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Exercices corrigés - nombres oomplexes

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Terminale S. - Lycée Desfontaines - Melle

Exercices corrigés - Nombres complexes

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A B C P Q R S Om

2 3 4-1-2-3-4-5-62

3456
-1 -2 -3 -4 -5 -60 1 1 xy A B C P Q R S Om

Correction de l"exercice 1

Dans le plan complexe, rapporté à un repère orthonormé (), ,O u vr r , d"unité graphique 1cm, on place les points A, B, C, P d"affixes respectives z A= 3

2 +6i, zB= 3

2 -6i, zC=-3- 1

4 i, zP=3+2i :

1.

(a) Déterminons l"affixe zQ du point Q, image du point B par la translation t de vecteur Åw d"affixe zÅw=-1+ 5

2 i : t a pour écriture complexe z′=z+zÅw donc zQ=zB+zÅw = 3 2 -6i+( )-1+ 5 2 i = 1 2 - 7 2 i.

(b) Déterminons l"affixe zR du point R, image du point P par homothétie h de centre C et de rapport - 1

3 : h a pour écriture complexe z′-zC=- 1 3

×( )z-zC donc zR-zC=- 1

3 ×( )zP-zC donc zR=- 1

3 ×????3+2i-( )-3- 1

4 i+( )-3- 1 4 i =- 1

3 ( )6+ 9

4 i-3- 1

4 i donc z

R=-2- 3

4 i-3- 1

4 i = -5-i.

(c) Déterminons l"affixe zS du point S, image du point P par la rotation r de centre A et d"angle - π

2 : r a pour écriture complexe z′-zA=e-i π

2 ( )z-zA donc zS-zA=e-i π

2 ( )zP-zA donc zS=-i????3+2i-( ) 3

2 +6i+ 3

2 +6i =-i( ) 3

2 -4i+ 3 2 +6i donc z

S=-i× 3

2 +4i2+ 3

2 +6i = - 5 2 + 9 2 i. (d) Plaçons les points P,Q,R et S : D"après les affixes des points P, Q, R et S, on déduit que

P(3;2), Q( ) 1

2 ;- 7

2 , R(-5;-1) et S( )- 5

2 ; 9 2 2. (a) Démontrons que le quadrilatère PQRS est un parallélogramme :

Calculons z

ÄQR et zÄPS :

zÄQR =zR-zQ =-5-i-( ) 1 2 - 7 2 i =- 11 2 + 5 2 i z

ÄPS =zS-zP =- 5

2 + 9 2 i-(3+2i) =- 11 2 + 5 2 i

Donc z

ÄQR = zÄPS donc ÄQR=ÄPS donc PQRS est un parallélogramme. (b) Calculons zR-zQ zP-zQ : zR-zQ zP-zQ = - 11 2 + 5 2 i 3+2i- ( ) 1 2 - 7 2 i - 11 2 + 5 2 i 5

2 + 11

2 i -11+5i

5+11i =i× 5+11i

5+11i =i

Donc | | zR-zQ zP-zQ = | |zR-zQ | |zP-zQ =| |i =1 donc QRQP =1 donc QR=QP (*) et arg ( ) zR-zQ zP-zQ =arg(i) = π

2 (2π) donc ( )ÄQP;ÄQR = π

2 (2π) (**)

Grâce à (*) et (**) on peut en déduire que le parallélogramme PQRS est un carré

(c) Montrons que les points P, Q, R, S appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon :

PQRS étant un carré, son centre que l"on note Ω est le milieu de ses diagonales et celles-ci sont de même longueur soit ΩP=ΩR=ΩQ=ΩS.

Par conséquent les points P, Q, R et S appartiennent au même cercle de centre Ω et de rayon ρ=ΩP=ΩR=ΩQ=ΩS.

Déterminons l"affixe de son centre ainsi que son rayon : Ω est le milieu [PR] donc z Ω= zP+zR 2 = 3+2i-5-i

2 = -1+ 1

2 i.

Et ρ=ΩP=

| |zP-zΩ =????3+2i-( )-1+ 1

2 i =| |4+ 3

2 i=42+( ) 3 2

2 = 73

4 = 73

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Correction de l"exercice 2

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( )O;Åu;Åv d"unité graphique 2cm.

