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corrigé 4 Exercice 5 calculs de probabilités Lorsque Nicolas joue aux échcs contre Louis, il gagne La loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée

e−axdx et utiliser la formule d'inversion Exercice 4 Lois images 1 Soit X une variables aléatoire de loi E(λ) Déterminer la loi de ⌊X⌋

[PDF] Exercices de Probabilités

variance Exercice 23 Soit Xn des variables aléatoires i i d (indépendantes identi - quement distribuées) suivant une loi de Bernoulli de paramètre p On

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corrigé 4 Exercice 5 calculs de probabilités Lorsque Nicolas joue aux échcs contre Louis, il gagne La loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée

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Calculer la moyenne et la variance de Y Solution 1) La variable aléatoire X est absolument continue à valeurs dans R Elle admet une densité de probabilité fX

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1 Variables aléatoires Exercice 1 Le tableau de la loi de probabilité d'un dé truqué `a six faces est : i 1 2 3 4 5 6 pi 0 1 0 2 0 3 0 2 0 1 0 1 Soit les

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Exercice 1 Soit X une variable aléatoire dont la fonction de répartition est donnée par Calculer la probabilité pour que la distance parcourue sans incident soit

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1 6 Indépendance de deux variables aléatoires X et Y Corrigés des exercices centrale), Lois de probabilités fréquemment utilisées en statistique (Loi

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Soit une variable aléatoire discrète associée à la loi de probabilité suivante Calculer son espérance et sa variance i x 1 2 3

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L'espérance de la variable aléatoire X est 2 5 ( ) 10 E X e − = Correction Question a b c d Réponse F V F V a La densité de probabilité d'une loi

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TD 3: Variables aléatoires, lois usuelles discrètes et continues Loi de Bernoulli, loi Binomiale Exercice 1 Soit Xn que on peut estimer à 5 la probabilité

0500100015002000250030000.75

0.8 0.85 0.9 0.95 1

Exercices de

Mathématiques du

Signal Aléatoire

MAA104

c?(2008) D.GHORBANZADEH dariush.ghorbanzadeh@cnam.fr

Math´ematique du signal al´eatoire

Exercice

1 formule de Binôme

En utilisant la formule de Binˆome (x+y)n=n?

k=0Cknxkyn-k, calculer les sommes suivantes : S 1=n? k=0CknS2=n? k=1kCkn S 3=n? k=1k(k-1)CknS4=n? k=1k2Ckn

Exercice

2 combinatoire Soit Ω un ensemble fini `aN´el´ements. On d´esigne parP(Ω) l"ensemble de tous les sous-ensembles de Ω. Montrer que card(P(Ω)) = 2N. L"ensemble deP(Ω) poss`ede comme `el`ements tous les sous-ensembles de Ω form´e de :

0 ´el´ementil y en aC0N= 1 (∅ensemble vide)

1 ´el´ement

il y en aC1N=N(les singletons)

2 ´el´ements

il y en aC2N=N(N-1)2

3 ´el´ements

il y en aC3N=N(N-1)(N-2)3!......

N´el´ements

il y en aCNN= 1 (Ω lui-mˆeme)

Alors, card(P(Ω)) =N?

i=1CiN= 2N. corrig´e 2

Exercice

3 combinatoire Trouver toutes les compositions possibles d"une famille de4 enfants qui comprend deux filles et deux gar¸cons. Il y aC24= 6 possibilit´es :{(ffgg),(fgfg),(fggf),(ggff),(gfgf),(gffg)} corrig´e 3

Math´ematique du signal al´eatoire

Exercice

4 partition On consid`ere Ω l"ensemble des familles ayant 3 enfants et ond´esigne par E

1, E2, E3, E4les ´ev`enements suivants :

1={lafamilleaauplusdeuxfilles}

2={lafamillen?apasdefille}

3={lafamilleaunefille}

4={lafamilleadeuxfilles}

Montrer queE2, E3, E4foment une partition deE1.

