Suites

que les suites (un) et (vn) sont adjacentes et que leur limite commune est égale à bsin(arccos(a b )) En résumé, ∀k ∈ Z, ∀n ∈ N, un −x ⩽ na+2kπ − b Maintenant, si E est

1 Convergence Exercice 1 Montrer que toute suite convergente est bornée Indication ▽

Analyse - Exo7 - Cours de mathématiques

Cité 1 fois — Ce tome débute par l'étude des nombres réels, puis des suites Les chapitres suivants sont consacrés

Suites - Exo7 - Exercices de mathématiques

que les suites (un) et (vn) sont adjacentes et que leur limite commune est égale à bsin(arccos(a b )) En résumé, ∀k ∈ Z, ∀n ∈ N, un −x ⩽ na+2kπ − b Maintenant, si E est

les exercices au format pdf - Exo7

st pas « l'équivalence en zéro » qui sera par la suite introduite dans le cours d'analyse [007201]

Comparaison des suites - Exo7 - Exercices de mathématiques

iner un équivalent le plus simple possible de chacune des suites suivantes quand n tend vers +∞ En résumé, si n est un entier donné supérieur ou égal à n0, nvn < ε 2 + ε 2

Séries - Exo7 - Exercices de mathématiques

)+o(1) Par suite, 0 < un = e − √ 2sin(π 4

Suites - Licence de mathématiques Lyon 1

uire que la suite est convergente et déterminer sa limite 2 2 1 Montrer que si 0 ≥ 2 alors pour

Exo7 - Institut de Mathématiques de Toulouse

COURS D'ANALYSE PREMIÈRE ANNÉE - SECOND SEMESTRE Exo7 nombres réels, puis des suites Les chapitres suivants sont consacrés aux fonctions : limite,

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Exo7

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

Exercice 1***ITSoient(un)n2Nune suite réelle et(vn)n2Nla suite définie par :8n2N;vn=u0+u1+:::+unn+1.

Montrer que si la suite (un)n2Nvers un réel`, la suite(vn)n2Nconverge et a pour limite`. Réciproque ?

2. Montrer que si la suite (un)n2Nest bornée, la suite(vn)n2Nest bornée. Réciproque ? 3. Montrer que si la suite (un)n2Nest croissante alors la suite(vn)n2Nl"est aussi. alors la suite(un)n2Nconverge. (série harmonique). 1. Montrer que : 8n2N;ln(n+1)0un+1. n!+¥ånk=111

2+22+:::+k2.

u n+1=un+vn2 etvn+1=pu n+1vn. Montrer que les suites(un)et(vn)sont adjacentes et que leur limite commune est égale à bsin(arccos(ab ))arccos(ab 1 1. sinnn 2. 1+1n n, 3. n!n n, 4.

E((n+12

)2)E ((n12 )2)), 5. npn 2, 6. pn+1pn, 7.

ånk=1k2n

3, 8.

Õnk=12k=22k.

pn+un.

1.8n2N;un+1=un32un,

2.8n2N;un+1=4(un1)u

n(ne pas se poser de questions d"existence). u n+1=2un+vn3 etvn+1=un+2vn3

Etudier les suitesuetvpuis déterminerunetvnen fonction denen recherchant des combinaisons linéaires

intéressantes deuetv. En déduire limn!+¥unet limn!+¥vn. u n+1=vn+wn2 ;vn+1=un+wn2 etwn+1=un+vn2 Etudier les suitesu,vetwpuis déterminerun,vnetwnen fonction denen recherchant des combinaisons linéaires intéressantes deu,vetw. En déduire limn!+¥un, limn!+¥vnet limn!+¥wn.

Exercice 12***Montrer que les suites définies par la donnée deu0,v0etw0réels tels que 0 récurrence : 3u n+1=1u n+1v n+1w netvn+1=3pu nvnwnetwn+1=un+vn+wn3 ont une limite commune que l"on ne cherchera pas à déterminer. n)converge vers un

réel positifl. Montrer que si 06` <1, la suite(un)converge vers 0 et si` >1, la suite(vn)tend vers+¥.

Montrer que si`=1, tout est possible.

n)converge vers un réel`, alors npu n)converge et a même limite. 2.

Etudier la réciproque.

Application : limites de

(a) npC n2n, (b) nn pn!, (c) 1n

2nq(3n)!n!.

vers 1. netvn=1+1n n+1.

Etudier les deux suitesun=

ånk=11pk

2pn+1 etvn=

ånk=11pk

2pn. 3 Exercice 20**TDéterminerunen fonction denet de ses premiers termes dans chacun des cas suivants :

1.8n2N;4un+2=4un+1+3un.

