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Test de comparaison d'une moyenne à une valeur théorique µ0=11 : test bilatéral de l'hypothèse nulle H0 : µ=µ0=11 contre l'hypothèse alternative H1 : µ 

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est de petite taille (n ≤ 30), les tests de comparaisons d'une moyenne observée à une 3 Répétez l'exercice mais cette fois-ci posez H1 unilatérale droite 

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3°) Ce test de comparaison de deux variances ne doit pas être confondu avec le test F utilisé en analyse de la variance qui lui est un test unilatéral 4°) Prenons un 

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2) Avant d'appliquer un test de comparaison de moyennes, on veut s'assurer que l'on peut supposer les On reprend les données d'un exercice vu au premier semestre (dossier pedago) moyenne de 11 0, et un écart type corrigé de 5 02

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Corrigé Durée : 1h30 Tous documents autorisés Calculatrices autorisées Le but de cet exercice est de reprendre les tests qui ont été faits d'un point de vue Le but du deuxième test est uniquement de faire une comparaison avec 0 et 

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UV PSY38X2 - Traitement de donnees - Licence de Psychologie - FGC - 2003/20041

Comparaison de deux variances, F de Fisher

Exercice 1

Deux methodes de dosage de l'azote ont ete repetees, a partir d'un m^eme echantillon, 25 fois avec la methode A, 30 fois avec la methode B. Les resultats sont rassembles dans les tableaux ci-dessous.Methode A x i(en g)n i371 392
402
414
427
434
442
462
471

Total25Methode B

x i(en g)n i392 401
416
429
438
443
451

Total30

1) Tester l'hypothese : \les valeurs moyennes obtenues par les deux methodes sont egales".

(Autrement dit, les methodes sont-elles exactes?)

2) Comparer les variances des echantillons traites avec les deux methodes. (Autrement

dit, les deux methodes ont-elles la m^eme precision?) Reponses : 1) Les parametres de statistiques descriptives sont donnes par :Methode AMethode B

Moyenne42.0842.10

Variance4.951.89

Variance corrigee5.161.96

Le test de comparaison des deux moyennes (groupes independants) conduit a :tobs= :04, evidemment non signicatif aux seuils traditionnels. On ne peut donc pas refuser l'hypotheseH0d'egalite des moyennes.

2) La statistique de test suit une loi de Fisher addl1= 24etddl2= 29degres de liberte.

On obtient :Fobs= 2:63. Au seuil de 1% unilateral, on aFcrit= 2:49. On conclut donc a une dierence des variances.

Exercice 2

Au cours de certaines experiences, on est amene a mesurer letemps de reaction(TR) des sujets. C'est le temps qui s'ecoule entre la presentation d'un stimulus (par exemple, une lampe qui s'allume devant le sujet) et la reaction que ce stimulus doit declencher (par exemple, presser un bouton). Premiere experience.| Le tableau 1 fournit les TR d'une personne qui a reagi 20 fois a l'allumage d'une lampe rouge. On constate que ces 20 TR ne sont pas egaux. Ces variations d'un moment a l'autre sont imprevisibles a partir des informations dont on dispose dans l'experience. Deuxieme experience.| Le sujet voit maintenant s'allumer devant lui une lampe qui peut ^etre rouge, verte ou jaune. il doit reagir si la lampe est rouge, mais ne doit pas reagir dans UV PSY38X2 - Traitement de donnees - Licence de Psychologie - FGC - 2003/20042 les deux autres cas. Le tableau 1 fournit 20 TR mesures dans ces conditions. On observe de nouveau des variations imprevisibles d'un moment a l'autre. Troisieme experience.| Les conditions sont les m^emes que dans la premiere experience (une seule lampe) avec une seule dierence : au lieu d'^etre rouge, la lampe donnant le signal de la reaction est verte. La troisieme ligne du tableau donne les resultats. Les temps sont de nouveau dierents entre eux.Numero d'ordre des 20 presentations1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1ere experence20 15 18 25 17 32 18 17 19 23

2e experience32 40 33 37 35 29 42 62 50 39

3e experience16 18 19 18 15 18 17 32 23 19

Numero d'ordre des 20

presentations11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1ere experience19 21 15 22 17 17 21 19 17 23

2e experience45 47 52 37 38 39 40 41 42 39

3e experience23 20 18 25 15 15 17 23 17 19

La dispersion des TR est-elle la m^eme dans chacune des trois conditions experimentales? Pour repondre a cette question, comparer deux a deux les variances des trois series de donnees. Reponses : Les variances des trois series sont donnees par :VarianceVariance corrigee

1ere experience14.8915.67

2e experience53.8556.68

3e experience16.2317,08

Pourddl1= 19etddl2= 19et un seuil de 5%, on a :Fcrit= 3:00. Ici,F2;1;obs= 3:61, F

2;3;obs= 3:31,F3;1;obs= 1:09. Pour les experiences 1 et 3, l'hypothese nulle (m^eme

variance) peut ^etre retenue. En revanche, l'experience 2 conduit a une variance dierente de celles des deux autres.

