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1

Cours et Travaux Dirigés de

Traitement du Signal Déterministe

Benoît Decoux (benoit.decoux@wanadoo.fr)

- Exercices - 1

ère

partie : "Notions de base et études temporelles" 2

Bases du traitement de signal

Exercice

Calculer l'amplitude de la dérivée d'un signal sinusoïdal d'amplitude égale à 1 et de fréquence 2

Hertz.

Réponse

La dérivée du signal sinusoïdal défini par exemple par : )tcos(A)t(s?+ est définie par : )tsin(A)t(s?+ donc l'amplitude du signal dérivé est ȦA. L'application numérique donne :

π=×π=422A

Exercice

Exprimer la fonction échelon unité sous forme d'une fonction signe d'amplitude judicieusement choisie et d'une constante.

Réponse

)tsgn(21

21)t(u+=

Exercice

Exprimer la fonction rectangulaire

[]Ttrect.A)t(x=à l'aide de 2 signaux échelons.

Réponse

)2/Tt(u.A)2/Tt(u.A)t(x--+=

Exercice

1) Calculer la valeur moyenne et la valeur efficace d'un signal carré, compris entre 0 et 5V, de rapport

cyclique 1/2.

2) Même chose pour un rapport cyclique 1/3.

3) Calculer la valeur moyenne d'un signal sinusoïdal d'amplitude A, défini par :

)tcos(A)t(s?+

4) Calculer la valeur efficace de ce signal.

Solutions

1) Soit s(t) ce signal. Comme il est périodique, sa valeur moyenne est définie par :

[]V5,22T

T5tT5dt5T1dt)t(sT1dt)t(sT1S

2/T 02/T 02/T 0T 0 moy

Sa valeur efficace est définie par :

3 22/T
02/T 02/T 0 2 T 0 22
eff

V5,122T

T25tT25dt25T1dt)t(sT1dt)t(sT1S=×=====

Soit V5,3S eff

2) Valeur moyenne :

[]V66,13T

T5tT5dt5T1dt)t(sT1dt)t(sT1S

3/T 03/T 03/T 0T 0 moy

Valeur efficace :

23/T
03/T 03/T 0 2 T 0 22
eff

V33,83T

T25tT25dt25T1dt)t(sT1dt)t(sT1S=×=====

Soit V9,2S eff 3) T 0T 0Tt t moy )tsin(A

T1dt)tcos(AT1dt)tcos(AT1S

0 0 4) T 022T
0222
eff dt)t(cosTAdt)t(cosAT1S

On utilise la formule de trigonométrie :

)a2cos1(21acos 2 d'où T 0 T 02 T 0T 02 T 02 2 eff

2)t2sin(tT2Adt)t2cos(dtT2Adt)t2cos(1T2AS

2)sin()sin(TT2A

2)sin()T2sin(TT2A

222

Soit :

2AS eff Les électroniciens connaissent bien ce résultat.

Exercice

Soit x(t) un signal carré logique TTL (état bas : 0V ; état haut : 5V) de rapport cyclique 1/2 et de période

T=0,1s.

1) Calculer son énergie sur une période. En déduire son énergie totale.

2) Calculer sa puissance totale et sa puissance moyenne.

3) En déduire sa valeur efficace.

Réponses

1) Son énergie sur une période est définie par :

[]Joule25,1T5,122T25t25dt25dt)t(xdt)t(xE 2/T 0 2/T 02/T 0 2 T 0 2 T 4

Son énergie totale est égale à :

25t25dt)t(xE

2 T

2) La puissance moyenne totale est identique à la puissance calculée sur une période, définie par :

2/T 0 2/T 02/T 0 2 T 0 2 T

3) La valeur efficace est la racine carrée de la puissance (calculée sur une période, ou totale) :

Volt53,35,12X

eff

Exercice

Calculer l'énergie et la puissance totales des signaux suivants (on prendra T=1 quand nécessaire pour

les applications numériques) :

Echelon de Heaviside

Fonction porte de largeur T et de hauteur 1/T, centrée sur 0

Réponse

1) Echelon de Heaviside.

Energie :

0tdt.1dt)t(sdt)t(sE

0 0022

Puissance totale :

21
2T

T1limtT1limdt)t(sT1limP

T2/T 0T2/T 2/T2 T Watt

2) Fonction porte de largeur T et de hauteur 1/T, centrée sur 0.

Energie :

[]1)2T

2T(T1tT1dt.1T1dt)t(sdt)t(sE

2/T

2/T2/T

2/T22 Joule

Puissance totale :

0TElim

Convolution-Réponse impulsionnelle

Exercice

On considère le produit de convolution entre 2 signaux x(t) et y() : d).t(y).(x)t(y*)t(x Par un changement de variable adéquat, montrer que le produit de convolution est commutatif.

Solution

On cherche à démontrer que :

5 )t(x*)t(y)t(y*)t(x= Appelons s(t)=x(t)*y(t). Si l'on effectue le changement de variable Ĳ'=t- Ĳ, on obtient : 'd).'(y).'t(x)t(sτττ--= soit 'd).'(y).'t(x)t(sτττ-= que l'on peut ré-écrire )t(x*)t(yd).(y).t(x)t(s=τττ-= Ce qui démontre que le produit de convolution est commutatif.