2.8n2N;4un+2=un.

3.8n2N;4un+2=4un+1+3un+12.

4.8n2N;2u

n+2=1u n+11u n.

5.8n>2;un=3un12un2+n3.

6.8n2N;un+36un+2+11un+16un=0.

7.8n2N;un+42un+3+2un+22un+1+un=n5.

n. Montrer que limn!+¥(unpn) =12 cos p2 n=12 q2+p2+:::+p2 (n1 radicaux) et sinp2 n=12 q2p2+:::+p2 (n1 radicaux).

En déduire lim

n!+¥2nq2p2+:::+p2 (nradicaux). 2.

Montrer que

Õnk=11+1k

kMontrer que si a2pest rationnel, les suitesuetvsont périodiques et montrer dans ce cas que(un)et(vn) convergent si et seulement sia22pZ. 2.

On suppose dans cette question que

a2pest irrationnel . (a) Montrer que (un)converge si et seulement si(vn)converge . (b)

En utilisant dif férentesformules de trigonométrie fournissant des relations entre unetvn, montrer

par l"absurde que(un)et(vn)divergent. 3.

On suppose toujours que

a2pest irrationnel. On veut montrer que l"ensemble des valeurs de la suite(un) (ou(vn)) est dense dans[1;1], c"est-à-dire que8x2[1;1];8e>0;9n2N=junxj0 pour en déduire quea2p2Q). (c)

Conclure.

a2]0;p[(supn2N(jsin(na)j)). . Montrer que(un)converge vers 12 Correction del"exer cice1 N1.Soit e>0. Il existe un rangn0tel que, sin>n0alorsjun`j1n+1nå k=0u k`

1n+1nå

k=0(uk`) 6

1n+1nå

k=0juk`j=1n+1n 0å k=0juk`j+1n+1nå k=n0+1juk`j 6 1n+1n 0å k=0juk`j+1n+1nå k=n0+1e2

61n+1n

0å k=0juk`j+1n+1nå k=0e2 1n+1n 0å k=0juk`j+e2

Maintenant,

ån0k=0juk`jest une expression constante quandnvarie et donc, limn!+¥1n+1ån0k=0juk`j=

0. Par suite, il existe un entiern1>n0tel que pourn>n1,1n+1ån0k=0juk`j . Pourn>n1, on a alors jvn`j0;9n12N=(8n2N)(n>n1) jvn`jSi la suiteuconverge vers`alors la suitevconverge vers`.La réciproque est fausse. PourndansN, posonsun= (1)n. La suite(un)est divergente. D"autre part,
pourndansN,ånk=0(1)kvaut 0 ou 1 suivant la parité denet donc, dans tous les cas,jvnj61n+1. Par suite, la suite(vn)converge et limn!+¥vn=0. 2.
Si uest bornée, il existe un réelMtel que, pour tout natureln,junj6M. Pournentier naturel donné, on
a alors jvnj61n+1nå k=0jukj61n+1nå k=0M=1n+1(n+1)M=M:
La suitevest donc bornée.

Si la suiteuest bornée alors la suitevest bornée.Laréciproqueestfausse. Soitulasuitedéfiniepar:8n2N;un=(1)nEn2
=psin=2p;p2N psin=2p+1;p2N.
un"est pas bornée car la suite extraite(u2p)tend vers+¥quandptend vers+¥. Mais, sinest impair,
v n=0, et sinest pair,vn=1n+1un=n2(n+1), et dans tous les casjvnj61n+1n2
61n+1n+12
=12 et la suite vest bornée. 3. Si uest croissante, pournentier naturel donné on a : v n+1vn=1n+2n+1å k=0u k1n+1nå k=0u k=1(n+1)(n+2) (n+1)n+1å k=0u k(n+2)nå k=0u k!
1(n+1)(n+2)
(n+1)un+1nå k=0u k!
1(n+1)(n+2)nå
k=0(un+1uk)>0:
La suitevest donc croissante.
6
Si la suiteuest croissante alors la suitevest croissante.Correction del"exer cice2 NSupposons sans perte de généralitéucroissante (quite à remplaceruparu). Dans ce cas, ou bienuconverge,

ou bienutend vers+¥. Supposons queutende vers+¥, et montrons qu"il en est de même pour la suitev. Soit

