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Précisions sur les types de

raisonnement à exploiter en mathématique Direction de la formation générale des jeunes

6HŃPHXU GH O·pGXŃMPLRQ SUpVŃROMLUH HP GH O·HQVHLJQHPHQP SULPMLUH HP VHŃRQGMLUH

0LQLVPqUH GH O·eGXŃMPLRQ HP GH O·(QVHLJQHPHQP VXSpULHXU

Plan de la présentation

™Sens de la compétence

™Principaux types de raisonnement

™StratĠgies sollicitĠes dans l'edžercice des compétences

™Situation d'apprentissage

™Exemples de tâches

2 2

Sens de la compétence

Déployer un raisonnement mathématique consiste à formuler des conjectures, à critiquer, à justifier ou à infirmer une proposition en faisant appel à un ensemble organisé de savoirs mathématiques. premiercycle, p. 242. 3

À la fin du premier cycle du secondaire,

l'Ġlğǀe est en mesure... de mettre à profit les concepts et les processus appropriés à la situation; d'edžpĠrimenter différentes pistes pour confirmer ou réfuter ses conjectures. Il les valide soit en appuyant chaque étape de sa solution sur des concepts, des processus, des règles ou des des contre-exemples.

PFEQ, premier cycle,p. 245.

n'ont pas encore ĠtĠ dĠmontrĠs

Rejeterl'ĠnoncĠ

4 À la fin du deuxième cycle du secondaire, dans les trois séquences de formation, l'Ġlğǀe est en mesure... d'Ġmettre des conjectures en mettant à profit les concepts et les processus appropriĠs et les confirme ou les rĠfute ă l'aide de différents types de raisonnement; de valider ces conjectures en appuyant chaque étape de sa preuve sur des concepts, des processus, des règles ou des énoncés déjà

PFEQ, Enseignement secondaire,

deuxièmecycle, mathématique, p. 32.

Ensemble de justifications basées sur des

observations, des définitions et des théorèmes 5

Principaux types de raisonnement

Raisonnement

par analogie

Raisonnements

propres

à chacun

des champs

Raisonnement

inductifRaisonnement déductif

RĠfutation ă l'aide d'un

contre-exemple

Lesraisonnements

particuliers à chaque champ mathématique sont les raisonnements arithmétique, proportionnel, algébrique, géométrique, probabiliste et statistique. 6 6

Le raisonnement inductif

Le raisonnement inductif consiste

à généraliser à partir de

O·RNVHUYMPLRQ GH ŃMV SMUPLŃXOLHUVB

PFEQ, deuxièmecycle, p. 28.

7

Le raisonnement par analogie

Le raisonnement par analogie

consisteà comparer divers

élémentsen V·MSSX\MQPsur des

ressemblancespour tirerdes conclusions [oupour émettredes conjectures].

PFEQ, deuxième cycle, p. 28.

8

Le raisonnement déductif

Le raisonnement déductif, quiest

ŃRQVPLPXp G·XQ HQŃOMvQHPHQP

[logique] de propositions, permet de tirer des conclusions à partir

G·pQRQŃpV ŃRQVLGpUpV ŃRPPH YUMLVB

PFEQ, deuxièmecycle, p. 28.

Démonstration:

Élaboration formelle d'un enchaŠnement d'Ġtapes qui s'appuie sur des définitions, des théorèmes ou des énoncés déjà admis et qui respecte le symbolisme, les règles et les conventions. 9

PFEQ, premiercycle, p. 243.

La réfutationà l'aided'un contre-exemple

La UpIXPMPLRQ j O·MLGH G·XQ ŃRQPUH-exemple

SHUPHP G·LQYMOLGHU XQHconjecture émise

sans statuer sur ce qui est vrai.

PFEQ, deuxièmecycle, p. 28.

10

Principaux types de raisonnement

Raisonnement

par analogie

Raisonnements

propres

à chacun

des champs

Raisonnement

inductifRaisonnement déductif

RĠfutation ă l'aide d'un

contre-exemple 11 11 StratĠgies sollicitĠes dans l'edžercice des compĠtences Se représenter la situation mentalement ou par écrit

Générer des exemples

Rechercher des régularités

Anticiper des résultats et les interpréter selon le contexte Se référer à un problème analogue déjà résolu Dégager de nouvelles données à partir de données connues

PFEQ, premiercycle, p. 262.

PFEQ, deuxièmecycle, p. 115-116.

12 StratĠgies sollicitĠes dans l'edžercice des compĠtences desonenseignantoudesespairs lesréutiliser ressemblances Etc.

PFEQ, premiercycle, p. 262.

