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2 Ensembles et Applications 3 1 1 Propriétés des relations binaires dans un en - La partie entrainement comprend des exercices qui ont été NOTIONS DE LOGIQUE MATHÉMATIQUE Corrigés Corrigé 1 5 1 (1) (n = 2) ∧ (n pair) ⇒ n

FEUILLE N◦ 1 : ENSEMBLES, RELATIONS, APPLICATIONS Dans les trois premiers exercices, on considère un ensemble E et A,B,C ∈ P(E) Exercice 1

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Correction des exercices-Chapitre 8-Ensembles, applications, relation d' équivalence ♢ Eléments de correction en ligne 1 1 On procède par double implication

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Pour les trois exercices suivants, on rappelle que deux ensembles A et B sont dits en bijection s'il existe une application bijective entre A et B Exercice 8 Soient A

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est une application (i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni injective Justifier 3 Soit ∈ ℕ ∖ {0,1}

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Ensembles, relations, applications : corrigé Exercice no 1 Si E = F, alors 乡(E) Finalement, la relation 勿 est réflexive, symétrique et transitive Par suite, la

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En déduire une expression de la fonction indicatrice de A ∪B à l'aide des fonctions indicatrices de A et de B 5 Soit f une fonction définie sur un ensemble E à

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Exercice 3 1 Soient E et F des ensembles, f une application de E dans F, A une partie de Exercice 4 4 On considère sur N N la relation binaire P donnée par :

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Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 1 Daniel ALIBERT Ensembles, applications Relations d'équivalence Lois de composition (groupes )

ALGÈBRE

Cours et Exercices

Première Année LMD

Marir Saliha

Table des matières

1 Notions de Logique Mathématique 6

1.1 Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Propriétés des connecteurs logiques . . . . . . . . .

1.4 Quantificateurs mathématiques . . . . . . . . . . .

1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Ensembles et Applications 20

2.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.1 Inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.2 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . .

2.1.3 Propriétés des opérations sur les ensembles .

2.1.4 Partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.5 Produit Cartésien . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.6 Exercices sur les ensembles . . . . . . . . . .

2.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.1 Composition d"applications . . . . . . . . .

2.2.2 Image directe et Image réciproque . . . . . .

2.2.3 Injection, Surjection, Bijection . . . . . . . .

3 6

2.2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Relations Binaires 48

3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.1 Propriétés des relations binaires dans un en-

semble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2 Relation d"équivalence . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Relation d"ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53
3

4TABLE DES MATIÈRES

Bibliographie 62

Introduction

Ce polycopié reprend quelques notions mathématiques à la base de la partie Algèbre de l"unité d"Enseignement Maths1 de premières années LMD Sciences et techniques et Mathématiques et informa- tique. Il peut aussi être utilement utilisé par les étudiants d"autres paliers aussi bien en sciences et sciences et techniques que ceux de

Biologie, Sciences économiques ou autre.

Les chapitres de ce texte se décomposent de la façon suivante : Le cours contient les notions à assimiler. Il convient d"en ap- prendre les définitions et les énoncés des résultats principaux. Les démonstrations données doivent être comprises ainsi que les exemples proposés tout au long du cours. La partie entrainement comprend des exercices qui ont été choisis soigneusement. Il est conseillé de s"exercer à résoudre par soi-même les exercices sans avoir une solution à côté . C"est grâce à ce travail personnel indispensable que l"on peut aller loin dans la compréhension et l"assimilation des notions mathématiques introduites. C"est la seule méthode connue à ce jour pour progresser en mathématiques. L"étu- diant consciencieux travaillera la justification de chacune de ses réponses. Rappelons que trouver la bonne réponse ne suffit pas en science, il faut aussi la justifier! La partie Solutions des exercices proposés que l"étudiant pourra consulter en cas de difficulté. 5

Chapitre 1

Notions de Logique

Mathématique

Sommaire1.1 Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.2 Connecteurs logiques . . . . . . . . . . .

1.3 Propriétés des connecteurs logiques . .

1.4 Quantificateurs mathématiques . . . . .

1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 1.1 Préambule

Les mathématiques actuelles sont bâties de la façon suivante : Axiome :Un axiome est un énoncé supposé vrai à priori et que l"on ne cherche pas à démontrer. Exemple 1.1.1.Euclide a énoncé cinq axiomes qui devaient être la base de la géométrie euclidienne; le cinquième axiome a pour énoncé : Par un point extérieur à une droite, il passe une et une seule droite parallèle à cette droite. 6

1.1. PRÉAMBULE7

Les cinq axiomes de Péano, qui définissent l"ensemble des en- tiers naturels. Le cinquième axiome est : siPest une partie deNcontenant0et que tout successeur de chaque élément dePappartient àP(le successeur de n estn+1) alorsP=N. Cet axiome est appelé " axiome d"in- duction ». Définition :Une définition est un énoncé dans lequel on décrit les particularités d"un objet mathématique. On doit avoir conscience que le mot "axiome" est parfois synonyme de "définition". Démonstration :(ou preuve) c"est réaliser un processus qui per- met de passer d"hypothèses supposées vraies à une conclusion et ce en utilisant des règles strictes de logique. On décide enfin de qualifier de vraie toute affirmation obtenue en fin de démonstration et on l"appelle selon son importance,

Lemme :Un résultat d"une importance mineure.