On a :E

2={(ggg)}

3={(fgg),(gfg),(ggf)}

4={(ffg),(fgf),(gff)}

corrig´e 4

Exercice

5 calculs de probabilités Lorsque Nicolas joue aux ´echcs contre Louis, il gagne 5 foisplus souvent que ce dernier. Quelle est la probabilit´e que Nicolas gagne une partie? PosonsN={Nicolas gagne}etL={Louis gagne}. On cherche alors `a calculerP(N) sachant queP(N) = 5P(L). Or, par dfinition de la probabilit´e totale, on aP(N) +P(L) = 1. donc , 6P(L) = 1 soit

P(L) =1

6, on en d´eduit :P(N) = 1-16=56.

corrig´e 5

Exercice

6 calculs de probabilités Soit (Ω,P(Ω),P) un espace probabilis´e etA,Bdeux ´ev´enements deP(Ω)

2. Montrer que l"on a

Math´ematique du signal al´eatoire

Exercice

7 calculs de probabilités Soit (Ω,P(Ω),P) un espace probabilis´e etA,B,Ctrois ´ev´enements deP(Ω). On donne :P(A) = 0,65,P(A∩B) = 0,15,P(B∩C) = 0,1,P(A∩C) = 0,1,

P(A∩B∩C) = 0,05.

On poseH1=A?(B∩C),H2=A∩(B?C) etH3={niA,niB}.

1. CalculerP(H1) etP(H2).

2. CalculerP(H3) siP(B) = 0,35.

Exercice

8 calculs de probabilités Un ´etudiant, soucieux de ses r´esultats, estime `a 60% ses chances de r´eussir son cours de Math´ematiques, `a 85% ses chances de r´eussir son cours d"Informatique et `a 50% ses chances de r´eussir les deux mati`eres. Calculer la probabilit´e :

1. qu"il r´eussisse en Math´ematiques, mais pas en Infortmatique

2. qu"il r´eussisse en Informatique, mais pas en Math´ematiques

3. qu"il r´eussisse dans au moins une de ces deux mati`eres.

Exercice

9 calculs de probabilités On consid`ere le syst`eme d"´equations d"inconnus (x,y), dans lequela,b,cd´esignent trois param`etres r´eels :?x-2y= 3 ax-by=c Pour d´eterminer les coefficientsa,b,cl"on lance, trois fois, un d´e parfait dont les faces sont num´erot´ees de 1 `a 6 : le premier num´ero sorti donnea, le secondbet le trisi`emec.

1. Calculer les probabilit´esp1,p2,p3, pour que le syst`eme ainsi obtenu ait

respectivement : une infinit´e de solutions; aucune solution; une solution unique.

2. Quelle est la probabilit´e pour que le syst`eme admette lasolution unique (3,0).

Math´ematique du signal al´eatoire

Exercice

10 calculs de probabilités On lance un d´e parfait deux fois. Calculer la probabilit´e que la somme des points onbtenus soient sup´erieure ou ´egale `a 4 et que le premier point soit plus grand ou

´egal au deuxi`eme point.

Le d´e ´etant parfait on a donc :P(A) =card(A)

36. Pour d´eterminer le cardinal deAon a :

On peut donc ´ecrireAsous la formeA=6?

j=1M Du fait queM1,...M6sont disjoints on a : card(A) =6? j=1card(Mj). Or, card(Mj) = 6-max(4-j,j) + 1

En tenant compte de :

max(4-j,j) =?4-jsij= 1 jsij= 2,...,6 on obtient : card(A) =6? j=1(7-max(4-j,j)) = (7-(4-1)) +6? j=2(7-j) = 19

D"o`uP(A) =19

36.
corrig´e 10

Math´ematique du signal al´eatoire

Modèles d'urne

Une urne contientnboules,n1du typeA,n2de typeB. Un tirage consiste `a extraire une boule de l"urne et `a noter son typeAouB(n≥2,n1≥1 ,n2≥1). On effectueNtirages; soitω={ω1,...,ωN}´ev`enement associ´e. Parmi lesNtirages il y en aN1du typeAetN2=N-N1du typeB. Notons :Ai={i-`eme tirage est du typeA}etBi={i-`eme tirage est du typeB} on a :P(Ai) =n1 netP(Bi) =n2n.

Modèle du tirage avec remise (N≥1)

Apr`es chaque tirage on remet la boule dans l"urne; des ´ev`enements associ´es `a des tirages diff´erents sont mutuellement ind´ependants. Toutes les boules pr´esentes dans l"urne ont la mˆeme probabilit´e d"ˆetre tir´ees.

On a donc

P({ω}) =?n1

N1?n2n?

N2 Apr`es chaque tirage on ne remet pas la boule dans l"urne. A chaque tirage toutes les boules pr´esentes dans l"urne ont la mˆeme probabilit´e d"ˆetre tir´ees.

