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Chapitre8

R´eductiondesmatrices

etc.

8.1Valeurspropres,vecteurspropres

D´efinition49SoitA?M

n (K).Onditquex?K n estunvecteurpropredeAsiet seulementsi i)x?=0. ii)?λ?K,Ax=λx. deAassoci´ee`ax. 119

120CHAPITRE8.R´eductiondesmatrices

n (K)sietseulement siker(A-λI n )?={0}. n )x=0.? (A)=ker(A-λI n )estappel´esous-espace (A)estappel´emultiplicit´eg´eo- m´etriquedelavaleurpropreλ.

Aetestnot´eσ(A)?K.

D´emonstration.Eneffet,siA

=P -1

APetsixestunvecteurpropredeA,alors

P -1 xestunvecteurpropredeA ,puisqueA P -1 x=P -1 A(PP -1 )x=P -1 Ax= λP -1 x.? respondentparchangementdebase. n seram`eneenprincipe`ala n )x=0,dontonsaitqu'iln'apas pr´ecision.Donclesnombres λI n )x=0n'a espacespropresdanslapratique. valeurspropres.? n )=0. quelamatriceA-λI n soitsinguli`ere.?

8.1.Valeurspropres,vecteurspropres121

D´efinition52LepolynˆomeP

A (X)=det(A-XI n )s'appellelepolynˆomecaract´e- ristiquedeA. det(A-XI n a 11 -Xa 12

···a

1n a 21
a 22
-X···a 2n a n1 a n2

···a

nn -X P A (X)=net queletermedeplushautdegr´edeP A (X)est(-1) n X n

Remarque50i)Letermedeplusbasdegr´edeP

A (X)estP A (0)=detA. ract´eristique.Eneffet,siB=P -1

AP,alorsB-XI

n =P -1 (A-XI n )Petonuti- A maintenant. alg´ebriquementclos).?

122CHAPITRE8.R´eductiondesmatrices

propredansR 2 P A (X)= cosϕ-X-sinϕ sinϕcosϕ-X =X 2 -2cosϕX+1, valeurspropres(complexes,biensˆur).?

Corollaire66Onaσ(A

T )=σ(A).

D´emonstration.Eneffet,P

A

T(X)=det(A

T -XI n )=det((A-XI n T )=det(A- XI n )=P A (X),puisqueI T n =I n

8.2Trigonalisation,diagonalisation

´el´ementsdiagonaux.

P A (X)= a 11 -Xa 12

···a

1n 0a 22
-X···a 2n

00···a

nn -X =(a 11 -X)(a 22
-X)···(a nn -X), P A racinessontvisibles,cesontlesa ii ,i=1,...,n.? unematricetriangulaire. tricediagonale.

8.2.Trigonalisation,diagonalisation123

matriceinversiblePtellequeP -1

APesttriangulaire(resp.diagonale).Dansce

basedeK n constitu´eedevecteurspropresdeA. 1 ,u 2 ,...,u n }basedeK n telleque Au i i u i ,alorslamatriceA i .SiPd´esignela =P -1

AP,donc

AetA sontsemblables. ,c'est- `a-direqu'ilexistePinversibletellequeA =P -1

AP.Interpr´etonsPcommela

1 ,u 2 ,...,u n (lescomposantesdeu i

P).Alorsonvoitque(Au

i B =A e i i e i o`ue i estlei`emevecteurdelabase canoniquedeK n (eneffet,(u i B =e i ).Onend´eduitque(Au i B i (u i B ,donc queAu i i u i etlesu i formentunebasedevecteurspropresdeA.? lin´eairex?→Ax`aE i (A)estl'homoth´etiederapportλ i caract´eristiqueP A estscind´esurK. triangulaire(mettonssup´erieure), P -1 AP= b 11 b 12

···b

1n 0b 22

···b

2n

00···b

nn

Onend´eduitimm´ediatementque

P A (X)=(b 11quotesdbs_dbs30.pdfusesText_36