Analyse - Exo7 - Cours de mathématiques
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Exo7 - Institut de Mathématiques de Toulouse
central abordé dans ce tome d'analyse 1, ce sont les fonctions Vous en connaissez déjà
Cours danalyse 1 Licence 1er semestre
est pair Si a est impair, on peut écrire a = 2a + 1, alors a2 = 4a 2 + 4a + 1 qui est impair On en
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Analyse 3
Notes de cours
Andr´e Giroux
D´epartement de Math´ematiques et StatistiqueUniversit´e de Montr´eal
Mai 2004
Table des mati`eres1 INTRODUCTION31.1 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42 L"ESPACE EUCLIDIEN52.1 Propri´et´es alg´ebriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52.2 Propri´et´es g´eom´etriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82.3 Propri´et´es topologiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122.4 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .183 FONCTIONS NUM´ERIQUES CONTINUES223.1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223.2 Propri´et´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .253.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .304 FONCTIONS NUM´ERIQUES D´ERIVABLES324.1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .324.2 Fonctions continˆument d´erivables. . . . . . . . . . . . . . . .344.3 Propri´et´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .384.4 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .415 OPTIMISATION435.1 Extremums locaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .435.2 Fonctions convexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .455.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .476 TRANSFORMATIONS DE L"ESPACE EUCLIDIEN496.1 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .496.2 Transformations continues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .516.3 Transformations diff´erentiables. . . . . . . . . . . . . . . . .546.4 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .577 D´ERIVATION EN CHAˆINE597.1 Le th´eor`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .597.2 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .617.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .668 FONCTIONS INVERSES688.1 Le th´eor`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .688.2 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .721
8.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .759 FONCTIONS IMPLICITES779.1 Le th´eor`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .779.2 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .799.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8010 OPTIMISATION SOUS CONTRAINTES8210.1 Vari´et´es diff´erentiables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8210.2 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8410.3 Extremums li´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8710.4 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89Table des figures1 Un t´etra`edre dansR3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72 Un plan dansR3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123 Une discontinuit´e `a l"origine. . . . . . . . . . . . . . . . . . .244 Une discontinuit´e le long d"un rayon. . . . . . . . . . . . . .255 Une fonction continˆument d´erivable. . . . . . . . . . . . . . .386 Une fonction convexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .467 Une transformation du plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . .508 Les coordonn´ees sph´eriques dansR3. . . . . . . . . . . . . .529 Un point de rebroussement. . . . . . . . . . . . . . . . . . .852
1 INTRODUCTION
L"analyse math´ematique est l"´etude approfondie du calcul diff´erentiel et int´egral. Ce cours porte sur le calcul diff´erentiel des fonctions de plusieurs va- riables. On commence par y ´etablir les propri´et´es alg´ebriques, g´eom´etriques et topologiques de l"espace euclidien `andimensions, l"espaceRn. On y ´etudie ensuite le calcul diff´erentiel des fonctions num´eriques de plusieurs variables, les fonctionsRn→R. On y analyse enfin les transformations diff´erentiables des espaces euclidiens, les fonctionsRn→Rm, avec en particulier une d´emonstration du th´eor`eme des fonctions inverses et une de celui des fonc- tions implicites. Comme application, on pr´esente les m´ethodes classiques du calcul diff´erentiel pour l"optimisation d"une fonctionf(x1,x2,...,xn), avec ou sans contrainte sur les variablesx1,x2,...,xn. L"´etudiant est r´eput´e ˆetre familier avec le calcul diff´erentiel des fonctions d"une variable, les fonctionsR→R. Rappelons quelques r´esultats impor- tants de ce calcul.a)Le crit`ere de Cauchy. Une suite{xn}n?Nnum´erique est convergente si et seulement si lim n,m→+∞|xn-xm|= 0.b)Le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass. Toute suite{xn}n?Nde points d"un intervalle compact [a,b] contientune suite partielle convergeant vers un point de cet intervalle.c)La propri´et´e des valeurs extrˆemes.