On a donc

P({ω}) =CN1n1CN2n2

Math´ematique du signal al´eatoire

Exercice

Modèle d"urne

Un joueur de bridge poss`ede dans sa main 13 cartes d"un jeu de52 cartes distribu´ees au hasard. Calculer la probabilit´e qu"il ait:

1. un as exactement.

2. au moins un as.

3. un as et un roi.

4. au moins un as et au moins un roi.

Exercice

Modèle d"urne

Une urne contientnboules dontn1rouges,n2blanche etn3bleues. On en tire 3 boules (sans les remplacer), calculer la probabilit´e pourque

1. toutes les trois soient rouges;

2. deux soient rouges et une blanche;

3. au moins une soit blanche;

4. il y ait une de chaque couleur;

5. les boules soient tir´ees dans l"ordre bleue, blanche et rouge.

Exercice

13 probabilité conditionnelle Une urne contient 7 boules blanches et 5 boules rouges. On extrait 2 boules sans remise. Quelle est la probabilit´e d"obtenir deux boules blanches? Que la deuxi`eme soit blanche? Notons :A={premi`ere boule blanche}etB={deuxi`eme boule blanche}. Alors

P(2boules blanches) =P(A∩B) =P(A)P(B|A) =7

127-112-1

P(deuxi`emebouleblanche) =P(B) =P(B∩(A?Ac)) =P((B∩A)?(B∩Ac)) =P(B∩A) +P(B∩Ac) =P(A)P(B|A) +P(Ac)P(B|Ac) =7

127-112-1+5127-012-1

corrig´e 13

Math´ematique du signal al´eatoire

Exercice

14 probabilité conditionnelle On lance un d´e dont les faces sont num´erot´ees de 1 `a 6. Les faces 3 et 6 sont blanches. Les faces 1 , 2 et 4 sont rouges. La face 5 est bleue. On suppose que le d´e est truqu´e et on a les probabilit´es des ´ev´enements ´el´ementaires suivantes : P({1}) = 0,1 ;P({2}) =P({3}) =P({4}) = 0,2 ;P({5}) =P({6}) = 0,15 Quelle est la probabilit´e d"obtenir une face avec un num´ero pair sachant que la face est blanche? NotonsA={face blanche}etB={num´ero pair}. On cherche la probabilit´eP(B|A). On a :P(B) =P({2}) +P({4}) +P({6}) = 0,55 etP(A) =P({3}) +P({6}) = 0,35. De plusP(A∩B) =P({6}) = 0,15 d"o`uP(B|A) =0,15

0,35=37.

corrig´e 14

Exercice

15 probabilité conditionnelle Deux familles ont respectivement 3 et 5 enfants. Il y a deux gar¸cons dans chacune des familles. Nous choisissons un enfant au hasard de la fa¸con suivante : un d´e est

lanc´e et l"enfant est s´electionn´e dans la premi`ere famille si le r´esultat est inf´erieur

ou ´egal `a quatre et dans la deuxi`eme sinon. Une fois la famille d´etermin´ee, les enfants de cette famille ont tous la mˆeme chance d"ˆetre s´electionn´e. Quelle est la probabilit´e que l"enfant choisi soit un gar¸con?

Notons :

E={l"enfant choisi est un gar¸con}

1={l"enfant provient de la premi`ere famille}

2={l"enfant provient de la deuxi`eme famille}

P(E) =P(E∩F1) +P(E∩F2) =P(E|F1)P(F1) +P(E|F2)P(F2) 2

3×46+25×26=2645

corrig´e 15

Math´ematique du signal al´eatoire

Exercice

16 probabilité conditionnelle Il y a 4% d"absenteisme chez les employ´es travaillant de jour, 8% chez ceux qui travaillent le soir et 22% chez ceux qui travaillent de nuit.Il y a 80% des employes qui travaillent de jour, 10% qui travaillent de soir et 10% qui travaillent de nuit. On choisit un employ´e, quelle est la probabilit´e qu"il travaille de jour sachant qu"il

´etait absent du travail.