PFEQ, deuxièmecycle, p. 115-116.

13

Le raisonnement

en apprentissage 14

Distinction

si son rayon est de: a)͵cm b)6 cm

Edžercice d'application

Yu'arriǀe-t-il ă l'aire d'un

disque si on double son rayon?

Tâche de raisonnement

15

Aire = 2,4 cm2

Aire = 4,8 cm2

Est-ce que les différents résultats

des élèves respectent la relation proposée?

Est-ce que tous ces exemples sont

suffisants pour justifier que, si la hauteur est doublée, l'aire double aussi?

Exemple de questions préparatoires

Yu'arriǀe-t-il ă l'aire d'un rectangle si on double sa hauteur? 16 On peut dĠterminer l'aire d'un rectangle en multipliant la mesure de la base Si on double la hauteur de dĠpart, on dĠterminera l'aire du nouveau rectangle en multipliant la mesure de la base, qui n'a pas changé, par la nouvelle hauteur, qui correspond à la hauteur de départ multipliée par 2. Ceci équivaut à multiplier par 2 l'aire du rectangle de départ. C'est pourquoi l'aire sera deux fois plus grande. Exemple de justification qui accompagne la conjecture 17 Confirmez ou infirmez l'ĠnoncĠ suivant : lorsque le rayon

Diverses formulations

18

EXEMPLES DE TÂCHES

19

Exemples: premier cycle

ses dimensions doublent, triplent ou quadruplent. soustrait ensemble deux fractions unitaires? 20

Exemples: premier cycle (Suite)

triangle est égale à 360o. Dans une distribution statistique, lorsque la valeur de chacune des données est doublée, la moyenne double aussi.

Démontrez, prouvezà l'aided'un raisonnement

rigoureuxen vousbasantsur des propriétés, des définitionset des justifications 21

Exemples: premier cycle (Suite)

nombres opposés dans une distribution statistique, la moyenne ne change pas. viande. Si le prix de chacun des ingrédients augmente de 5 %, de quel pourcentage augmentera le prix total du hamburger?

Vérifiezque l'ĠnoncĠestvrai

envousappuyantsur une preuve

Trouvezun contre-exemple

22
déterminez leur plus grand commun diviseur (pgcd) et leur plus petit commun multiple (ppcm). Que pouvez-vous dire à propos du produit du pgcd et du ppcmde ces deux nombres?

Exemples: premier cycle (Suite)

23

Exemples : 3esecondaire

former des équipes distinctes de 3 personnes que de 9 personnes dans un groupe de 12 personnes. sont équivalentes si . 24

Exemples: 3esecondaire(Suite)

cylindrique avec un débit constant, la relation entre la hauteur de fonction du premier degré. de l'angle droit. Formulez une relation entre les mesures des cathètes, de l'hypotĠnuse et de la hauteur tracée. Expliquez. 25

Exemple: 3esecondaire(Suite)

d'uneinéquationpar un nombrenégatif, le symboled'inĠgalitĠ 26

Exemples: 4esecondaire

deux angles supplémentaires? réciproques de fonctions sont des fonctions. Si l'affirmation est ǀraie, démontrez-le. Si elle est fausse, donnez un contre-exemple. 27

Exemples: 4esecondaire(Suite)

statistiquesqui ontle mêmeécartmoyenontla mêmemoyenne. isométriques. déterminesur cescôtésdes segments dontles mesuressont proportionnelles. 28

Exemple: 4esecondaire (Suite)

triangles de même aire. 29

Exemples: 4esecondaire(Suite)

dont les extrémités se situent sur chacun des axes et ce, parallèlement à .

On détermineensuiteles coordonnéesdu

point milieu de chacun de cessegments.

Quellien existe-t-ilentre le lieu

géométriquedes points milieuxet les segments tracés? Justifiez. 30

Exemples: 5esecondaire

côtés passe par le centre du cercle est un triangle rectangle. un cercle sont supplémentaires. 31

Exemples: 5esecondaire(Suite)

Conjecturezà propos du lien entre le rapport

et les paramètres het kde la règle de la fonction. graphiquespossiblesd'une fonctionrationnelle:

Formulez une conjecture

32

Exemples: 5esecondaire(Suite)

les paramètres aet kde la règle de la fonction? Justifiez. 33

Conclusion

Compréhension

Atteinte de la compétenceStratégies

Contextes variés

Présence régulière de questions

nécessitant un raisonnement

Divers types de raisonnement

34
34

Pour nous joindre

Mariannik Toutant

Direction de la formation générale des jeunes mariannik.toutant@education.gouv.qc.ca 35
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