Théorème :Un résultat d"une importance majeure. Corollaire :Un corollaire à un théorème est conséquence à ce théo- rème. Conjecture :Un résultat mathématique que l"on suppose vrai sans parvenir à le démontrer. Exemple 1.1.2.La conjecture de Fermat : sin2N; n3, il n"existe pas d"entiers naturelsx;y;ztels que x n+yn=zn Récemment, ce résultat a été démontré. Proposition :Une proposition est un énoncé mathématique pouvant être vrai ou faux, on la note par les lettres P, Q, R,...etc. Exemple 1.1.3.L"énoncé " 24 est multiple de 4 » est une propo- sition vraie. L"énoncé " 19 est multiple de 3 » est une proposition fausse. A toute proposition correspond une table de véritéP V FouP 1 0

8CHAPITRE 1. NOTIONS DE LOGIQUE MATHÉMATIQUE

Pour deux propositionsPetQnon précisées, correspond22possi- bilités d"attribution de véritéPQ 11 10 01 00 D"une manière générale, ànpropositions correspond2npossibilités d"attribution de vérité.

1.2 Connecteurs logiques

Si P est une proposition et Q est une autre proposition, nous allons définir de nouvelles propositions construites à partir de P et de Q.

Négation d"une proposition

La négation d"une proposition P est une proposition notéeP et définie à partir de sa table de véritéPP 10 01

Conjonction " et »

La conjonction est le connecteur logique " et » qui à tout couple de propositions(P;Q)associe la proposition "P et Q », notéeP^Qet définie ainsi :P^Qest vraie siPetQsont toutes les deux vraies simultanément, fausse dans les autres cas. On résume ceci dans la table de vérité suivantePQP^Q111 100
010 000

1.2. CONNECTEURS LOGIQUES9

Disjonction " ou »

La disjonction est le connecteur logique " ou » qui à tout couple de propositions(P;Q)associe la proposition "P ou Q », notéeP_Qet définie ainsi :P_Qest fausse siPetQsont toutes les deux fausses simultanément, vraie dans les autres cas. On résume ceci dans la table de vérité suivantePQP_Q111 101
011 000

Implication ")»

L"implication est le connecteur logique qui à tout couple de propositions(P;Q)associe la proposition "P implique Q », notéeP)Qet définie ainsi :P)Qest fausse lorsqueP est vraie etQest fausse, vraie dans les autres cas. On résume ceci dans la table de vérité suivantePQP)Q111 100
011 001

Equivalence ",»

L"équivalence est le connecteur logique qui à tout couple de propositions(P;Q)associe la proposition "P équivaut Q », notéeP,Qet définie ainsi :P,Qest vraie lorsquePet Qont la même valeur de vérité, fausse dans les autres cas. On résume ceci dans la table de vérité suivantePQP,Q111 100
010 001

10CHAPITRE 1. NOTIONS DE LOGIQUE MATHÉMATIQUE

1.3 Propriétés des connecteurs logiques

Considérons la propositionP. Cette proposition peut prendre la valeur de vérité vrai ou faux. Considérons la proposition composée R=P_P Cette proposition est remarquable. En effet,Rest toujours vraie et ce indépendamment deP. Vérifions-le :PPP_P 101

011(1.1)

La propositionRest alors qualifiée de tautologie. Définition 1.3.1.Une proposition qui est vraie quelles que soient les valeurs de vérité des propositions qui la composent est appelée une Tautologie. Propriétés 1.3.1.Quelles que soient les valeurs de vérité des pro- positionsP,QetR, les propositions suivantes sont toujours vraies. P_P P,P P^P,P P_P,P

P^Q,Q^P(Le connecteur^est commutatif)

P_Q,Q_P(Le connecteur_est commutatif)

1.3. PROPRIÉTÉS DES CONNECTEURS LOGIQUES11

(P^Q)^R,P^(Q^R)(Le connecteur^est associatif) (P_Q)_R,P_(Q_R)(Le connecteur_est associatif)

P^(Q_R),(P^Q)_(P^R)(Le connecteur^est dis-

tributif sur_)

P_(Q^R),(P_Q)^(P_R)(Le connecteur_est dis-

tributif sur^)

P^(P_Q),P

P_(P^Q),P

[(P)Q)^(Q)R)])(P)R)(Transitivité de))quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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