Exercice

1) Simplifier les intégrales suivantes :

δdt)t()t(s ;

+δdt)1t()t(s où s(t) est un signal quelconque, causal puis non causal.

2) Calculer la valeur numérique des intégrales suivantes :

0 dt)1t()t(r où r(t) est la fonction rampe

Solution

1) )0(sdt)t()0(sdt)t()0(sdt)t()t(s

De même :

)1(sdt)1t()t(s-=+δ 2) 000 )1(rdt)1t()1(rdt)1t()1(rdt)1t()t(r

Exercice

Montrer que la convolution d'un signal e(t) avec la fonction rectangle définie par : -=TttrectT1)t(h 0 (centrée sur t 0 , d'amplitude 1/T et de largeur T), avec t 0 =-T/2, correspond à un filtrage de type moyenneur.

Solution

La définition de la convolution donne :

t Tt d)(eT1d)(eT2/TtrectT1d)(e)t(h)t(s qui est la définition de la moyenne mobile. 6

Exercice

1) Montrer que l'opération de moyenne mobile (ou glissante) est une convolution avec la fonction

rectangulaire.

2) Exprimer la réponse impulsionnelle correspondante.

Solution

1) t Tt 2) +=T2/TtrectT1)t(h

Exercice

1) Déterminer la réponse indicielle (réponse à un signal échelon de Heaviside) d'un circuit RC dont la

réponse impulsionnelle est définie par : -=RCtexpRC1)t(h avec t0 (0 pour t<0).

2) Représenter cette réponse impulsionnelle ainsi que la réponse du circuit.

Solution

1) Cette réponse est définie par :

ττ-τ=d)t(h)(u))t(u(S

τ--t

0RC/)t(

deRC1

τ-t

0RC/RC/t

deeRC1

τ-t

0RC/RC/t

deRCe t

0RC/RC/t

ee []1ee

RC/tRC/t

RC/t e1 2) 1 t t 1/RC h(t)=(1/RC)e -t /RC 7

Exercice

Calculer la réponse d'un circuit RC à une rampe de pente 1, à partir de sa réponse impulsionnelle.

Solution

t 0t 0 d)t(h.d)t(h)(r)t(y t 0

RC/RC/tt

RC/)t(t

0 de.eRC1de.RC1d)t(h.)t(y

On doit utiliser l'intégration par parties :

quotesdbs_dbs21.pdfusesText_27

[PDF] [PDF] Exercice

Cours et Travaux Dirigés de

Traitement du Signal Déterministe

Benoît Decoux (benoit.decoux@wanadoo.fr)

ère

Bases du traitement de signal

Exercice

Hertz.

Réponse

π=×π=422A

Exercice

Réponse

21)t(u+=

Exercice

Exprimer la fonction rectangulaire

Réponse

Exercice

1) Calculer la valeur moyenne et la valeur efficace d'un signal carré, compris entre 0 et 5V, de rapport

2) Même chose pour un rapport cyclique 1/3.

3) Calculer la valeur moyenne d'un signal sinusoïdal d'amplitude A, défini par :

4) Calculer la valeur efficace de ce signal.

Solutions

1) Soit s(t) ce signal. Comme il est périodique, sa valeur moyenne est définie par :

T5tT5dt5T1dt)t(sT1dt)t(sT1S

Sa valeur efficace est définie par :

V5,122T

T25tT25dt25T1dt)t(sT1dt)t(sT1S=×=====

2) Valeur moyenne :

T5tT5dt5T1dt)t(sT1dt)t(sT1S

Valeur efficace :

V33,83T

T25tT25dt25T1dt)t(sT1dt)t(sT1S=×=====

T1dt)tcos(AT1dt)tcos(AT1S

On utilise la formule de trigonométrie :

2)t2sin(tT2Adt)t2cos(dtT2Adt)t2cos(1T2AS

2)sin()sin(TT2A

2)sin()T2sin(TT2A

Soit :

Exercice

T=0,1s.

1) Calculer son énergie sur une période. En déduire son énergie totale.

2) Calculer sa puissance totale et sa puissance moyenne.

3) En déduire sa valeur efficace.

Réponses

1) Son énergie sur une période est définie par :

Son énergie totale est égale à :

25t25dt)t(xE

2) La puissance moyenne totale est identique à la puissance calculée sur une période, définie par :

3) La valeur efficace est la racine carrée de la puissance (calculée sur une période, ou totale) :

Volt53,35,12X

Exercice

Echelon de Heaviside

Réponse

1) Echelon de Heaviside.

Energie :

0tdt.1dt)t(sdt)t(sE

Puissance totale :

T1limtT1limdt)t(sT1limP

2) Fonction porte de largeur T et de hauteur 1/T, centrée sur 0.

Energie :

2T(T1tT1dt.1T1dt)t(sdt)t(sE

2/T2/T

2/T2/T

Puissance totale :

0TElim

Convolution-Réponse impulsionnelle

Exercice

Solution

On cherche à démontrer que :

Exercice

1) Simplifier les intégrales suivantes :

δdt)t()t(s ;

2) Calculer la valeur numérique des intégrales suivantes :

Solution

De même :

Exercice

Solution

La définition de la convolution donne :

Exercice

1) Montrer que l'opération de moyenne mobile (ou glissante) est une convolution avec la fonction