L"image d"un intervalle compact par une fonction continue est un in- tervalle compact.d)Le th´eor`eme des accroissements finis. Sif: [a,b]→Rest d´erivable sur ]a,b[ et continue sur [a,b], il existe un pointc?]a,b[ tel que f(b)-f(a) =f?(c)(b-a).e)Le th´eor`eme de Taylor. Sifestn+ 1 fois d´erivable dans un intervalle ouvertIcontenantx0, on peut ´ecrire, pourx?I, f(x) =n? k=0f (k)(x0)k!(x-x0)k+f(n+1)(ξ)(n+ 1)!(x-x0)n+1 avecξentrex0etx.3 f)Les fonctions convexes. Une fonction d´erivablef: (a,b)→Rest convexe sur (a,b) si et seulement si sa d´eriv´ee est croissante sur (a,b). Elle satisfait alors les in´egalit´es quelques soienta < x1< x3< x2< bet f(x)≥f(x0) +f?(x0)(x-x0) quelques soientx,x0?(a,b). L"´etudiant est aussi suppos´e connaˆıtre les concepts fondamentaux de l"alg`ebre lin´eaire : matrices, d´eterminants, ´ecriture matricielle d"un syst`eme d"´equations lin´eaires, r`egle de Cramer pour le r´esoudre, vecteurs, transfor- mations lin´eairesRn→Rmet th´eor`eme des axes principaux.1.1 Exercices
Justifier ses r´eponses.1.Calculer
limsupn→+∞sinnπ2cosnπ ,liminfn→+∞sinnπ2cosnπ.2.D´eterminer, sans calculatrice, le plus grand des deux nombresπeet
eπ.3.Montrer que
lorsque 0< x <1.42 L"ESPACE EUCLIDIEN
Un pointxde l"espace euclidien `andimensionsRnest un n-tuplet : x= (x1,x2,...,xn). L"additionet lamultiplication scalairey sont d´efinies par x+y= (x1+y1,x2+y2,...,xn+yn) etλx= (λx1,λx2,...,λxn)
respectivement. On peut donc ´ecrire x=n? j=1x je(n) j si e(n) j= (0,0,...,1,...,0) (le 1 occupant laji`emeposition). Pour utiliser l"´ecriture matricielle, il sera quelquefois commode d"identifier le pointxavec son vecteur position, l"´el´ement deRn×1(la matricen×1, le vecteur colonne) dont les entr´ees sont les nombresxj. AlorsxTd´esignera l"´el´ement deR1×n(la matrice 1×n, le vecteur ligne) obtenu par transposition matricielle : xT= (x1x2... xn).
(Remarquer que les entr´ees d"une matrice 1×nne sont pas s´epar´ees par des virgules.)2.1 Propri´et´es alg´ebriques
Une somme
N? k=1λ kxk est unecombinaison lin´eairedes pointsxk, unecombinaison affine si?N k=1λk= 1 et unecombinaison convexesi, de plus,λk≥0 pour toutk. Un ensembleE?Rnest unensemble convexes"il contient toute combinaison convexe de ses points.Exemple.5
Ladroitepassant para,b?Rn(a?=b) est l"ensemble des combinaisons affines deaetb: x= (1-λ)a+λb=a+λ(b-a), λ?R. Dans le cas g´en´erique o`uak?=bkpour toutk, cela impose lesn-1 contraintes suivantes sur les coordonn´ees du pointxqui la parcourt : x Lesegment[a,b] est l"ensemble des combinaisons convexes deaetbExemple.
Soientx0,x1,x2,...,xmm+ 1 points tels que lesmvecteurs x1-x0,x2-x0,...,xm-x0
soient lin´eairement ind´ependants. Lepoly`edre(le polytope) [x0,x1,x2,...,xm] desommets x0,x1,x2,...,xmest l"ensemble des combinaisons convexes de ces points. C"est un ensemble convexe. Lorsquem= 2, on obtient un triangledont lescˆot´essont les segments [x0,x1], [x1,x2] et [x2,x0]. Lorsque m= 3, on obtient unt´etra`edredont lesfacessont les triangles [x0,x1,x2], [x0,x1,x3], [x0,x2,x3] et [x1,x2,x3] et lesarˆetessont les cˆot´es [x0,x1], [x0,x2], [x0,x3], [x1,x2], [x1,x3] et [x2,x3] de ces triangles.Exemple.
Unpav´e(un parall´el´epip`ede rectangle)Pest d´efini parnin´egalit´es strictes ou larges : P= (a1,b1)×(a2,b2)× ··· ×(an,bn) (dansR, [a,b] d´esigne un intervalle ferm´e, ]a,b[, un intervalle ouvert et (a,b), un intervalle quelconque).6 x 1 x 2 x 3 ?a,0,0??0,b,0??0,0,c??0,0,0?Fig.1 - Un t´etra`edre dansR3Lorsquen= 2, il est possible d´efinir un produitxyqui prolonge `aR2la
structure de corps qui existe surR. Identifionsxe(1)