Exercice 3Dossier \pedago"

Lors d'une experience pedagogique, on s'interesse a l'eet compare de deux pedagogies des mathematiques chez deux groupes de 10 sujets : { pedagogie traditionnelle (p1) { pedagogie moderne (p2) On note la performance a une epreuve de combinatoire. UV PSY38X2 - Traitement de donnees - Licence de Psychologie - FGC - 2003/20043p

1traditionnelle

s15.0 s24.0 s31.5 s46.0 s53.0 s63.5 s73.0 s82.5 s91.5 s102.5p

2moderne

s114.0 s125.5 s134.5 s146.5 s154.5 s165.5 s171.0 s182.0 s194.5 s204.5

1) Verier que les parametres des deux echantillons sont donnes par :

p 1p

2Moyenne3.2504.250

Ecart-type1.3651.553

Variance1.8632.413

Ecart-type corrige1.4391.637

Variance corrigee2.0692.681

2) Avant d'appliquer un test de comparaison de moyennes, on veut s'assurer que l'on

peut supposer les variances egales dans les populations parentes. Proceder a un test de comparaison de variances permettant de s'en assurer. Reponses : 2) On obtientFobs= 1:30. Or, pourddl1= 9,ddl2= 9et un seuil de 5%, on lit dans la table :Fcrit= 3:18. L'hypotheseH0(egalite des variances) est donc retenue.

Exercice 4

1) Pourddl1= 2;ddl2= 4, la densitefde la loi de Fisher-Snedecor est donnee, pour

x0 par : f(x) =8(2 +x)3 Construire point par point la courbe de la fonctionf.

2) Pourddl1= 4;ddl2= 4, la densitegde la loi de Fisher-Snedecor est donnee pourx0

par : g(x) =6x(1 +x)4 Construire point par point la courbe de la fonctiong. Analyse de la variance a un facteur (ANOVA) : comparaison de kmoyennes sur des groupes independants

Exercice 5

Un editeur veut choisir entre trois couvertures possibles pour une revue. A cet eet, il a fait noter chaque couverture par un groupe de 5 sujets. Les trois groupes ainsi constitues sont independants. Les notes obtenues sont les suivantes : UV PSY38X2 - Traitement de donnees - Licence de Psychologie - FGC - 2003/20044Couv. 1Couv. 2Couv. 3

141614

61416
12814
10814
81412
Le test indique-t-il une dierence signicative entre les trois couvertures? Reponses : Exercice traite en CM. Rappel des resultats.

Calcul des sommes de carres :C1C2C3Total

T j506070180 T

2j250036004900

n j55515 T 2jn j5007209802200P x2ij5407769882304 SC

1= 2200180215

= 40 ;SC2= 23042200 = 104 ;SCT= 144SourceSCddlCMF

A40220F

obs= 2:31Residuelle104128:67Total14414 Au seuil de 5%,Fcrit(2;12) = 3:89. La dierence entre les groupes n'est donc pas signi- cative. Complement : Modele de score. Chaque observationxijpeut s'interpreter comme la somme de trois termes : x ij=+aj+eij avec les regles suivantes : |est la moyenne de la variableXetudiee (la m^eme, quel que soit l'individu ou le groupe); |ajest un eet d^u au groupe (le m^eme pour tous les individus d'un groupe), nul en moyenne; |eijest une variation due au hasard, specique a chaque observation, de moyenne nulle dans chaque groupe. Sur l'exemple traite, cette decomposition s'ecrit : 0 B

BBBBB@14 16 14

6 14 16

12 8 14

10 8 14

8 14 141

C

CCCCCA=0

B

BBBBB@12 12 12

12 12 12

12 12 12

12 12 12

12 12 121

C

CCCCCA+0

B

BBBBB@2 0 2

2 0 2 2 0 2 2 0 2

2 0 21

C

CCCCCA+0

B

BBBBB@4 4 0

4 2 2 24 0
04 0 2 221 C

CCCCCA

Les sommes des carres inter-groupes et intra-groupes se retrouvent alors comme sommes des carres des elements des deux dernieres matrices (par exemple :40 = 5(2)2+522). UV PSY38X2 - Traitement de donnees - Licence de Psychologie - FGC - 2003/20045

Exercice 6

Dans un etablissement scolaire, on a reparti les eleves en trois classes de troisieme; les notes ci-dessous sont celles obtenues par les eleves en mathematiques au Brevet des Colleges. Peut-on dire que ces trois classes sont equivalentes? Si oui, quelles seraient les caracteristiques de la population resultant de la fusion des trois groupes?G1G2G3 1487
15188
20311
71211
81520
13814
quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28