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Exercice 3Corrigé

LES MATHÉMATIQUES

AU BACCALAURÉAT S

NOMBRES COMPLEXES, BAC S

Affixe d'un nombre complexe

Écriture algébrique d'un nombre complexe

Nombre complexe conjugué

Écriture géométrique d'un nombre complexe Écriture trigonométrique d'un nombre complexe

Argument d'un nombre complexe

Module d'un nombre complexe

Partie imaginaire d'un nombre complexe

Partie réelle d'un nombre complexe

Représentation géométrique d'un nombre complexe

Triangle équilatéral direct

1 freemaths fr, 2019Corrigé - Bac - Mathématiques - 2019

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freemaths fr 1. a. Donnons la forme algébrique des nombres complexes z 2 et 1 z :Ici: z = i .

Dans ces conditions:

z 2 1, 1 z 1 i 1 i x i cad: 1 z = - i .

Ainsi: z

2 = - 1 et

1 z = - i . 1. b.

Plaçons les points N

1 1 ) et P1 - i ) sur le graphique:

Nous avons le graphique suivant avec:

A ( 1 ), N

1 ( - 1 ) et P

1 i

Nous remarquons que les points A, N

1 et P 1 ne sont pas alignés .Graphique à la fin du corrigé !

EXERCICE 3

Partie A: Étude d'exemples

[ Inde, Pondichéry 2019 ] 2 freemaths fr, 2019Corrigé - Bac - Mathématiques - 2019

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2.

Résolvons dans l'équation z

2 + z + 1 = 0:

Soit l'équation:

z 2 + z + 1 = 0 = 1 - 4 x 1 x 1 cad: = - 3 = ( 3 i ) 2 < 0

D'où deux solutions dans : z

1

1 - 3 i

2 z 2

1 + 3 i

2

Au total, l'équation z

2 + z + 1 admet 2 solutions dans : z 1

1 - 3 i

2 et z 2

1 + 3 i

2 3. a.

Déterminons la forme exponentielle de z, z

2 et 1 z Ici: z = - 1 2 + i 3 2

La forme exponentielle de z:

Le module de z est: -

1 2 + i 3 2 = 1 . z = 1 x - 1 2 i 3 2

Par identification:

1 2 2 3 + 2 k 3 2 3 freemaths fr, 2019Corrigé - Bac - Mathématiques - 2019

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Ainsi:

z = 1 x e i 2 3

La forme algébrique de z

2 z 2 = 1 x e i 2 3 2

D'où:

z 2 = e i 4 3

Ainsi: z

2 = e i 4 3 = e i 2 3

La forme algébrique de

1 z 1 z 1 e i 2 3

D'où:

1 z = e i 2 3

Ainsi:

1 z = e i 2 3 3. b.

Plaçons les points N

2 z 2 ) et P 2 1 z sur le graphique:

Nous avons le graphique suivant avec:

N 2 e i 2 3 et P 2 e i 2 3

Nous remarquons que les points A, N

2 et P 2 sont alignés: normal car N 2 et P 2 sont confondus

Graphique à la fin du corrigé

4 freemaths fr, 2019Corrigé - Bac - Mathématiques - 2019

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Partie B:

1.

Etablissons que pour tout z *, z

2 1 z = ( z 2 + z + 1 ) 1 - 1 z

Développons:

( z 2 + z + 1 ) 1 - 1 z z 2 + z + 1 ) 1 - 1 z = z 2 - z + z - 1 + 1 - 1 z = z 2 1 z *, nous avons bien: ( z 2 + z + 1 ) 1 - 1 z = z 2 1 z 2. Déduisons-en que pour tout z *, les points A, N et P sont alignés ssi z 2 + z + 1 est un réel: Pour tout z 0, les points A, N et P sont alignés ssi: les vecteurs PN et PA sont colinéaires . Ici:

PN a pour affixe: z

2 1 z

PA a pour affixe: 1 -

1 z Or les vecteurs PN et PA sont colinéaires ssi il existe un nombre réel k tel que:

PN = k

PA . Or: z 2 1 z z 2 + z + 1 ) 1 - 1 z <=> PN = ( z 2 + z + 1 ) PA <=> PN = k

PA, avec: k = ( z

2 + z + 1 5 freemaths fr, 2019Corrigé - Bac - Mathématiques - 2019

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Donc les vecteurs PN et PA sont colinéaires ssi: k . Ainsi: les points A, N et P sont alignés ssi k = z 2 3.

Justifions que z

2 + z + 1 = 2 - y 2 + + 1 + i ( 2 y + y ): Ici: z = x + i y .

D'où:

z 2 + z + 1 = ( x + i y ) 2 x + i y ) + 1 = x 2 - y 2 + 2 i x y + x + i y + 1 = x 2 - y 2 + x + 1 + i ( 2 x y + y ) .

Au total, nous avons bien: z

2 + z + 1 = x 2 - y 2 + x + 1 + i ( 2 x y + y ) . 4. a. Déterminons l'ensemble des points M d'affixe z 0 tels que les points

A, N et P soient alignés:

Les points M d'affixe z 0 tels que les points A, N et P soient alignés vérifient le système: x 2 - y 2 + x 2 x y + y = 0 car: z 2 + z + 1 est un réel x 2 - y 2 + x + 1 = X y ( 2 x + 1 ) = 0 x = - 1 2 ou y = 0 6 freemaths fr, 2019Corrigé - Bac - Mathématiques - 2019

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Au total, l'ensemble des points M demandé est: l"ensemble des points d"abscisse égale à - 1 2 ou d"ordonnée égale à 0, privé du point O ( 0 ; 0 ) .

4. b. Traçons cet ensemble de points sur le graphique:

L'ensemble des points M d'affixe z 0 tels que les points A, N et P soient alignés est représenté sur le graphique suivant:quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26