEetFdeux ensembles,AetBdeux parties deE:

(a) D

´eterminerE ;

(b)

Montrer que (A[B)F= (AF)[(BF)

(c)

Montrer que (A\B)F= (AF)\(BF)

Soient E=f1;2;3g,F=f0getG=fa;bg.

´eterminerEF,FE,GG,EFG,P(FG).

3. Soient EetFdeux ensembles,A,BetCtrois parties deEformant une partition deE: (a)

Rappeler la d

´efinition de :A,BetCforment une partition deE: (b)

Montrer que AF,BFetCFforment une partition deEF:

4.Exercice suppl´ementaire

SoientEetFdeux ensembles o`uFest non vide,AetBdeux parties deE: Montrer par unraisonnement par l"absurdequeA\B=;si et seulement siAF\ BF=;:

4 Ensembles finis

1.Exercice corrig´e en amphi

D ´emontrer que siEetFsont deux ensembles finis, alorsEFest fini et jEFj=jEj jFj 4

2.Exercice corrig´e en amphi

SoientAetBdeux parties d"un ensemble finiE.

(a)

Montrer que jA[Bj=jAj+jBjsiAetBsont disjoints.

(b)

Montrer que jA[Bj=jAj+jBj jA\Bj:

Soient A,BetCtrois parties d"un ensemble finiE.

D ´emontrer quejA[B[Cj=jAj+jBj+jCjjA\BjjA\CjjB\Cj+jA\B\Cj: 4.

Rappel de l aformule du bin

ˆome de Newton : pour tout entiernpositif ou nul, (a+b)n=nX k=0 n k a kbnk (a)

Appliquer la form uledu bin

ˆome de Newton aveca=b= 1pour calculer

k=nX k=0 n k (b) Soit Eun ensemble fini`an´el´ements o`unest un entier positif ou nul,pun entier compris entre 0 etn:Quel est le nombre de parties deEqui contiennent exactement p

´el´ements?

´eduirejP(E)jpuisjP(P(E))j:

5quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

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´ematiques

Feuille 1 - Calcul ensembliste

1 Ensembles,

´el´ements, inclusion

1.Exercice corrig´e en amphi

SoitE=f0;1g.

´ecrireP(E), l"ensemble des parties deE:

´ecrireP(P(E)):

2.Exercice corrig´e en amphi

Quels sont les

´ecrireP(E)pourE=fa;b;cg

Soit E=fa;b;cg:Compl´eter par2,62,ou6:

Soient AetBdeux parties d"un ensembleE.

Montrer queP(A) P(B)si et seulement siAB:

´erations dansP(E)

1.Exercice corrig´e en amphi

Lois de Mor gan: A[B=A\BetA\B=A[B:

2.Exercice corrig´e en amphi

AB=fx2E;x2A et x62Bg:

Exprimer ABen fonction deAetB.

Calculer AAetEA.

Montrer que

Montrer que A(B\C) = (AB)[(AC).

C=f1;2;3;4;5g:

Calculer

A,A[C,B\C,(A\C)[B,A\(C[B),AC,CA:

´erifier que(A\C)[B6=A\(C[B)etAC6=CA:

Soient Aune partie d"un ensembleE.

Calculer A[ ;,A\ ;,A[E,A\E,A[A,A\A:

Calculer

E,;,A:

Montrer que A\(A[B) =A[(A\B) =A:

Soient A,BetCtrois parties d"un ensembleE.

6.Exercice suppl´ementaire

A4B= (AB)[(BA)

Calculer A4A,A4EetA4 ;.

Montrer que A4B= (A[B)\A\B:

Montrer que (A4B)\(A4C)A4(B\C):

Montrer que A4(B[C)(A4B)[(A4C):

7.Exercice corrig´e en amphi

SoientA,BetCtrois parties d"un ensembleE.

´eduire queABsi et seulement siBA:

8.Exercice corrig´e en amphi

Montrer que si AB, alors(A\C)(B\C).

On dit aussi :

Ecrire la r

On dit alors :

Soient AetBdeux parties d"un ensembleE.

Montrer queA[B=Asi seulement siBA:

Soient A,BetCtrois parties d"un ensembleE.

´eduire queA\B=A\Csi et seulement siA\B=A\C:

11.Exercice suppl´ementaire

SoientA,BetCtrois parties d"un ensembleE.

Montrer que s iA[BA[CetA\BA\C, alorsBC:

Reformuler la ques tionpr

12.Soient AetBdeux parties d"un ensembleE.

´emontrer queP(A)\ P(B) =P(A\B):

´emontrer queP(A)[ P(B) P(A[B):

C =2 P(A)[ P(B):Conclure.

13.Exercice corrig´e en amphi

3 Produit cart

´esien

1.Exercice corrig´e en amphi

SoientEetFdeux ensembles,AetBdeux parties deE:

´eterminerE ;

Montrer que (A[B)F= (AF)[(BF)

Montrer que (A\B)F= (AF)\(BF)

Soient E=f1;2;3g,F=f0getG=fa;bg.

´eterminerEF,FE,GG,EFG,P(FG).

Rappeler la d

Montrer que AF,BFetCFforment une partition deEF:

4.Exercice suppl´ementaire

4 Ensembles finis

1.Exercice corrig´e en amphi

2.Exercice corrig´e en amphi

SoientAetBdeux parties d"un ensemble finiE.