1. Résolvons dans IC l"équation

z-4 z =i z-4 z =iñz-4=iz et zÞ0 ñ z(1-i)=4 et zÞ0 ñ z= 4

1-i ñ z= 4(1+i)

2 =2(1+i) =2+2i

L"unique solution de l"équation est 2+2i

2. Résolvons dans IC l"équation z2-2z+4=0

Le discriminant est ∆=4-4×4=-12=( )2i3

2 ∆<0 donc l"équation admet deux racines complexes conjuguées : z

1= 2-2i3

2 =1-i3 et z2=z1=1+i3

Ecrivons les solutions sous forme exponentielle :

| |z1=1+3=2 donc z1=2((( 1

2 - i3

2 =2(())cos(())- π

3 +isin(())- π

3 =2e - iπ

3 et z2=z1=2e

iπ 3

3. Soient A, B, A′ et D les points d"affixes respectives a=2, b=4, a′=2i et d=2+2i. Quelle est la nature

du triangle OBD ? d-zO d-b = 2+2i

2+2i-4 = 2+2i

-2+2i =- (2+2i)(2+2i)

4+4 =- 8i

i =-i d-0 d-b = | |-i=1. Or ???? d-0 d-b = | |d-0 | |d-b = OD

BD d"où OD

BD =1, donc le triangle OBD est isocèle

en D. ▪ arg d-0 d-b =arg(-i)(2π)=- π

2 (2π). Or, arg(())

d-0 d-b =( )ÄBD;ÄOD(2π) donc ( )ÄBD;ÄOD=- π

2 (2π), le triangle OBD est rectangle en D.

En conclusion, le triangle OBD est rectangle isocèle en D

4. Soient E et F les points d"affixes respectives e=1-i3 et f=1+i3. Quelle est la nature du quadrilatère

OEAF ?

▪ zÄOE=e-zO=1-i3 et zÄFA=a-f=2-1-i3=1-i3 donc zÄOE=zÄFA donc ÄOE=ÄFA donc le quadrilatère OEAF est un parallélogramme. ▪ OE= | |e - zO=| |1-i3=2 et OF=| |f-zO=| |1+i3 =1+3=2 donc le

parallélogramme OEAF a deux côtés consécutifs de même longueur, donc c"est un losange.

5. Soit C le cercle de centre A et de rayon 2. Soit C′ le cercle de centre A′ et de rayon 2. soit r la rotation de

centre O et d"angle 2 . a. On désigne par E′ l"image de E par r. Calculons e′ l"affixe de E′. L"écriture complexe associée à la rotation de centre O et d"angle π

2 est z′-zO=e

iπ 2 ( )z-zO

Càd z′=iz

Ainsi e′=i

( )1-i3=i+3 b. Démontrons que E′ appartient à C ". A′E′=| |zE′-zA′=| |i+3-2i=| |3-i=3+1=2

Donc E′ appartient bien au cercle C′.

c. Vérifions que que e-d=( )3+2 (e′-d) et déduisons-en que E, E′ et D sont alignés

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( )3+2 (e′-d)=( )3+2( )i+3-2-2i=( )3+2( )3-2-i =3-2

3-i3+23-4-2i= -1-i( )3+2

e-d =( )1-i3-(2+2i)=1-i3-2-2i= -1-i( )3+2

Donc e-d=

( )3+2 (e′-d)

Donc z

ÄDE=( )3+2( )zÄDE′ donc ÄDE=( )3+2ÄDE′ donc les vecteurs ÄDE et ÄDE′ sont

colinéaires, d"où les points E, D et E′ sont alignés.

6. Soit D′ l"image de D par r. Montrons que le triangle EE′D′ est rectangle.

E′ et D′ sont les images de E et D par r donc ( )ÄDE;ÄD′E′ = π

2 (2π).

Donc (DE)┴(D′E′). Or, E, D et E′ sont alignés donc (EE′)┴(D′E′) donc le triangle EE′D′

est rectangle en E′. AB A'D O E F E' D' 0 1 1 xAB A'D O E F E' D'quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25