[PDF] [PDF] La loi normale

[PDF] La loi normale

d'écart-type σ On la note N (µ, σ) Cas particulier µ = 0 et σ = 1 : loi normale centrée/réduite Lorsque l'on suppose qu'une variable X suit le mod`ele de la loi  

[PDF] Ch 5 : Echantillonnage, estimation

type de l'échantillon) pour estimer l'écart-type σ de la population (voir le §3) Noter qu' Rappelons que la loi de probabilité de chaque Xi et donc de Mn et de Zn est inconnue la loi binomiale B(n, p), d'espérance µ = np et d'écart-type σ =

[PDF] Estimations et intervalles de confiance - Institut de Mathématiques

connaissance des lois de ce estimateurs permet l'estimation par in- tervalle de En résumé, estimer un paramètre inconnu, c'est en donner une valeur ap- prochée à partir qui ne suit plus une loi normale mais une loi dite de Student à n − 1 degrés de liberté l'écart-type, la taille de l'échantillon y est pour beaucoup 6

[PDF] LOI NORMALE - maths et tiques

- L'écart-type, noté σ , donne la dispersion autour de la moyenne Remarque : La courbe est d'autant plus "resserrée" autour de son axe de symétrie que l'écart-

[PDF] loi normale - Maths-francefr

centré la variable Xn D'autre part, la variance ou l'écart-type n'ont pas changé ou encore V(Yn) = V(Xn) = c) Espérance, variance et écart-type de la loi normale centrée réduite Soit X une normale de moyenne et d'écart-type inconnus

[PDF] Statistiques

Définition 2 1 1 La loi normale standard N(0,1) est celle de densité f0,1(t) = 1 √ général, la moyenne µ ou la variance σ2 ou encore l'écart-type σ de la loi du Étant donné un échantillon X1, ,Xn d'un caract`ere X inconnu, on admet que

[PDF] Cours de Statistiques inférentielles

Une variable aléatoire réelle X suit une loi normale (ou loi gaussienne, loi de µ et d'écart type σ (nombre strictement positif, car il s'agit de la racine carrée de la Cet intervalle reste valable lorsque la variance est inconnue et l'échantillon 

[PDF] Chapitre 8 : Estimation de paramètres - LACIM

12 mar 2013 · Exemple : Un échantillon issu d'une loi normale dont la moyenne µ et la variance moyenne inconnue µ et d'écart-type inconnu σ ; A Blondin 

[PDF] loi normale

La variable aléatoire X suit une loi normale de moyenne m et d'écart type σ ( on note : X ∼ N(m;σ) ) signifie que : L'ensemble des valeurs possibles de X est 

[PDF] STATISTIQUE : ESTIMATION - Institut de Mathématiques de Bordeaux

Estimation de la moyenne quand la variance est inconnue alors la loi normale N(m, σ2/n), ce qui confime que c'est un estimateur sans biais, convergent de m Lorsqu'on s'intéresse à l'écart-type on prend les racines carrées des bornes 

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Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques

Chapitre 3

La loi normale

Universite de Paris Ouest2012{2013

Chapitre 32012{2013

Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques

Sommaire

1

Le mo deled ela lo in ormale

Un exemple

Proprietes de la loi normale

2

C alculsp ratiques

Chapitre 32012{2013

Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques

Un exemple pour commencer : Test de memoire

Etude de lacapacite de memoired'adultes atteints d'une maladie neurologique. Chaque individu lit 30 mots et doit ensuite en reciter le plus possible. I

PopulationP=fpatients atteints de la maladieg

I

VariablequantitativeX= "nombre de mots retenus"

I

2 parametres;.Chapitre 32012{2013

Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques

La courbe "en cloche"

En sciences humaines on observe souvent des distributions I plut^otsymetriquesautour de I avec une forme declochePourpouvoir faire des calculs, on va parfois supposer queXsuit une distribution "modele", appeleeLoi normale.Chapitre 32012{2013

Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques

La courbe "en cloche"

En sciences humaines on observe souvent des distributions I plut^otsymetriquesautour de I avec une forme declochePourpouvoir faire des calculs, on va parfois supposer queXsuit une distribution "modele", appeleeLoi normale.Chapitre 32012{2013

Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques

Premieres proprietes de la loi normale

SiXsuit cette distribution "modele", on lui associe une courbe : I courbesymetriquepar rapport a I forme declocheI l'aire grisee represente la proportion cumuleeChapitre 32012{2013

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Premieres proprietes de la loi normale

I courbesymetriquepar rapport a I forme declocheI l'aire grisee represente la proportion cumuleeChapitre 32012{2013

Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques

Parametres de la loi normale

Pour chaque;, il existe uneloi normale de moyenneet d'ecart-type.

