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Soit A une matrice carrée d'ordre n Définition On dit que A est inversible s'il existe une matrice B telle que AB = BA = I On appelle B matrice inverse de A et on 

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Soit A une matrice inversible Alors A−1 est aussi inversible et on a : (A−1)−1 = A Inverse d'un produit Proposition 7 Soient A et B deux matrices inversibles 

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Théorème 2 2 Une matrice A est inversible si et seulement si son déter- minant est non nul 3 Matrices équivalentes et matrices semblables Si A, B ∈ Mm,n(K),  

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Sens : l'inverse d'une matrice inversible et le produit de deux matrices inversibles sont inversibles 6 Page 7 car on reconnaıt le développement du déterminant 

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17 sept 2013 · Effectuer une opération élémentaire sur une matrice A ∈ Mn,p(R) revient `a multiplier A `a gauche par une matrice inversible pour les opérations 

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Chapitre7

D´eterminants

quementdansM n (R).

Led´eterminantestuneapplicationdeM

n (R)dansRquiadenombreuses admettreleth´eor`emesuivant. n (R)dansR,appel´eed´eter- minant,telleque

´etantfix´es.

nul. n vaut1. detA= a 11 a 12

···a

1n a 21
a 22

···a

2n a n1 a n2

···a

nn i ?R n detA= a 1 a 2

···a

n 105

106CHAPITRE7.D´eterminants

UneapplicationdeM

n n .Lesautres

Proposition49SoitAunematricen×netA

lamatriceobtenueen´echangeant deuxcolonnesdistinctesdeA.AlorsonadetA =-detA.

D´emonstration.SoitA=

a 1

···a

i

···a

j

···a

n .Onva´echangerlescolonnes ietj,cequidonnelamatriceA a 1

···a

j

···a

i

···a

n ,o`ulevecteura j seretrouveencolonneietlevecteura i encolonnej(onprisiciiIntroduisonsalorsunetroisi`emematrice A= a 1

···a

i +a j

···a

j +a i

···a

n det A=0. det A=det a 1

···a

i

···a

j +a i

···a

n +det a 1

···a

j

···a

j +a i

···a

n =det a 1

···a

i

···a

j

···a

n +det a 1

···a

i

···a

i

···a

n +det a 1

···a

j

···a

j

···a

n +det a 1

···a

j

···a

i

···a

n =detA+0+0+detA

Proposition50SoitAunematricen×netA

lamatriceobtenueenajoutant`a detA =detA.

D´emonstration.SoitA=

a 1

···a

i

···a

n etdonnonsnousdesscalairesλ j j=1,...,n,j?=i.Onpose A a 1

···a

i n j=1 j?=i j a j

···a

n detA =detA+ n j=1 j?=i j det a 1

···a

j

···a

n alorsdetA=0.

7.2D´eterminantsetmatricesinversibles

ona detA=a 11 a 22

···a

nn A= a 11 a 12 a 13

···a

1n 0a 22
a 23

···a

2n 00a 33

···a

3n

000···a

nn detA=a 11 1a 12 a 13

···a

1n 0a 22
a 23

···a

2n 00a 33

···a

3n

000···a

nn

108CHAPITRE7.D´eterminants

1j

×lacolonne1.Ceci

detA=a 11

100···0

0a 22
a 23

···a

2n 00a 33

···a

3n

000···a

nn detA=a 11 a 22

100···0

01a 23

···a

2n 00a 33

···a

3n

000···a

nn boutden´etapes,onaobtenu detA=a 11 a 22
a 33

···a

nn

100···0

010···0

001···0

000···1

=a 11 a 22
a 33

···a

nn detI n d'o`uler´esultatpariii).? des1surladiagonale. matriceI n

Corollaire52,onend´eduitquedetA=0.

T estaussiinversible,doncl'algo- rithmedeGaussappliqu´e`aA T valentelamatriceI n j tellesque (E p E p-1

···E

2 E 1quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34