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Universite Paris 6
Annee universitaire 2011-2012
Master enseignement premiere annee, cours d'algebre
Resume des seances des 26 et 28 septembre
On designe toujours parKun corps de caracteristique nulle.
La trace
Denition de la trace d'une matrice carree. La trace est une forme lineaire surMn(K) qui satisfait la propriete Tr (MN) = Tr (NM) pour tout couple (M;N) de matrices. SiM2Mn(K) et siPappartient au groupe GLn(K) des matrices carrees inversibles a coecients dansKalors Tr (P1MP) = TrM. Il s'ensuit que siuest un endomorphisme d'unK-espace vectorielEde dimension nie et siBest une base deEalors Tr (MatBu) ne depend que deu, et pas deB. On appelle ce scalaire la trace deuet on le note Tru. Les formules matricielles mentionnees ci-dessus ont leur pendant dans le monde des endomorphismes : Tr (uv) = Tr (vu) siuetvsont deux endomorphsimes deE, et Tr (w1uw) = Trusiuest un endomorphisme deEetwune bijection lineaire deEdansE.
Matrices semblables, matrices equivalentes
Denition de deux matrices carrees semblables . La similitude est une re- lation d'equivalence. Deux matricesMetNappartenant aMn(K) sont sem- blables si et seulement si il existe unK-espace vectorielEde dimensionn, un endomorphismeudeE, et deux basesBetB0deEtelles que MatBu=Met Mat
B0u=N:
Denition de deux endomorphismes semblables. SiEest unK-espace vec- toriel de dimension nie, siuetvsont deux endomorphismes deEet siBest une base deEles assertions suivantes sont equivalentes :
1)uest semblable av;
2) Mat
Buest semblable a MatBv;
3) il existe une baseB0deEtelle que MatB0v= MatBu:
Deux matrices (ou endomorphismes) semblables ont m^eme trace. Denition de deux matrices equivalentes. L'equivalence de matrices est (heu- reusement!!) une relation d'equivalence. Deux matricesMetNappartenant a M n;m(K) sont semblables si et seulement si il existe unK-espace vectorielEde dimensionm, unK-espace vectorielFde dimensionn, une application lineaire udeEversF, deux basesBetB0deEet deux basesCetC0deFtelles que Mat
B;Cu=Met MatB0;C0u=N:
Denition de deux applications lineaires equivalentes (je ne sais pas si cette terminologie est tres standard). SiEetFsont deuxK-espaces vectoriels de dimension nie, siuetvsont deux applications lineaires deEversF, siBest une base deEet siCest une base deFles assertions suivantes sont equivalentes :
1)uest equivalente av;
2) Mat
B;Cuest equivalente a MatB;Cv;
1
3) il existe une baseB0deEet une baseC0deFtelles que l'on ait MatB0;C0v=
Mat B;Cu: Deux matrices (ou applications lineaires) sont equivalentes si et seulement si elles ont m^eme rang. On a vu a cette occasion la denition d'un systeme de representants d'une relation d'equivalence. Fixonsnetm; pour toutrinferieur ou egal a min(n;m), notonsJn;m;rla matrice anlignes etmcolonnes de de terme general (ai;j) avecai;j= 1 si 16i6reti=j, et 0 sinon. L'en- semblefJn;m;rg16r6min(n;m)constitue un systeme de representants de la rela- tion d'equivalence surMn;m(K). Deux matrices carrees semblables sontequivalentes. La reciproque est fausse : 1 4 2 7 et2 4 13 sont toutes deux de rang 2, et donc equivalentes; mais leurs traces dierent, et elles ne sont donc pas semblables.
Le determinant
SoitEunK-espace vectoriel etnun entier. Uneformen-lineaire alternee surEest une application deEndansKlineaire en chaque facteur et telle que '(v1;:::;vn) = 0 des qu'il existe deux indicesietjdistincts tels quevi=vj.
Cela equivaut a demander que
'(v1;:::;vi1;vj;vi+1;:::;vj1;vi;vj+1;:::;vn) ='(v1;:::;vn) pour tout (v1;:::;vn)2En; en d'autres termes,'change de signe lorsqu'on echange deux vecteurs.