On la noteN(;).Cas particulier

= 0 et= 1 : loi normale centree/reduite.Lorsque l'on suppose qu'une variableXsuit le modele de la loi normale

N(;), on ecrit

X N(;):Chapitre 32012{2013

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Parametres de la loi normale

Pour chaque;, il existe uneloi normale de moyenneet d'ecart-type.

On la noteN(;).Cas particulier

= 0 et= 1 : loi normale centree/reduite.Lorsque l'on suppose qu'une variableXsuit le modele de la loi normale

N(;), on ecrit

X N(;):Chapitre 32012{2013

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Parametres de la loi normale

Exemples de lois normales avecmoyennes dierentes, m^eme ecart-type :3-1N(3,1)N(-1,1)Exemples de lois normales avec m^eme moyenne,ecart-types dierents:3N(3,1)N(3,2)Chapitre 32012{2013

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Parametres de la loi normale

Exemples de lois normales avecmoyennes dierentes, m^eme ecart-type :3-1N(3,1)N(-1,1)Exemples de lois normales avec m^eme moyenne,ecart-types dierents:3N(3,1)N(3,2)Chapitre 32012{2013

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Pour les plus matheux : l'equation de la courbe

Pour la tracer a la calculatrice/ordinateur,

y=1 p2exp (x)222

Cette formule n'est pas utile pour ce cours!

Chapitre 32012{2013

Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques

Exemple : QI

Etude sur leQIde 515 enfants du m^eme ^age,= 100;1,= 5;7.En rose, courbe de la loi normaleN(= 100;1;= 5;7).Chapitre 32012{2013

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Exemple : QI

Etude sur leQIde 515 enfants du m^eme ^age,= 100;1,= 5;7.En rose, courbe de la loi normaleN(= 100;1;= 5;7).Chapitre 32012{2013

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Loi normaleN(;) : a retenir

I distribution "modele"pour desvariables quantitatives continues I moyenne, ecart-type I allure de la courbe : I aires = proportions cumuleesChapitre 32012{2013

Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques

Sommaire

1

Le mo deled ela lo in ormale

2

C alculsp ratiques

Loi normale centree/reduite

Loi normale quelconque

Quantiles

Chapitre 32012{2013

Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques

Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple

On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion

d'individus est-ce queX1;56?On chercheP(X1;56) (rappel : on ecrit aussiF(1;56)).0airegris ee=F(1,56)1,56Chapitre 32012{2013

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Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple

On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion

d'individus est-ce queX1;56?On chercheP(X1;56) (rappel : on ecrit aussiF(1;56)).0airegris ee=F(1,56)1,56Chapitre 32012{2013

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Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple

On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX1;56?On chercheP(X1;56) (rappel : on ecrit aussiF(1;56)).

On cherche

1,5 6 d ansla table::::0;06:::. ..1;5:::0:9406::: ...DoncP(X1;56) = 0;9406. Pour 94;06 % des individus, la variableXest inferieure a 1;56.Chapitre 32012{2013

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Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple

On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX1;56?On chercheP(X1;56) (rappel : on ecrit aussiF(1;56)).