Notons :

1={employ´e travaille de jour}

2={employ´e travaille de soir}

3={employ´e travaille de nuit}

A={employ´e est absent}

On cherche :P(E1|A). Or,

P(A|E1) =4

100P(A|E2) =8100P(A|E3) =22100

P(E1) =80

100P(E2) =10100P(E3) =10100

D"o`u

P(E1|A) =P(A|E1)×P(E1)

P(A|E1)×P(E1) +P(A|E2)×P(E2) +P(A|E3)×P(E3)= 0,51613 corrig´e 16

Exercice

17 probabilité conditionnelle Le quart d"une population a ´et´e vaccin´e contre une maladie contagieuse. Au cours d"une ´epid´emie, on constate qu"il y a parmi les malades un vaccin´e pour quatre non-vaccin´es. On sait de plus qu"au cours de cette ´epid´emie, il y avait un malade sur douze parmi les vaccin´es. Quelle ´etait la probabilit´e de tomber malade pour un individu non-vaccin´e?

Le vaccin est-il efficace?

Math´ematique du signal al´eatoire

Exercice

18 probabilité conditionnelle

1. Une famille a deux enfants dont une fille. Quelle est la probabilit´e que l"autre

soit un gar¸con?

2. Une autre famille a deux enfants, le plus jeune est une fille. Quelle est la

probabilit´e que l"aˆın´e soit un gar¸con?

Exercice

19 loi de probabilité discrète

Pourθ?]0,1[, on d´efinit la suitepkpar :

p k=???C(1-θ) max?k,k2-5k+ 6?si k= 1,...,9

θsi k= 10

o`uCest une constante positive. D´eterminerCde sorte quepksoit une loi de probabilit´es sur{1,...,10}. Pour quepksoit une loi de probabilit´es sur{1,...,10}, on doit avoir :10? k=1p k= 1. 10 k=1p k=C(1-θ)9? k=1max?k,k2-5k+ 6?+θ= 1 D"o`u 9? k=1max?k,k2-5k+ 6?=1 C. k123456789 k2-5k+ 62002612203042 max?k,k2-5k+ 6?2234612203042

DoncC=12 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42=1121

corrig´e 19

Math´ematique du signal al´eatoire

Exercice

20 loi de probabilité discrète

Pourθ?]0,1[, on d´efinit la suitepkpar :

p k=???C θmin{k,8-k}sik= 1,...,7

1-θsik= 8

o`uCest une constante positive. D´eterminerCde sorte quepksoit une loi de probabilit´es sur{1,...,8}.

Variable aléatoire discrète

Si une variable al´eatoire X prend ses valeurs dans un ensemble discret (fini ou infini d´enombrable ) c"est une variable al´eatoire discr`ete.

Loi de Bernoulli

SoitXune variable al´eatoire dichotomique d´efinissant le mod`ele de probabilit´e :

P(X= 1) =θetP(X= 0) = 1-θ

Une telle variable al´eatoire est dite variable de Bernoulli de param`etreθ, not´eeBer(θ).

+On utilise la loi de Bernoulli lorsqu"une exp´erience al´eatoire n"a que deux r´esultats possibles : le succ`es avec une probabilit´e deθ, et l"´echec avec une probabilit´e de

1-θ. Les exemples d"utilisation de cette loi sont nombreux. En voici quelques-uns :

´etude de la composition d"une population (masculin-f´eminin); contrˆole de la qualit´e de certaines marchandises (bonne ou d´efectueuse); le sexed"un enfant `a la naissance.

Loi binômiale

Consid´erons un ensemble de n variables al´eatoires ind´ependantes, suivant une loi de Bernoulli de param`etreθ. SoitX=n? i=1Y i, la somme de cesnvariables de Bernoulli ind´ependantes. La loi de probabilit´e de la variable al´eatoireXest appel´ee loi binˆomiale, not´eeBin(n,θ). Elle est donn´ee par :

P(X=k) =Cknθk(1-θ)n-k?k? {0,1,... ,n}

Exemple.On lance une pi`ece de monnaie six fois. La probabilit´e d"obtenir exactement trois piles est :

P(X= 3) =C36(1

2)3(1-12)6-3=C3626= 0,3125

Math´ematique du signal al´eatoire

Exercice

21
loi de Bernoulli de paramètreθ SoitXune variable al´eatoire de loi de Bernoulli de param`etreθ.

CalculerE[X] etV ar[X].

On a :E[X] =?

k?{0,1}kP(X=k) = 0×(1-θ) + 1×θ=θ.

D"autre part,E[X2] =?

k?{0,1}k2P(X=k) = 02×(1-θ) + 12×θ=θ. D"o`u :V ar[X] =E[X2]-(E[X])2=θ-θ2=θ(1-θ) corrig´e 21

Exercice

22
variable aléatoire discrète SoitXune variable al´eatoire discr`ete `a valeurs dans{1,2,... ,n}de loi :

P(X=i) =C i?i? {1,2,...,n}

o`uCest une constante.