L'ensemble Alt
n(E) des formesn-lineaires alternees surEpeut ^etre muni d'une structure naturelle deK-espace vectoriel. Si'2Altn(E) et si (v1;:::;vn) est liee alors'(v1;:::;vn) = 0; et l'on a par ailleurs pour tout (v1;:::;vn)2Enet toute permutation2Snl'egalite '(v(1);:::;v(n)) ="()'(v1;:::;vn): Supposons maintenant queEest de dimension nienet soitB= (e1;:::;en) une base deE. On demontre que pour touta2Kil existe une et une seule '2Altn(E) telle que'(e1;:::;en) =a; elle est donnee par la formule =aX
2Sn"()a(1);1:a(2);2:::::a(n);n:
On appelledeterminant dans la baseB, et l'on note detB, l'unique forme appartenant a Alt n(E) et valant 1 sur (e1;:::;en). Elle est donnee par la formule det X
2Sn"()a(1);1:a(2);2:::::a(n);n:
2 Denissions le determinant d'une matrice carreeMde terme general (aij) par la formule detM=X
2Sn"()a(1);1:a(2);2:::::a(n);n:
Si (v1;:::;vn)2Enalors detB(v1;:::;vn) est alors par denition le determinant de la matrice dont laj-ieme colonne est formee des coordonnees devjdans la baseB.
L'espace Alt
n(E) est de dimension 1; la famille singleton constituee par det Ben est une base. Siuest un endomorphisme deE, l'application'u:= (v1;:::;vn)7!'(u(v1);:::;u(vn) appartient encore a Altn(E), et'7!'uest un endomorphisme de l'espace Alt n(E); comme celui-ci est de dimension 1, cet endomorphisme est une homothetie dont le rapport est appele ledeterminant deuet est note detu. On verie, en appliquant la formule'u= (detu)' a'= detBpuis en evaluant l'egalite en (e1;:::;en), que detuest egal a det B(u(e1);:::;u(en)), c'est-a-dire encore a det(MatBu). Ce dernierne depend donc pas deB. De la denition du determinant deucomme un rapport d'homothetie l'on deduit que det(uv) = (detu):(detv) pour tout couple (u;v) d'endomorphismes deE. On utilise ce fait pour prouver qu'un endomorphismeuest bijectif si et seulement si detu6= 0 (et dans ce cas, det(u1) = (detu)1). Ceci se decline en version matricielle : det(MN) = (detM):(detN) pour tout couple (M;N) de matrices appartenant aMn(K); une matrice carree est inversible si et seulement si son determinant est non nul. Et au niveau vectoriel, on en deduit qu'une famille (v1;:::;vn) est libre si et seulement si det
B(v1;:::;vn)6= 0.
On a termine par quelques formules a propos du determinant : determinant d'une matrice 2-2, 3-3, d'une matrice triangulaire superieure; developpement d'un determinant par rapport a une ligne ou a une colonne; egalite entre detM et det tM. Le determinant est invariant par toute transformation elementaire de la formeLi!Li+LjouCi!Ci+Cj(lorsquei6=j); si l'on echange deux lignes ou deux colonnes, il est multiplie par -1; si l'on multiplie une ligne ou une colonne (resp. la matrice) paril est multiplie par(resp. parn, ou nest la taille de la matrice). Ces remarques sont absolument fondamentales pour le calcul pratique des determinant, le pivot etant bien plus rentable que la formule brutale, qui met en jeu la somme den! produits dentermes...
Denition de la comatrice
~M, formule M: t~M=t~M:M= (detM):In; et son corollaireM1=t~MdetMlorsqueMest inversible. Formules de Cramer : soitAune matrice carree inversible de taillenet soit Bun vecteur colonne de longueurn. Pour touticompris entre 1 etn, notons 3 A ila matrice obtenue a partir deAen remplacant sai-eme colonne parB. Si Cdesigne l'unique solution du systemeAX=Balors lei-eme terme deCest egal adetAidetA.
Exercices
Presque toute la feuille 2 a ete traitee, seule une partie de l'exercice 1 ne l'a pas ete (on a vu a son propos sur un ou deux exemples pratiques comment reconstruire une matrice echelonnee a partir de son noyau, et evoque a cette occasion les variables libres d'un systeme lineaire). Concernant les determinants, j'ai fait calculer un determinant 4-4 par mani- pulation des lignes et colonnes, et traite le calcul des determinants de Vander- monde. 4quotesdbs_dbs30.pdfusesText_36
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