On cherche

1,5 6 d ansla table::::0;06:::. ..1;5:::0:9406::: ...DoncP(X1;56) = 0;9406. Pour 94;06 % des individus, la variableXest inferieure a 1;56.Chapitre 32012{2013

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Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple

On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX1;49?On chercheP(X1;49).On ecrit d'abord P(X1;49) = 1P(X1;49) = 1F(1;49)On cherche1,4 9d ansla table.::: :::0;09. ..1;4::: :::0:9319 ...DoncP(X1;49) = 0;9319. SoitP(X1;49) = 10:9319 = 0:0681.Chapitre 32012{2013

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Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple

On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX1;49?On chercheP(X1;49).On ecrit d'abord P(X1;49) = 1P(X1;49) = 1F(1;49)On cherche1,4 9d ansla table.::: :::0;09. ..1;4::: :::0:9319 ...DoncP(X1;49) = 0;9319. SoitP(X1;49) = 10:9319 = 0:0681.Chapitre 32012{2013

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Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple

On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX1;49?On chercheP(X1;49).On ecrit d'abord P(X1;49) = 1P(X1;49) = 1F(1;49)On cherche1,4 9d ansla table.::: :::0;09. ..1;4::: :::0:9319 ...DoncP(X1;49) = 0;9319. SoitP(X1;49) = 10:9319 = 0:0681.Chapitre 32012{2013

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Loi normale centree/reduiteN(0;1) : valeurs negativesExemple On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion

P(X1;1) = 1P(X1;1) = 10;8643:

Finalement,P(X 1;1) = 0;1357:Chapitre 32012{2013

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Loi normale centree/reduiteN(0;1) : valeurs negativesExemple On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion

P(X1;1) = 1P(X1;1) = 10;8643:

Finalement,P(X 1;1) = 0;1357:Chapitre 32012{2013

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Loi normale centree/reduiteN(0;1) : valeurs negativesExemple On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion

P(X1;1) = 1P(X1;1) = 10;8643:

Finalement,P(X 1;1) = 0;1357:Chapitre 32012{2013

Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques

Loi normale centree/reduiteN(0;1) : valeurs negativesExemple On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion

P(X1;1) = 1P(X1;1) = 10;8643:

Finalement,P(X 1;1) = 0;1357:Chapitre 32012{2013

Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques

Loi normale centree/reduiteN(0;1) : valeurs negatives

A retenir :

Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques

Calculs avec laN(0;1), tous les cas

Pour n'importe quela>0,

IP(Xa)0a

)tableIIP(Xa)0a = 10a )cas IIIIP(X a)0-a=0a )cas IIIVP(X a)0-a=0a )cas IChapitre 32012{2013

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Loi normale quelconqueN(;)

I Pour faire des calculs avec uneN(;), on se ramene a la loi

N(0;1).Theoreme

SiX N(;) alorsX

N(0;1)=Z:On dit que l'oncentre et reduitX.On utilise la lettreZpour designer une loi normale centree/reduite.Chapitre 32012{2013

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Loi normale quelconqueN(;)

I Pour faire des calculs avec uneN(;), on se ramene a la loi

N(0;1).Theoreme

SiX N(;) alorsX

N(0;1)=Z:On dit que l'oncentre et reduitX.On utilise la lettreZpour designer une loi normale centree/reduite.Chapitre 32012{2013

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Loi normale quelconqueN(;)

I Pour faire des calculs avec uneN(;), on se ramene a la loi

N(0;1).Theoreme

SiX N(;) alorsX

N(0;1)=Z:On dit que l'oncentre et reduitX.On utilise la lettreZpour designer une loi normale centree/reduite.Chapitre 32012{2013

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Un exemple avec uneN(11;2)Exemple

On suppose qu'une certaine variableX N(11;2). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX14?On chercheP(X14).I

Oncentre et on reduitX:X112

N(0;1).I

P(X14) =PX112

14112
=P(Z1;5)I On cherche 1;5 dans la table.On trouve nalementP(X14) = 0;9332.Chapitre 32012{2013

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Un exemple avec uneN(11;2)Exemple

On suppose qu'une certaine variableX N(11;2). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX14?On chercheP(X14).I

Oncentre et on reduitX:X112

N(0;1).I

P(X14) =PX112

14112
=P(Z1;5)I On cherche 1;5 dans la table.On trouve nalementP(X14) = 0;9332.Chapitre 32012{2013

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Un exemple avec uneN(11;2)Exemple

On suppose qu'une certaine variableX N(11;2). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX14?On chercheP(X14).I

Oncentre et on reduitX:X112

N(0;1).I

P(X14) =PX112

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