A2R. Il existe un rangn0tel que pour n naturel supérieur ou égal àn0,un>2A. Pourn>n0+1, on a alors,
v n=1n+1 n0å k=0u k+nå k=n0+1u k! 1n+1n 0å k=0u k+(nn0)2An+1
Maintenant, quandntend vers+¥,1n+1ån0k=0uk+(nn0)2An+1tend vers 2Aet donc, il existe un rangn1à partir
duquelvn>1n+1ån0k=0uk+(nn0)2An+1>A. On a montré que :8n2N;9n12N=(8n2N);(n>n1)vn>A).
Par suite, lim
n!+¥vn= +¥. Par contraposition, sivne tend pas vers+¥, la suiteune tend pas vers+¥et donc converge, d"après la remarque initiale.Correction del"exer cice3 N1.La fonction x7!1x est continue et décroissante sur]0;+¥[et donc, pourk2N, on a :
1k+1= (k+1k)1k+16Z
k+1 k1x dx6(k+1k)1k =1k
Donc, pourk>1,1k
>Rk+1 k1x dxet, pourk>2,1k 6Rk k11x dx. En sommant ces inégalités, on obtient pourn>1, H n=nå k=11k >nå k=1Z k+1 k1x dx=Z n+1 11x dx=ln(n+1); et pourn>2, H n=1+nå k=21k
61+nå
k=2Z k k11x dx=1+Z n 11x dx=1+lnn; cette dernière inégalité restant vraie quandn=1. Donc,
8n2N;ln(n+1)6Hn61+lnn:2.Soit nun entier naturel non nul.
u n+1un=1n+1ln(n+1)+lnn=1n+1Z n+1 n1x dx=Z n+1 n
1n+11x
dx60 car la fonctionx7!1x décroit sur[n;n+1]. De même, v n+1vn=1n+1ln(n+2)+ln(n+1) =1n+1Z n+2 n+11x dx=Z n+2 n+1
1n+11x
dx>0 car la fonctionx7!1x décroit sur[n+1;n+2]. Enfin, u nvn=ln(n+1)lnn=ln 1+1n 7
et donc la suiteuvtend vers 0 quandntend vers+¥. Finalement, la suiteudécroit, la suitevcroit et

la suiteuvtend vers 0. On en déduit que les suitesuetvsont adjacentes, et en particulier convergentes
et de même limite. Notonsgcette limite. Pour tout entier naturel non nuln, on avn6g6un, et en particulier,v36g6u1avecv3=0;5:::etu1=1. Donc,g212 ;1. Plus précisément, pournentier naturel non nul donné, on a
06unvn61022
,ln 1+1n
60;005,1n

6e0;0051,n>1e

0;0051=199;5:::,n>200:

Donc 06gv10061022
et une valeur approchée dev200à1022 près (c"est-à-dire arrondie à la 3 ème
décimale la plus proche) est une valeur approchée degà 102près. On trouveg=0;57 à 102près par
défaut. Plus précisémént,
g=0;5772156649:::(gest la constante d"EULER).Correction del"exer cice4 NSoitrla raison de la suiteu. Pour tout entier naturelk, on a
ru kuk+1=uk+1uku kuk+1=1u k1u k+1.
En sommant ces égalités, on obtient :
r nå k=01u kuk+1=nå k=0 1u k1uquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

[PDF] Suites - Exo7 - Exercices de mathématiques

Suites

2+22+:::+k2.

E((n+12

ånk=1k2n

Õnk=12k=22k.

1.8n2N;un+1=un32un,

2.8n2N;un+1=4(un1)u

Montrer que si`=1, tout est possible.

Etudier la réciproque.

Application : limites de

2nq(3n)!n!.

Etudier les deux suitesun=

ånk=11pk

2pn+1 etvn=

ånk=11pk

1.8n2N;4un+2=4un+1+3un.

2.8n2N;4un+2=un.

3.8n2N;4un+2=4un+1+3un+12.

4.8n2N;2u

5.8n>2;un=3un12un2+n3.

6.8n2N;un+36un+2+11un+16un=0.

7.8n2N;un+42un+3+2un+22un+1+un=n5.

En déduire lim

Montrer que

Õnk=11+1k

On suppose dans cette question que

On suppose toujours que

Conclure.

1n+1nå

1n+1nå

61n+1n

Maintenant,

La suitevest donc bornée.

61n+1n+12

1(n+1)(n+2)

1(n+1)(n+2)nå

La suitevest donc croissante.

Par suite, lim

1k+1= (k+1k)1k+16Z

Donc, pourk>1,1k

61+nå

8n2N;ln(n+1)6Hn61+lnn:2.Soit nun entier naturel non nul.

1n+11x

1n+11x

06unvn61022

60;005,1n

6e0;0051,n>1e

0;0051=199;5:::,n>200:

Donc 06gv10061022

En sommant ces égalités, on obtient :