1. D´eterminer la valeur de la constanteC.

2. D´eterminer la fonction de r´epartition de la loi deX.

3. D´eterminer la loi deY=n-X.

4. D´eterminer la loi deZ=n+X.

indication ?On utilisera :M? k=1k=M(M+ 1)2

Exercice

23
variable aléatoire discrète SoitXune variable al´eatoire discr`ete `a valeurs dans{1,2,... ,5}de loi :

P(X=i) =K(7-i)?i? {1,2,... ,5}

o`uKest une constante.

1. D´eterminer la valeur de la constanteK.

2. CalculerP(X2-5X+ 6 = 0).

3. CalculerP(X2-5X+ 6>0).

Math´ematique du signal al´eatoire

Exercice

24
calculs de lois SoitXetYdeux variables al´eatoires discr`etes, ind´ependantes `avaleurs dans {0,1}de lois respectives : P(X= 1) =p1,P(X= 0) = 1-p1,P(Y= 1) =p2,P(Y= 0) = 1-p2

On poseU1=X+YetU2=XY.

1. D´eterminer les lois deU1et deU2.

2. CalculerE[U1],V ar[U1],E[U2] etV ar[U2].

Exercice

25
calculs de lois SoitXetYdeux variables al´eatoires discr`etes ind´ependantes de lois respectives : ?P(X=i) =1

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0500100015002000250030000.75

Exercices de

Mathématiques du

Signal Aléatoire

MAA104

Math´ematique du signal al´eatoire

Exercice

En utilisant la formule de Binˆome (x+y)n=n?

Exercice

0 ´el´ementil y en aC0N= 1 (∅ensemble vide)

1 ´el´ement

2 ´el´ements

3 ´el´ements

N´el´ements

Alors, card(P(Ω)) =N?

Exercice

Math´ematique du signal al´eatoire

Exercice

1, E2, E3, E4les ´ev`enements suivants :

1={lafamilleaauplusdeuxfilles}

2={lafamillen?apasdefille}

3={lafamilleaunefille}

4={lafamilleadeuxfilles}

Montrer queE2, E3, E4foment une partition deE1.

On a :E

2={(ggg)}

3={(fgg),(gfg),(ggf)}

4={(ffg),(fgf),(gff)}

Exercice

P(L) =1

6, on en d´eduit :P(N) = 1-16=56.

Exercice

2. Montrer que l"on a

Math´ematique du signal al´eatoire

Exercice

P(A∩B∩C) = 0,05.

1. CalculerP(H1) etP(H2).

2. CalculerP(H3) siP(B) = 0,35.

Exercice

1. qu"il r´eussisse en Math´ematiques, mais pas en Infortmatique

2. qu"il r´eussisse en Informatique, mais pas en Math´ematiques

3. qu"il r´eussisse dans au moins une de ces deux mati`eres.

Exercice

1. Calculer les probabilit´esp1,p2,p3, pour que le syst`eme ainsi obtenu ait

2. Quelle est la probabilit´e pour que le syst`eme admette lasolution unique (3,0).

Math´ematique du signal al´eatoire

Exercice

´egal au deuxi`eme point.

36. Pour d´eterminer le cardinal deAon a :

On peut donc ´ecrireAsous la formeA=6?

En tenant compte de :

D"o`uP(A) =19

Math´ematique du signal al´eatoire

Modèles d'urne

Modèle du tirage avec remise (N≥1)

On a donc

P({ω}) =?n1

N1?n2n?

On a donc

P({ω}) =CN1n1CN2n2

Math´ematique du signal al´eatoire

Exercice

Modèle d"urne

1. un as exactement.

2. au moins un as.

3. un as et un roi.

4. au moins un as et au moins un roi.

Exercice

Modèle d"urne

1. toutes les trois soient rouges;

2. deux soient rouges et une blanche;

3. au moins une soit blanche;

4. il y ait une de chaque couleur;

5. les boules soient tir´ees dans l"ordre bleue, blanche et rouge.

Exercice

P(2boules blanches) =P(A∩B) =P(A)P(B|A) =7

127-112-1

127-112-1+5127-012-1

Math´ematique du signal al´eatoire

Modèle du tirage avec remise (N≥1)

Loi de Bernoulli

Loi binômiale